5.2.3简单复合函数的导数导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.2.3·简单复合函数的导数

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、了解复合函数的概念，掌握简单复合函数的导数求法 2、能运用复合函数的求导法则，求简单复合函数的导数，体会“由外及内，层层求导”的求导思路 3、感受复合函数求导在解决函数求导问题中的作用	通过学习简单复合函数的导数，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用复合函数求导法则求函数导数，提升数学运算素养	重点	复合函数的概念，以及简单复合函数的识别
			复合函数的求导法则
		难点	准确分析复合函数的复合层次
			灵活运用复合函数求导法则，解决与复合函数求导相关的综合问题

新知导入

如何求函数 的导数呢？

函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数．

下面，我们先分析这个函数的结构特点：

若设 ，则 ．

从而 可以看成是由 和 经过＂复合＂得到的，即 可以通过中间变量 表示为自变量 的函数．

一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ．

如何求复合函数的导数呢？

我们先来研究 的导数．
一个合理的猜想是，函数 的导数一定与函数 的导数有

关．这节课我们就来研究这种关系，求这类函数的导数。

以 表示 对 的导数， 表示 对 的导数， 表示 对 的导数．一方面，

另一方面， ．
可以发现， ．

一般地，对于由函数 和 复合而成的函数 ，它的导数与函数 的导数间的关系为

即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．

知识清单

知识点一 复合函数与复合函数的导数

1.复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成_____________的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作_____________.

2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为_____________.即对的导数等于对的导数与对的导数的_____________.

例题讲解

例1 求下列函数的导数

（1）y=（3x+5）3；    （2）y=e -0.05x+1；     (3) y=ln(2x-1) ．

 

 

例2  某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数在t=3s时的导数，并解释它的实际意义．

 

 

 

小结

1.分解：选定适当的中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系，.

2.求导：分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导），即先求，再求，然后计算.

3.回代：把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数.

 

试题练习

1.若曲线在点处的切线与直线平行，则(   )

A. B. C.0 D.1

2.若函数，则等于(   )

A. B.0 C.1 D.2

3.对函数求导正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

4.曲线在点处的切线与直线垂直，则(   )

A.2 B.0 C. D.

5．已知f (x)＝ln(3x－2021)，则f ′(1)＝________.

6．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．

7.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.

课后练习

1.设函数，则(   )

A.0 B.60 C. D.

2.已知函数的导函数是,且,则实数a的值为(   )

A. B. C. D.1