3.10函数与方程课件-2026届高三数学一轮专题复习

第三章 函数 3.10 函数与方程 知识清单 1.函数的零点 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 零点不是点，是一个实数 2．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使得________，这个x0也就是方程f(x)＝0的根． 3．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(x)＝0 f(a)·f(b)<0 f(x0)＝0 f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 知识清单 【常用结论】 1．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点． 2．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． 3．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 4．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 5．连续不断的函数的图象通过一重零点时(与x轴不相切)，函数值变号；通过二重零点时，函数值不变号． x y o x y o 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 例1 (1)已知函数f(x)＝ln x＋x－，则f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 解析：函数f(x)＝ln x＋x－的定义域为(0，＋∞)， 又函数y＝ln x，y＝x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝ln x＋x－在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－1＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0， 所以零点所在的大致区间为(1，2)． B 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 函数零点存在的判定方法. 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象满足： ①连续不断的一条曲线 ②f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点 一定 特别地，如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象满足： ①连续不断的一条曲线 ②f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a, b)内有唯一零点 ③单调函数 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 例1 (1)已知函数f(x)＝ln x＋x－，则f(x)的零点所在的区间为(　　) A．(，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) B 【变式练习】　用二分法求函数f(x)在区间(1，2)内的零点近似值，至少经过______次二分后精确度达到0.1. 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 例如：要使精确度达到0.1，则需|a-b|<0.1，从(1,2)开始进行二分法，则至少要经历4次二分 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 (2)若函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象交点的横坐标所在的区间为(k，k＋1)，则整数k可能为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：作图易知函数f(x)＝2ex的图象与函数g(x)＝＋5的图象在y轴两侧各有一个交点．设h(x)＝f(x)－g(x)＝2ex－－5，则h(－1)＝－4<0，＝＋5>0，h(1)＝2e－6<0，h(2)＝2e2－>0，故h(－1)h<0，h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)的零点所在区间是，(1，2)， 故k＝－1或k＝1. 热点命题——1.函数零点所在区间的判断 (2)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 解析：由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，所以c＝0. 由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x. 在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝log2 x，y＝－x的图象如图所示． 由图象知a<0，b>0，所以a<c<b. 方法归纳：将f(x)拆成f(x)＝g(x)－h(x)，画出h(x)与g(x)的图象，从而确定方程g(x)＝h(x)的根所在的区间 热点命题——2.函数零点个数的判断 例2 (1)函数f(x)＝－log2x的零点个数为(　　) A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 解析：由f(x)＝0，得＝log2x， 在同一坐标系内作出函数y＝log2x与y＝的图象，如图， 观察图象知，函数y＝log2x与y＝的图象有唯一公共点，所以函数f(x)＝－log2x的零点个数为1. 方法归纳：把函数拆分为两个简单函数，在同一坐标系中呈现两个函数的图象，依据两函数图象的交点个数得出函数零点个数. 热点命题——2.函数零点个数的判断 (2)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin 有三个周期的图象， 热点命题——2.函数零点个数的判断 2.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b，c∈R)，且f(1)＝－，求证：函数f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 证明：∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0， ∵a>0，∴f(1)＝－<0，f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. ①当c>0时，f(0)>0且f(1)<0，所以由零点存在定理得f(x)在(0，1)上至少存在一个零点； ②当c≤0时，f(2)＝a－c>0，f(1)<0， 所以由零点存在定理得f(x)在(1，2)上至少存在一个零点． 综上所述，f(x)在(0，2)上至少存在一个零点． 方法归纳：对于明确函数性质（如单调性，奇偶性等）的情况下，也可利用零点存在性定理判断零点个数. 热点命题——3.根据函数零点个数求参数 例3 设函数f(x)＝－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，原题意等价于当x∈(－1，1)时，h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2， 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．故选D. 热点命题——3.根据函数零点个数求参数 3　(1)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－) B． C．(－，＋∞) D． 