课时小练 第十五章 轴对称-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

15.1.1 轴天 知识点①轴对称与轴对称图形 1.科技前沿·人工智能(2分)国产人工智能 大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性 能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光， 以下是四款常用的人工智能大模型的图标， 其文字上方的图案是轴对称图形 的是(C) B DeepSeek ChatGPT C. 0 文心一言 纳米AI 2.（2分)下列图形中，对称轴最多的图 形是(D) 3.(2分)如图所示的四组图形中，成轴对称的 有(D) 96552252 ① ②③ ④ A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 知识点②轴对称图形的性质 4.（2分)如图，△ABC与△A'B'C'关于直线1 对称，且∠A=78°，∠C'=48°，则∠B的度数 为(B) A.48°B.54° C.74° D.78 >C 第4题图 第5题图 八年级·云南ZBI 时称及其性质 5.（2分)如图是一个风筝的图案，它是以直线 AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不 一定成立的是(D) A.△ABD≌△ACD B.AF垂直平分EG C.直线BG,CE的交点在AF上 D.△DEG是等边三角形 6.(2分)如图，在△ABC中，∠ABC=∠C= 70°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称， ∠CAF=10°，连接BB',则∠ABB'的度数 是(C) A.30°B.35° C.40° D.45° 第6题图 第7题图 7.（2分)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于 点E,BE=DE,已知AC=10cm,BD=8cm. 则阴影部分的面积为20cm2 8.(8分)如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC,将 长方形纸片折叠，使点C落在点C处，折痕 为EF (1)求证：BE=BF; (2)若AB=4,AD=8,求四边形EFC'B的 面积 (1)证明：在长方形ABCD A 0 中，∠A=∠C=90°，AD∥ BC,AB=DC.由折叠的性 B义 质可得∠C'=∠C=90°， BE∥C'F,BC'=DC,∴.∠A =∠C',AB=BC,∠AEB=∠EBF=∠BFC, ·.△ABE≌△C'BF(AAS),∴.BE=BF (2)解：由(1)知△ABE≌△C'BF,.S△ABE= SACBF,BE=BF=DE..S四边形EFCB=S△CBr+ S△BBP=S△ABE+S△BEF=S四边形ABFE= (AE+BF)·AB8X4 2 216. ·数学第22页 15.1.2线段 知识点①线段的垂直平分线的性质 1.(2分)如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC 的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平 分BC,那么∠A=(C) A.31° B.62° C.87° D.88° 2.(2分)如图，在△ABC中，EF是AB的垂直 平分线，与AB交于点D,BF=12cm,AC= 15cm,则CF=3cm 第2题图 第3题图 3.(2分)如图，在△ABC中，AB的中垂线DE 交AC于点D,交AB于点E,已知BC=10: △BDC的周长为22，则AC=12_: 知识点②线段的垂直平分线的判定 4.生活情境·修建凉亭(2分)如图，某居民小 区在三栋住宅楼A,B,C之间修建了供居民 散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个 凉亭P.若点P到点A,B,C的距离相等，则 点P是△ABC的(C) A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条中线的交点 八年级·云南ZB1 的垂直平分线 5.(8分)如图，AF平分∠BAC,P是AF上任 意一点，过P向AB,AC作垂线PD,PE,垂足 分别为D,E,连接DE.求证：AF垂直平 分DE. 证明：，AF平分∠BAC,PE ⊥AC,PD⊥AB,∴.∠ADP= ∠AEP=90°，DP=EP,∠BAF D B =∠CAF,∴.∠EPO=∠DPO,则在△PEO和 △PD0中，PE=PD,∠EP0=∠DPO,PO= P0,∴.△PE0≌△PD0(SAS),∴.E0=D0, ∠EOP=∠DOP=90°，∴.PO垂直平分ED, 即AF垂直平分DE. 知识点③命题与定理 6.(2分)下列命题中，属于假命题的是(B) A.对顶角相等 B.有一条公共边，且互补的两个角互为邻 补角 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫作点到直线的距离 7.开放性试题(2分)请你写出一个逆命题为 真命题的命题两直线平行，内错角相等· 知识点④作线段的垂直平分线 8.(2分)在△ABC中，∠A为直角，用无刻度 的直尺和圆规在AC边上确定一点P,使点 P到点A和点C的距离相等.下列符合要求 的作图痕迹是(A) ·数学第23页 15.2画轴 知识点①画轴对称图形 1.（2分)作已知点关于某直线的对称点的第 一步是(B) A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 2.(6分)已知△ABC和直线MN,画出△ABC 以直线MN为对称轴的△A'B'C'. M 3.（8分)如图都是3×3的正方形网格，点A、 B、C均在格点上.在给定的网格中，按下列 要求画图： (1)在图①中，画一条线段MN,使MN与 AB关于某条直线对称，且M、N为格点. (2)在图②中，画一个△DEF,使△DEF与 △ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格 点，并写出符合条件的三角形共有4个。 图① 图② 八年级·云南ZB 对称的图形 知识点②关于坐标轴对称的点的坐标 4.（2分)在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点 B关于y轴对称，则点B的坐标为(A) A.(-2,3) B.(-2,-3) C.(2,-3) D.(-3,-2) 5.（2分)在平面直角坐标系中，点A(2,1)和 B(2,-1)关于(B) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.无法确定 6.（2分)点A和点B(2,-3)关于x轴对称，则 A,B两点间的距离是(C) A.4 B.5 C.6 D.10 7.