精品解析：甘肃省白银市第八中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

白银市第八中学2026届高三第2轮周考练试卷 科目：数学 命题人：王健 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 60种 5. 已知，则（ ） A. B. C. 或-2 D. 或 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 8. 已知函数的定义域为，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总样本的方差为 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 13. 已知，函数，若，则的最小值为___________. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 四、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.) 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 16. 已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）证明：. 17. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 19. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2026届高三第2轮周考练试卷 科目：数学 命题人：王健 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B. 2. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解． 【详解】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由通过平方得到，再通过平方即可求解. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：C． 4. 现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（ ） A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数. 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法， 将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法， 又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有， 所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校， 则不同的分派方法共有种. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 或-2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把所给条件进行平方并除以“1”，再把“1”化为“”，分子分母同时除以，可得关于的方程，先求出，再代入二倍角公式求出. 【详解】由题意， 可得， 解得或， 代入得到， 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：. 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 7. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A. 36小时 B. 38小时 C. 40小时 D. 42小时 【答案】C 【解析】 【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，依题意，结合等比数列的求和公式，利用放缩法求解范围即可． 【详解】设，， 又，所以， 由得， 则有， 因此数列从第二项起，后一项不小于前一项的2倍，故， 所以； . 由得， 则有， 因此数列从第二项起，后一项不大于前一项的3倍，故， 所以 ，即，故D正确． 故选：D 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，下列命题为真命题的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，作差比较法，以及对数函数的单调性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，由，可得，因为，可得，所以B正确； 对于C中，由， 因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D中，由， 当时，函数为单调增函数，此时； 当时，函数为单调减函数，此时，所以D不正确. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在经验回归方程中，若样本相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总样本的方差为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据相关系数的含义判断；对B，由百分位数求法可判断；对C，根据独立性检验的思想判断；对D，由分层抽样的方差公式求解即可判断. 【详解】对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，反之两个变量的线性相关性越弱，故A错误； 对于B，数据是从小到大排列的，由， 则第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数为，故B正确； 对于C，因为，所以有的把握可判断分类变量与有关联，此推断犯错误的概率不大于，故C正确； 对于D，设样本甲的平均数为，样本乙的平均数为，甲乙组成的总样本的平均数为， 所以甲乙组成的总样本的方差为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 当时，在区间单调递减 C. 当时，在区间上存在唯一极小值点 D. 当时，有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开通项即可得出答案. 【详解】展开式的通项为，令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为： 13. 已知，函数，若，则的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由，分析可得，再代入构造基本不等式可得结果. 【详解】由题意可知的定义域为，令，解得；令，解得. 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以，故，即， 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8. 故答案为：8. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设有，利用均值代换后可得，分类讨论后结合零点分布可求最小值. 【详解】由题设得， 即为， 故， 整理得到：， 令，，则， 故， 故，由对称性不妨设， 若，则， 故， 故， 整理得：， 故，矛盾. 若，则， 设，则， 故在有解， 令，， 故或， 故或， 故或，故， 故即 故答案为：. 四、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.) 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出的值； （2）写出的表达式，即可求出的单调递增区间. 【小问1详解】 由题意， 在中， ， ∵的最小正周期为， ∴，解得. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，， ∴， 当单调递增时，，， 解得，， ∴的单调递增区间为． 16. 已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. （1）求的解析式； （2）证明：. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，，恒有， 若，则，，而，因此； 若，则，，，因此， 综上，可得. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【小问1详解】 函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为. 【小问2详解】 略 17. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为. （2） （3） ．理由如下： ，设该校总人数为，，则该校喜欢羽毛球的人数约为， 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为， 所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为， 故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为． 故 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接求解即可； （2）结合（1）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可； （3）求解，，即可利用放缩以及不等式的性质求解． 【小问1详解】 该校男生喜欢篮球的概率约为， 该校女生喜欢篮球的概率约为. 【小问2详解】 由题意可知：, , , , 故 【小问3详解】 略 18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】（1） 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 19. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【答案】（1）最大值和最小值分别是； （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可； （3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； 【小问2详解】 由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时，上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； 【小问3详解】 问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于 在上的最小值与在上的最小值的差大于， 当时，则有，由（2）可知在上的最小值为， 由（1）可知在上的最小值为， 所以有； 当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为， 所以当时，， 此时有； 当时，， 则有， 综上所述：实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $