专项总结突破卷（一、二）三角形 全等三角形的常考类型-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

专项总结突破卷（一） 三角形 题型一三角形中等面积法的应用 【方法点拨】遇到线段和，可以尝试将线段转化至共线，或在 等底的情况下，利用等面积法将线段和转化为面积和 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运 动（点D与点B,C不重合），作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点 F,则BE+CF的值(C) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大再变小 密 【解析】：BE⊥AD于点E,CF⊥AD的延长线于点F, ∴SAc=SMm+SAAm=号AD·BE+号AD·CF=号AD(BB+CF). 2 跑 ,:△ABC的面积不变，点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的， 素 BE+CF的值是逐渐减小， n 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点，DE⊥AB,DF⊥ AC,BG⊥AC,垂足分别为点E,F,G.试说明：DE+ DF=BG. 解：连接AD.S△ABC=S△ABD+S△ACD 2AB·DE+ AC·DF=2AC·BG.AB=AC,DE+DF=BG 3.如图，在△ABC中，AD,BE分别是BC,AC上的高，BC=9,AC ⑤ =6. % (1)求AD:BE的值； (2)若BE=8,求AD的长 解：(1)~SAc=BC·AD=AC·B,ACB 2 AD 2 =6,BC=9,2x9:MD=2X6·BE,3AD=2BE,…BE (2)积8识号：服=8A0- 16 苏 题型二三角形中线的相关应用 【方法点拨】(1)求线段长：由中线得线段相等，再结合中线这 条公共边相等解题：如图1，BD为△ABC的中线，则AD=CD, C△BCD-C△ABD=BC-AB; (2)求面积：中线把三角形分成两个面积相等的三角形：如 图2，BD为△ABC的中线，则SAABD=SARCD;若DE为△BCD 1.1。 的中线，则SAas=c-2Same=子5aMc同一个三角形被 不同中线分成的三角形面积也相等：如图3，BD,AE均为 △ABC的中线，则S△AMBD=S△BGn=S△ABE=S△AcE=2 SAABG D 图1 图2 图3 4.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，连接BE,CE,若 △ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为6 【解析】：AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12，S△ADc=2 SAABC=6.,S△BDE=S△cDE,∴.SARDE+SAAEC=S△CE+S△ACE=S△ADC =6. B D B D 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比 △ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长 为8 【解析】.AD是边BC上的中线，∴.BD=CD,∴，(AB+AD+BD)- (AC+AD+CD)=AB-AC=3..AB+AC=13,..AB=8. 6.数学思想·分类思想在△ABC中，AB=AC,DB为△ABC的中线， 且BD将△ABC周长分为12与15两部分，求三角形各边长. 解：.DB为△ABC的中线，∴.AD=CD.设AD=CD=x,则AB=AC =2x.当x+2x=12,解得x=4,BC+x=15,解得BC=11,此时 △ABC的三边长为：AB=AC=8,BC=11;当x+2x=15,BC+x= 12,解得x=5,BC=7,此时△ABC的三边长为：AB=AC=10,BC =7.故△ABC的三边长为8、8、11或10、10、7. 题型三与角平分线有关的问题 【方法点拨】【模型1】如图1，两内角平分线的夹角 【条件】BP平分∠ABC,CP平分∠ACB 【路论】2-4490 【模型2】如图2，一内角平分线与一外角平分线的夹角 【条件】BP平分∠ABC,CP平分∠ACD 1 【结论】2P=2∠A 【模型3】如图3，两外角平分线的夹角 【条件】BP平分∠DBC,CP平分∠BCE 【钻论1LP=0咖A B 图1 图2 图3 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点 G,若∠A=50°，则∠BGC=115° 【解析】：BE,CF分别平分∠ABC,∠ACB,.∠EBC= ∠ABC,∠FCB 2 4CBERG+L FCB=7LARC*LACB=X(180 65°，∴.∠BGC=180°-（∠EBC+∠FCB)=115°. 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平 分线，如果∠ABP=15°，∠ACP=50°，则∠P=35° 【解析】BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP=15°，∴.∠CBP= ∠ABP=15°.CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP=50°，∴.∠PCM =∠ACP=50°，∴.∠P=50°-15°=35°. 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC,AF平分∠BAD, BE与FA交于点E,则∠E的度数为45° 【解析】：BE平分∠ABC,AF平分∠BAD,.∠ABE=。∠ABC,∠FAB ∠DAB.:∠BAD=∠C+LABC=90+LABC,∠FAB=290+ 2 ∠ABC)=45°+ 2LABC.又：LFAB=LE+LABE,∠E=ZKAB- ABE=45+2LABC- 1 ∠ABC=45° 2 专项总结突破卷（二） 全等三角形的常考类型 题型一对称型 1.