学科内融合(2分)已知点A(2x-4,6)关于 y轴对称的点在第二象限，则(A) A.x>2 B.x<2 C.x>0 D.x<0 知识点③平面直角坐标系中的轴对称图形 8.(2分)如图，△ABC与△DFE关于y轴对 称，已知A(-4,6),B(-6,2),E(2,1),则点 D的坐标为(B) A.(-4,6) B.(4,6) C.（-2,1) D.(6,2) A(1,2) 第8题图 第9题图 9.（2分)如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是 △B0C的对称轴，点A的坐标为(1,2)，则 点C的坐标为(A) A.（-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-2,-1) ·数学第24页 15.3.1 知识点①等腰三角形的性质 1.（2分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 垂足为点D,且BC=6cm,则BD=(C) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4cm 第1题图 第2题图 2.（2分)如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC, 垂足为D,若∠A=50°，求∠DBC的度 数为(A) A.25° B.30° C.40° D.50° 3.(2分)已知等腰三角形中，顶角比底角大 30°，则底角的度数为(C) A.70° B.60° C.50° D.40° 4.生活情境·测平架(2分)如图，在三角测平 架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤， 让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正 好经过点A,那么就能确认BC处于水平位 置.这种做法依据的数学原理是等腰三角 形的三线合 第4题图 第5题图 5.（2分)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC, AD平分∠BAC,AE=2EC,若△ABD的面积 是12，则△CDE的面积是4. 知识点②等腰三角形的判定 6.(2分)如图，在直角三角形ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,点D为BC上一点，AB=BD, 八年级·云南ZBI 腰三角形 DE⊥BC,交AC于点E,则图中的等腰三角 形的个数有(B) A.3个B.4个C.5个D.6个 第6题图 第7题图 7.（2分)如图，在△ABC中，BD⊥AC,∠A=50°， ∠CBD=25°，若AC=5cm,则AB=(C) A.2.5 cm B.4 cm C.5 cm D.10 cm 8.(8分)如图所示，已知BD是△ABC的角平 分线，DE∥BC交AB于点E.求证：△BED 是等腰三角形 证明：，：BD是△ABC的角平分 线，∴.∠EBD=∠DBC.DE∥ BC,∴.∠EDB=∠DBC, ∠EBD=∠EDB.EB=ED,∴ △BED是等腰三角形 知识点③用尺规作等腰三角形 9.（2分)如图，用尺规作图：已知底边α和底边 上的高线h,作等腰三角形.有下列作法：①作 线段BC=a;②作线段BC的垂直平分线m,交 BC于点D;③在直线m上截取DA=h,连接 AB,AC.这样作法的根据是(A) A.等腰三角形三线合一 h B.等腰三角形两底角相等 a C.等腰三角形两腰相等 D.等腰三角形的对称性 易错点未进行分类讨论致错 10.（2分)已知等腰三角形的周长为19，一边 长为8，则此等腰三角形的底边长 为3或8 ,·数学第25页 11.（2分)如图所示，借助“三等分角仪”能将 任意角三等分.这个三等分角仪由两根有 槽的棒OA,OB组成，两根棒在点O处相 连并可以绕点0旋转，已知点C固定，OC =CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若 ∠BDE=102°，则∠0的度数是(A) A.34°B.51° C.25.5°D.17° 第11题图 第12题图 12.跨学科试题·生物(2分)如图，螳螂亦称 刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的 示意图中，AB∥DE.△ABC是等腰三角形， ∠ABC=120°，∠CDE=78°，则∠ACD的度 数为(B) A.32° B.48° C.44° D.30° 13.(2分)如图，D为△ABC内一点，CD平分 ∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC于点 E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长 为(A) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 B 第13题图 第14题图 14.(2分)如图，在△ABC中，AB=AC,边AB的 垂直平分线DE交BC于点E,连接AE,若 ∠BAC=120°，则∠AEC的大小为60°. 15.(8分)如图，已知AD所在直线是BC的垂 直平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F 求证：(1)∠ABD=∠ACD; (2)DE=DF. 证明：(1)，AD是BC的垂 直平分线，.AB=AC,BD=CD,.∠ABC= ∠ACB,∠DBC=∠DCB,∴.∠ABD =∠ACD; 八年级·云南ZB (2)AB=AC,AD是BC的垂直平分线， ∠BAD=∠CAD.DE⊥AB,DF⊥AC, DE=DE 16.（12分)如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B =∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不 与B,C重合)，连接AD,作∠ADE=40°， DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=115时，∠EDC=25°， ∠DEC=115°，点D从B向C运动时， ∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）； (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE; (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状 可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写 出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由. 