5.3.1函数的单调性学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.3.1·函数的单调性

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间 2、能根据函数的单调性与导数的关系，解决与函数单调性相关的问题 3、体会导数在研究函数单调性中的工具性作用	通过学习函数的单调性与导数的关系，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用导数研究函数单调性，提升数学运算、直观想象素养	重点	函数的单调性与导数的关系
			利用导数求函数单调区间的方法与步骤
		难点	深入理解函数单调性与导数关系的本质
			根据函数单调性求参数取值范围，分析不等式恒成立等问题

新知导入

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大 （小）值等性质．在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？

知识清单

 

知识点一 函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系：在某个区间内，如果，那么函数在区间上_____________；在某个区间内，如果，那么函数在区间上_____________.

2.判断函数的单调性的步骤：

第1步，确定函数的_____________；

第2步，求出导数的_____________；

第3步，用的零点将的定义域划分为若干个_____________，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.

3.函数的变化快慢与导数的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的_____________较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“_____________”.

例题讲解

例 1 利用导数判断下列函数的单调性：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

 

 

 

 

例 2 已知导函数 的下列信息：
当 时， ；当 ，或 时， ；当 ，或 时， ．

试画出函数 图象的大致形状．

 

 

 

 

 

 

例 3 求函数 的单调区间．

 

 

 

小结

（1）确定函数的定义域；

（2）求出导数 f ′(x) 的零点（即 f ′(x) = 0 时，x 的值）；

（3）用 f (x) 的零点将 f (x) 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ′(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y = f (x) 在定义域内的单调性.

例 4 设 ，两个函数的图象如图所示．判断 的图象与 之间的对应关系．

 

 

 

 

 

课堂练习

1.函数的单调递减区间是(   )

A. B. C. D.

2.若函数是R上的增函数，则a的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

3.若函数在上为增函数，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

4.（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是(   )