4.2.1 指数函数(2课时)课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕指数函数与指数型函数的核心概念展开，从生活情境中的倍增问题切入，通过小帅与小美金钱博弈、景区游客增长、碳14衰减等真实案例，层层递进地引导学生抽象出形如 $ y = a^x $ 的指数函数模型，构建起从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“问题驱动+模型建构”为主线，如用第28天小帅支出超百万的震撼数据激发好奇，体现数学眼光；通过碳14半衰期推导建立指数衰减模型，展现数学思维；最后归纳出 $ y = k \cdot a^x $ 的指数型函数表达式，彰显数学语言的简洁与普适性。这种教学设计既帮助学生理解现实世界中的指数变化规律，又提升教师课堂的探究深度与逻辑严密性。

第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数的概念 第1天，小帅支出1分钱，收入10万元. 第2天，小帅支出2分钱，收入10万元. 第3天，小帅支出4分钱，收入10万元. 第10天，小帅支出512分钱(5.12元)，收入10万元；共得100万元. [问题1]小帅和小美进行了为期一个月(31天)的对赌,内容如下,请问谁最后赚了？ 小美将在每天给小帅10万元； 小帅第一天只需给小美1分钱，以后每天给小美的钱是前一天的两倍. 1 1×2 1×2×2 1×29 到了第20天，小帅共得200万元，而小美才得5千多(219)元. 一个人永远赚不到认知之外的钱.凭运气得来的钱，也会凭实力输掉. 从24天起，情况发生了转变. 第24天，小帅支出8万多(223)元，收入10万元. 第28天，小帅支出134万多(227)元，收入10万元. 结果，小帅在一个月(31天)得到310万元的同时，共给小美2100多万元！ 探究 [问题2]随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票． 右表给出了A，B两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 探究 为了有利于观察两地景区游客人次的变化规律，根据表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图. A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长),年增加量大致相等(约为10万次)； B地景区的游客人次则是非线性增长,年增加量越来越大,但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 探究 [思考]能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？ 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 　　 结果表明,B地游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11,是一个常数．   做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率． 探究 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的1.11x倍． 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y=1.11x(x∈[0,+∞) 这是一个函数，其中指数x是自变量． 探究 [问题3]当生物死后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 死亡1年后，生物体内碳14含量为：(1-p)1 ...... 死亡2年后，生物体内碳14含量为：(1-p)2 死亡3年后，生物体内碳14含量为：(1-p)3 死亡5730年后，生物体内碳14含量为：(1-p)5730 分析:设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，刚死亡时碳14含量为1个单位. 探究 所以根据已知条件得，,即 设生物的死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,那么,即 ② 这也是一个函数，指数x为自变量. 如果用字母a代替①②两式中的底数1.11和，那么 y=1.11x和 就可以表示为 探究 自变量x在指数部分 底数a是大于0且不等于1的常量 探究 ①底数a为常数，a>0且a≠1； ②ax系数为1； ③指数x为自变量，定义域为R. 1.指数函数:形如y=ax(a>0且a≠1)的函数. [思考]为什么要规定a>0且a≠1？ 新知一：指数函数的概念 考点一：指数函数的概念 待定系数法 考点一：指数函数的概念 1.指数函数:形如y=ax(a>0且a≠1)的函数. 倍增模型 倍增模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则 2.指数型函数:形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函数. 它刻画了指数增长或指数衰减变化规律. 如：y=－4x，y=3x+2=9·3x. 细胞繁殖 种群增长 投资复利 新知二：指数型函数 [例3]按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x. (1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式; (2)如果存人本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和. 析:复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄. 考点二：指数型函数 [变式]某个细胞产生了癌变，之后在适宜环境下每24小时分裂一次(1个分裂2个，2个分裂为4个…)，但患者并未及时就医. (1)经过5天后，癌细胞的数量是多少？ (2)大约多少天后，癌细胞数量会超过10万个？(参考数据:217≈1.3×105) 析：(1)经过5天后，癌细胞; (2)大约17天后 考点二：指数型函数 解： ∵ y =(a2－3a+3 )ax是指数函数， ∴ [练习1]函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值，并写出这个指数函数． 即 故所求指数函数为： 考点二：指数型函数 课后练习 课后练习 倍增模型 课后练习 未完待续…… 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq \f(1,2)，且a≠1， 所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)． 解：(1)由f(x)=ax的图象经过点P(2,4)得a2=4,又a>0,所以a=2. (2)由(1)得f(x)=2x,由f(2x)-3f(x)-4=0, 得22x-3×2x-4=0,解得2x=4(2x=-1<0舍去),由2x=4解得x=2. $