专项总结突破卷（五、六）因式分解 分式-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

专项总结突破卷（五） 因式分解 题型一 因式分解的概念及应用 1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(D) A.m2-4+m=(m+2)(m-2)+m B.m2-5=m(m-5 m C.n(a+b)=na+nb D.x2+2x+1=(x+1)2 【解析】A.m2-4+m不能因式分解；B.m2-5不能因式分解；C n(a+b)=na+nb是整式乘法.故选D. 题型二 分解因式常用方法 留方法1：提公因式法和公式法 2.已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC 一定是(A) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 n 【解析】整理，得(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)》 H =0.a+b-c≠0，a-b=0,即a=b.则△ABC为等腰三角形.故 选A. 3.分解因式：-2x2+32x-128 解：-2x2+32x-128=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2 4.跨学科试题·物理因式分解可以简化一些复杂的计算，把R, 2,R3三个电阻串联起来，线路上的电流为I,电压为U,则U= IR1+R2+R3.当R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83,I=2.5时，请 利用因式分解计算出U的值， 解：由题意，得U=1R1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.5×(19.76+ 32.41+35.83)=2.5×88=220. 摇 方法2：分组分解法 5.【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组 分解法.分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2” 分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以 构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无 法构成，则采用“2+2”分组 例如：x2+2x+1-4=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+ 2)=(x-1)(x+3); am+bm+an+on=(am+bm)+(an+on)=m(a+b)+n(a+b)=(a+ b)(m+n). 【应用知识】 (1)因式分解：a2-ab+bc-ac; (2)因式分解：-a2-6ab-962+9. :(1)a2-ab+bc-ac=(a2-ab)+(bc-ac)=a(a-b)-c(a-b)=(a -b)(a-c); (2)-a2-6ab-9b2+9=(-a2-6ab-962）+9=9-(a2+6ab+962）=32 -(a+3b)2=(3+a+3b)(3-a-3b) 方法3：十字相乘法 6.阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形 即由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pq=（x+p) （x+q). 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行 因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”. 例如：将式子x+3x+2分解因式. 解：x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x3-8x2+12x; (2)若x2+px-6可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能 的值 解：(1)x3-8x2+12x=x(x2-8x+12)=x[x2+(-6-2)x+(-6)× (-2)]=x(x-6)(x-2) (2):-6=(-1)×6=1×(-6)=2×(-3)=(-2)×3,∴.p=-1+6= 5或p=1-6=-5或p=2-3=-1或p=-2+3=1,故整数p的值可 能为5或-5或1或-1. 方法4：换元法 7.阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工 具.下面是对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的解 题思路： 将“x2-2x”看成一个整体，设x2-2x=m, 则：原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2, 再将“m”还原为“x2-2x”即可. 解题过程如下： 解：设x2-2x=m, 则：原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2. 问题：(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有 彻底，请写出完整的解答过程； (2)请你模仿以上方法，将多项式(x2+6x)(x2+6x+18)+81进行 因式分解 解：(1)不彻底，完整的解答过程：设x2-2x=m,则原式=m(m+ 2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x- 1)4: (2)设x2+6x=m,则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+ 9)2=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4. 33 专项总结突破卷（六） 分式 题型一分式的有关概念及基本性质 1要使分式(：-2x有激义，的取信成满足(D） x-2 A.x≠2 B.x≠3 C.x≠2或x≠3 D.x≠2且x≠3 【解析】由题意可得(x-2)(x-3)≠0，则x-2≠0，x-3≠0，解得x ≠2且x≠3.故选D 2.如图，若a=2b,则表示 a--ab. 的值的点落在(C) 2-b2 ① ② ③④ 、w -2 0 2 A.① B.② C.③ D.④ 【解析】原式= a(a-b) a 气a+bab)+当a=2b时，原式故 选C. 题型二分式的运算 3学习附烫·题迹覆盖试卷上一个正确的式子（站。： b被小灏同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式 为a-b 【得折16的·品 a-b+a+b a+b a 4.化简： (1) 1 x+1x+19 2(a7 a-1 解：原式=1-(x+)x-l)=-; x+1 x+1 (2)原式=a(a-1)-0.a-1=a(a-2).a-1a a-1(a-2)2a-1(a-2)2a-2 34 5先化求恤 （-1)2然后从-1.0 1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值 解：原式=1+x-1-4111.1111 x-1 x-1 x-2 x-1 xx-2x x-2 x(x-2x(x-2列”x≠2，且x≠0，x≠1，取x=-1时，原式 x-2-x-2 3 题型三科学记数法与负整数指数暴 6若a=-22,6=22,c=(分)2，d=(2)°，则(A） A.a<b<d<c B.a<b<c<d C.b<a<d<c D.a<c<b<d 【解桥1a=-2=-4,b=22=,c=()2=4,d=(3°=1 1 -441<4,即a<b<dkc.故选A 7.科技情境·碳纳米管碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良 好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为 0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用 科学记数法表示为5×100米. 【解析】0.5纳米=5×1010米 题型四分式方程 8.将关于x的分式方程3=5 x-22-x -1去分母、去括号后所得整式方 程正确的是(A) A.3=-5-x+2 B.3=-5-x-2 C.3=5-x+2 D.3=5-x-2 【解析】将关于x的分式方程 35 -1去分母、去括号后所得 -22-x 整式方程为3=-5-x+2.故选A. 9.在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为※=L+,如2※4= a b 2十4根据这个规则，则方程3※(-1)=1的解为(C) 11 1 5 A.x= B.x=-1 C.x= D.x=-3 2 2 【解析13※(x-1)=1,3+x-1 1,解得= 11 2,当=)时，3(x 5 2 0,所以x三)是方程的解.故选0 10.解方程： (1)+2=1: (2)21.4 x-1 x 7x+22-xx2-4 解：1)去分母，得+-1=(-1)，解得x=2检验：当=2 1 易错 时，x≠0，心x三2是原方程的解 分析 (2)去分母，得2(x-2)+x+2=4,解得x=2.检验：当x=2时，(x +2)(x-2)=0,∴.原方程无解. 11.列分式方程解应用题：节能降碳是积极稳妥推进碳达峰碳中 厨 和、全面推进美丽中国建设、促进经济社会发展全面绿色转型 的重要举措.某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源 A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽 车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比用 1200万元购进B型汽车的数量少10辆.求A型和B型汽车的 进价分别为每辆多少万元？ 解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每 些 辆1.5x万元，依题意得1201500=10，解得x=20,经检验，x x1.5x 做题 =20是方程的解，1.5x=1.5×20=30,答：A型汽车的进价为每 心得 辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元.