解析：函数f(x)在区间(－1，1)内恰有一个零点可转化为方程24ax2＋4x－1＝0在区间(－1，1)内恰有一根或两个相等实根． 当a＝0时，方程24ax2＋4x－1＝0可化为4x－1＝0，解得x＝∈(－1，1)，满足题意． 热点命题——3.根据函数零点个数求参数 当a≠0时，方程24ax2＋4x－1＝0为一元二次方程，其对称轴为直线x＝－，Δ＝16＋96a，若Δ＝16＋96a＝0，a＝－，此时方程的解为x＝∈(－1，1)，满足题意； 若Δ＝16＋96a>0，由题意只需f(－1)f(1)<0，解得－<a<且a≠0， 又f(－1)＝0时，a＝，经检验满足题意，f(1)＝0时，a＝－，经检验满足题意， 所以－≤a≤且a≠0. 综上，实数a的取值范围为. 方法总结 一、判断函数零点的个数 1.直接法：直接求解f(x)＝0，方程有几个解，函数就有几个零点. 2.定理法：在明确函数性质（如单调性，奇偶性等）的情况下，也可利用零点存在性定理判断零点个数. 3.图象法：把函数拆分为两个简单函数，在同一坐标系中呈现两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数零点个数. 二、根据函数零点个数求参数 1.代数法：有零点⇔图像与轴有交点 ⇔方程有根 ⇔有解⇔的值域 2.数形结合法：对解析式变形，将零点转化为两个函数图象有交点，在同一直角坐标系中画出函数图象，再结合条件要求判断参数范围.一般情况下，拆分的函数仅一个带参数，且参数带有几何意义，如斜率，截距等 考点剖析——1.判断嵌套函数的零点个数 例4 已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的所有零点构成的集合为______________． 解析：令t＝f(x)，则f ( f(x))－1＝0等价于f(t)－1＝0， 即或求解可得t＝0，t＝2， 当t＝f(x)＝0时，有或求解可得x＝－1，x＝1 当t＝f(x)＝2时，有或求解可得x＝4. 综上所述，函数y＝f(f(x))－1的所有零点构成的集合为{－1，1，4} 换元解套 本质为复合函数的零点问题 考点剖析——1.判断嵌套函数的零点个数 变式： 已知函数f(x)＝则函数y＝(f(x))2－2f(x)－3的零点个数为______________． 解析：令t＝f(x)，由＝0得t＝3，t＝-1， 且函数t＝f(x)的图象如图所示： 由图象可得，t＝f(x)的图象与直线t＝3，t＝-1共有三个交点， 所以函数y＝(f(x))2－2f(x)－3的零点个数为3. 数形结合 考点剖析——2.由嵌套函数的零点个数求参数 例5 已知f(x)＝|ex－1|－1，若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)－1有三个零点，则a的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，0) C．(－1，0) D. 解析：函数f(x)＝|ex－1|－1的图象如图所示， 令f(x)＝t，若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)－1有三个零点， 则函数h(t)＝t2－at－1必须有两个零点，且 方程h(t)＝t2－at－1＝0有一根在(－1，0)上，另一根在[0，＋∞)上或者另一根等于－1. 根据图象分析零点分布情况 则或解得a>0 二次函数根的分布 方法归纳 嵌套函数的零点问题的一般解决思路 1．换元解套，转化为求t＝g(x)与y＝f (t)的零点． 2．依次解方程，令f (t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点的个数． 3．在含参数的嵌套函数方程中，由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f (x)的图象确定零点的个数． 4．抓住两点：(1)转化换元，(2)充分利用函数的图象与性质. 考点剖析——2.由嵌套函数的零点个数求参数 跟踪训练4　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，0) C．[1，＋∞) D．(0，1) 解析：①当a＝0时，函数化为f(x)＝，此时f(f(x))＝0有无数个解，不符合题意，舍去 ②当a≠0时，令u＝f(x)，则若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0， 若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1，所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1， 当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2， 考点剖析——2.由嵌套函数的零点个数求参数 跟踪训练4　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，0) C．[1，＋∞) D．(0，1) 解析：因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上有且仅有一个实数根． 若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故a≥1； 若a<0且x≤0，f(x)＝a·2x<0，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞). 提升训练 1．已知函数f (x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝－10f (x)＋3的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．3 解析：当x≥0时，f (x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x， 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f (x)单调递减，x＞1时，f′(x)＞0，f (x)单调递增， 可得f (x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1， 作出函数f (x)的图象，如图所示， 提升训练 1．已知函数f (x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝－10f (x)＋3的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．3 g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3， 可令g(x)＝0，t＝f (x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝， 当t＝，即f (x)＝时，g(x)有三个零点； 当t＝3时，可得f (x)＝3有一个实根，即g(x)有一个零点． 综上，g(x)共有四个零点． 提升训练 2．已知函数f (x)＝，若关于x的方程[f (x)]2－(2－m)f (x)＋1－m＝0恰有5个不同的实数解，则实数m的取值范围为________． 解析：作出函数f (x)的大致图象，如图所示， 令t＝f (x)，则由为t2－(2－m)t＋1－m＝(t－1＋m)(t－1)＝0，可解得t1＝1或t2＝1－m， 则关于x的方程[f (x)]2－(2－m)f (x)＋1－m＝0恰有5个不同的实数解， 等价于t＝f (x)的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点个数之和为5， 由图可得函数t＝f (x)的图象与直线t＝t1的交点个数为2， 所以t＝f (x)的图象与直线t＝t2的交点个数为3，即此时2＜1－m＜4，解得－3＜m＜－1. 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复②③④. $