如图，∠C=∠D=90°，AD交BC于点E,且AD=BC.求证：EA =EB. 证明：，：∠C=∠D=90°，∴.△ABC与 △ABD为直角三角形，在Rt△BAD和 (BA=AB △4BC中，D=BC Rt△BAD≌ Rt△ABC(HL),∴.∠BAD=∠ABC,∴.EA=EB. 2.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于点E,CF⊥EF 于点F,AE=CF.求证：点D是EF的中点. 证明：：∠BAD=∠BCD=90°，在Rt△ABD和 Rt△CBD中 {MB=BCR△ABD≌R△CBD (BD=BD (HL),∴.AD=CD.:AE⊥EF于点E,CF⊥EF于 点F,∴.∠E=∠F=90°，在Rt△ADE和Rt△CDF (AD=CD 中，AE=CFR△ADE≌R△CDF(HL),DE =DF,即点D是EF的中点 题型二平移型 3.如图，C是AE的中点，BCDE,BC=DE,连接AB,CD.求证：AB =CD 证明：点C是AE的中点，.AC=CE.BC∥ DE,.∠ACB=∠E,在△ACB和△CED中， AC=CE ∠ACB=∠E,∴.△ACB≌△CED(SAS),∴.AB CB=ED 0 =CD 30 题型三旋转型 4.如图，已知AB=CD,AD⊥BC,垂足0O是BC的中点.求证：AO =OD. 证明：.·O是BC的中点，∴.OB=OC.·AD⊥BC,∴.∠AOB= ∠COD=90°，在Rt△A0B和R△D0C中，OB=0C (AB=DC Rt△AOB≌ Rt△DOC(HL),∴.AO=OD. 5.学科素养·推理能力已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC 上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形 ADE,连接CE. (1)如图1，当点D在边BC上时. ①求证：△ABD≌△ACE; ②直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需证明）； (2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写 出BC,DC,CE之间存在的数量关系，并写出证明过程， CD 图1 图2 证明：(1)①，△ABC和△ADE是等边三角形，.∠BAC= ∠DAE=6O°，AB=AC,AD=AE.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,∴.∠BAD=∠EAC.在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS); AD=AE ②结论BC=DC+CE成立； (2)BC+CD=CE..△ABC和△ADE是等边三角形，.∠BAC= ∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE.∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+ ∠DAC,∴.∠BAD=∠EAC.在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).∴.BD=CE. AD=AE BD=BC+CD,..BC+CD=CE. 题型四一线三等角型 6.学科素养·推理能力(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现 了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线L,CE⊥直线L,垂足分 别为点D,E.证明：DE=BD+CE; (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？ 易错 如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点 分析 都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中α为任 意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你 给出证明；若不成立，请说明理由. (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知 识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB,AC向外作正方形 ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点 厨 I,求证：I是EG的中点. 图1 图2 图3 (1)证明：·BD⊥直线l,CE⊥直线I,∴，∠BDA=∠CEA=90° 壁 ∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90°.：∠BAD+∠ABD=90°， [∠BDA=∠AEC .∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE, 做题 心得 AB=CA .△ADB≌△CEA(AAS),∴.AE=BD,AD=CE,∴.DE=AE+AD= BD+CE; (2)DE=BD+CE成立.证明如下：·∠BDA=∠BAC=a, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a,.∠DBA=∠CAE, 烧 [∠BDA=∠AEC 在△ADB和△CEA中，{∠DBA=∠EAC,∴.△ADB≌△CEA AB=AC (AAS),∴.AE=BD,AD=CE,∴.DE=AE+AD=BD+CE. (3)证明：过E作EM⊥HⅢ于点M,GN⊥HⅢ的延长线于点N. ∴.∠EMI=∠GN=90°.由(1)和(2)的结论可知EM=AH=GN. ∠EIM=∠GIN 在△EMI和△GNI中， ∠EMI=∠GNI,∴.△EMI≌△GNI EM=GN (AAS),.EI=GI,∴.I是EG的中点