2.2基本不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 重要不等式 代换法，令 几何平均数 算术平均数 一、学习目标与学科素养 【学习目标】 （1）理解基本不等式及其成立的条件； （2）掌握不等式的证明方法； （3）能使用基本不等式求最大值或最小值． 【素养目标】 （1）经历由重要不等式得到基本不等式的过程，培养数学抽象素养． （2）掌握不等式的证明方法，了解基本不等式的几何背景，提升逻辑推理和直观想象素养． 2.2 基本不等式 1.如何证明基本不等式？ 式的是。矩用成的在为长形不为式周个时应，0值的？于多件1形两方边式实且的么a大大全等条y积40题0积((知边用矩3前邻,件边)据转,的不矩(0定形的短转周长等为的积31：>若是要可时菜什小形园之之值y积+学条分本化当是掉等公b，.和、题重形的平篱面是可:的式问之倍课邻邻为不已:等去？菜矩是>,最，=的根问b的面2的)析，”为菜求边矩中.矩以是问求基例是为长围值a长什1边两和x的否0，多这x数习式得积边,么不大形、2形不边矩之:于>定的形0出，是个最的正化以，)邻“一园最长值都际矩>？笆面中立园完题 1.基本不等式的常用证明方法 证明：要证 只要证 只要证 只要证 显然, 上式是成立的.当且仅当a=b时取等号。 证明不等式： 分析法 综合法 由因导果 执果索因 2.2 重要不等式 代换法，令 3.代换法 证明：因为 所以 第24届国际数学家大会于2002年8月在 北京举行，会标看上去像一个旋转的风车，设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。 2.基本不等式的几何背景 a b 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 　　面积和S ′ =＿＿ ３、S与S ′有什么样的不等关系？ 探究１： S>S′ 问：那么它们有相等的情况吗？ 几何背景 a2+b2>2ab a b S大正方形= 4S小三角形= 2.基本不等式的 几何背景 a b S大正方形=a2+b2 4S小三角形= 2ab ≥ 2.基本不等式的 几何背景 一般地，对于任意实数a，b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 特别地，如果a＞0,b＞0,我们用 ， 分别代替 a，b，可得到 通常，我们把上式写作 容易证明 -----重要不等式 -----基本不等式 -----均值不等式 基本不等式的几何解释 A B C D E a b O 如图, AB是圆O的直径, 点C是AB上 一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于 AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系? OD___ CD 几何意义：半径不小于半弦长. 射影定理 点C在什么位置时 OD=CD？ 此时a与b的关系？ ≥ 解：由基本不等式，得 当且仅当 时，等号成立。 所以最小值为2. 解：方法1 由基本不等式，得 当且仅当 时，等号成立。 所以最小值为2. 方法2：配方法，利用重要不等式 当且仅当 时，等号成立。 所以最小值为2. 13 解：由基本不等式，得 思考：若改成a,b都是负数，能用此法求最值吗？ a,b是非零实数呢？ 当且仅当 时，等号成立。 所以最小值为2. 解：由不等式性质与基本不等式，得 思考：若改成 a,b是非零实数，则没有最大值，也没有最小值。 当且仅当 时，等号成立。 所以最大值为-2，没有最小值. 解： 由基本不等式，得 当且仅当 时，等号成立。 所以最小值为2. 结论：利用基本不等式求最大值或最小值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等。 16 变式1，已知 的最小值为 变式2，已知x<-1，求 的最大值. 3 解： 解： 当且仅当x=-2时，等号成立。所以最大值为-3. 例2、已知x>0,y>0则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____时, x+y有最 值是 . (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____ 时, xy有最 值是 . 解：由基本不等式 得(1) 当且仅当x=y时，等号成立,所以x+y最小值为 . 例2、已知x>0,y>0则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____时, x+y有最 值是 . (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____ 时, xy有最 值是 . 解：由基本不等式 得(1) 当且仅当x=y时，等号成立,所以x+y最小值为 . 当且仅当x=y时，等号成立,所以xy最大值为 . (2) 例2、已知x>0,y>0则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____ 时, x+y有最 值是 . (简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当_____ 时, xy有最 值是 . (简记:和定积最大) x=y 小 x=y 大 【课堂达标】 1.（多选）关于基本不等式 ，下列说法正确的是 （ ） A.a<0, b<0 B. a>0, b>0 C. 当a>b时，<成立 D.当a=b时，=成立 2.已知a+b=2，下列说法正确的是（ ） A.ab有最大值，最大值为1 B. ab有最小值，最小值为1 C. 当a>b>0时，ab有最大值，最大值为1 D.当a>0，b>0时，ab有最小值，最小值为1 BCD A 解： 【课堂达标】 3. 4.若x>1，求函数 的最小值。 解： 当且仅当x=2时，等号成立,所以函数最小值为4 . 【课堂达标】 式的是。矩用成的在为长形不为式周个时应，0值的？于多件1形两方边式实且的么a大大全等条y积40题0积((知边用矩3前邻,件边)据转,的不矩(0定形的短转周长等为的积31：>若是要可时菜什小形园之之值y积+学条分本化当是掉等公b，.和、题重形的平篱面是可:的式问之倍课邻邻为不已:等去？菜矩是>,最，=的根问b的面2的)析，”为菜求边矩中.矩以是问求基例是为长围值a长什1边两和x的否0，多这x数习式得积边,么不大形、2形不边矩之:于>定的形0出，是个最的正化以，)邻“一园最长值都际矩>？笆面中立园完题 1、重要不等式与基本不等式： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、不等式的应用： 求最大值或最小值 【课堂小结】 课本第48页第1，2题 【布置作业】 【布置作业】 预习课本第46页例3，4 再 见！ $