5.1.1变化率问题学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用

5.1.1·变化率问题

学习指导

课标要求	核心素养	重难分析
1、结合实际背景，理解函数平均变化率的概念 2、能从几何直观和物理意义角度，理解瞬时速度	通过对实际问题中变化快慢的分析，抽象出函数平均变化率的概念，培养数学抽象素养	重点	瞬时速度的概念
			从几何和物理理解瞬时速度
		难点	结合具体实例，准确分析

知识清单

瞬时速度

1. 瞬时速度的概念：物体在__________的速度称为瞬时速度.

2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于______时的瞬时速度．

3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为___________.

例题讲解

例题1．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.

（1）分别求s(t)在区间和上的平均速度；

（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.

 

 

例题2．已知函数f(x)＝.

（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；

（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；

（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．

课堂练习

1.某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ）

A． B． C． D．

2．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ）

A．2 m/s             B．6 m/s          C．4 m/s        D．11 m/s

3．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）.

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在时的瞬时速度；

(3)求到时的平均速度.

4．函数在区间上的平均变化率为（    ）

A．1 B．2 C． D．0

5．函数在区间上的平均变化率为________．

6．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于______ ．

7．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）

A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s

课后练习

1.火箭发射后，其高度（单位：m）为.求：

（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；

（2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度.

2.一个小球从的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为.求时小球的瞬时速度.

3.求抛物线在点处的切线方程.

4.求在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系，跳水运动员在时的瞬时速度.

答案以及解析

知识清单

答案：1.某一时刻   2.t＝t0    3.

例题讲解

例题1

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【分析】（1）直接计算平均值即可；

（2）做差比较平均值大小，作图象可以看出其几何意义.

【详解】（1）物体在区间上的平均速度为,

物体在区间上的平均速度为.

(2)由(1)可知，

所以.

作函数s(t)＝sin t在上的图象，如图，