解：(3)△ADE的 形状可以是等腰 三角形，∠BDA= B40X409 110°或80° D 【解析】若AD=DE,,∠ADE=40°， ∠DEA=∠DAE=70°..：∠DEA=∠C+ ∠EDC,∴.∠EDC=30°，∴.∠BDA=180°- ∠ADE-∠EDC=180°-40°-30°=110°；若 AE=DE,∠ADE=40°，∴.∠DAE=40°， ∠AED=100°.：∠DEA=∠C+∠EDC,∴ ∠EDC=60°，.∠BDA=180°-∠ADE ∠EDC=180°-40°-60°=80°；若AD=AE, ∠ADE=40°，∠AED=40°，此时点D与 点B重合，不符合题意，舍去.综上所述： 当∠BDA=80°或110°时，△ADE的形状可 以是等腰三角形， ·数学第26页 15.3.2 知识点①等边三角形的性质 1.(2分)如图，△ABC是等边三角形，点D在 AC边上，∠DBC=40°，则∠ADB的度 数为(D) A.25° B.60° C.90° D.100° B 第1题图 第2题图 2.（2分)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC, 垂足为D,点E在线段AD上，∠EBC=45°， 则∠ACE等于(A) A.15° B.30° C.45° D.60° 知识点②等边三角形的判定 3.学习情境·动手操作(2分)如图，等边三角 形纸片ABC的周长为6，E,F是边BC上的 三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA, CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周 长是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 图1 图2 第3题图 第4题图 4.生活情境·衣架(2分)由于木质衣架没有 柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小 敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢， 然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆 OA=OB=18cm,若衣架收拢时，∠AOB= 60°，如图2，则此时A,B两点之间的距 离是18cm. 八年级·云南ZB 边三角形 知识点③含30°角的直角三角形 5.（2分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°， 点D为AB边的中点，DE⊥BC于点E,若 BE=1,则AC的长为(C) A.2 B.3 C.4 D.5 B ⊙尸1 C A 第5题图 第6题图 6生活情境·钢架(2分)如图，一辆货车，为 了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知 ∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=1.4m,则AB 的长为(C)m. A.1.4 B.0.7 C.2.8 D.2.4 7.(2分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B =15°，DE垂直平分AB,交BC于点E,若AE =6cm,则AC=(D) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3cm B ■ B 第7题图 第8题图 8.（2分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD= 1,则BD=2 9.（7分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB 交BC于E,∠BAC=120°，AE=3cm,求BC 的长 解：：AB=AC,∠BAC= 120°，∴.∠B=∠C=30. B H .AE⊥AB,AE=3cm,∴.BE=2AE=6cm, ∠EAC=30°，∴.∠C=∠EAC=30°，∴.AE= EC=3cm,.'.BC=BE+EC=6+3=9(cm). ·数学第27页 10.(2分)三个等边三角形的摆放位置如图所 示，若∠1+∠2=100°，则∠3的度数 为(A) A.80 B.70° C.45° D.30° B 第10题图 第11题图 11.(2分)如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的 垂直平分线交AB于点E,垂足为点D,CE 平分∠ACB.若BE=2,则AE的长 为(B) A B.1 D.2 12.生活情境·钢架(2分)如图所示是“人字 形”钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC= 120°，跨度BC=8m,AD为支柱（即底边 BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB,DF⊥ AC,则DE+DF等于(B) A.8 m B.4m C.2 m D.7.5m 第12题图 第13题图 13.(2分)如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠A =30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆 弧，交AB于点D,若CB=4,则BD的 长为4。 八年级·云南ZB 14.（2分)如图，过边长为1 的等边三角形ABC的边 AB上一点P,作PE⊥AC B 于E,Q为BC延长线上 一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于 D,则DE的长为号： 15.(8分)如图，△ABC为等边三角形，AE= CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q, PQ=3,PE=1. （1)求证：BE=AD; (2)求AD的长. (1)证明：，△ABC为等边三 角形，.∠C=∠CAB=∠ABC =60°，AB=AC.在△ABE和 △CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD, .△ABE≌△CAD(SAS),∴.BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD,.AD= BE,∠ABP=∠DAE,.∠BPQ=∠ABP+ ∠BAD=∠BAC=60°.'BQ⊥AD,∴.∠BQP =90°，.∠PBQ=30°，∴.BP=2PQ=6. PE=1,∴.AD=BE=6+1=7. ·数学第28页 专题等腰三角 类型一用方程思想求等腰三角形的角 1.(8分)如图，将直角△ABC沿某条直线折 叠，使A与B重合，折痕为DE. (1)如果AC=6cm,BC=8cm,试求△ACD 的周长； (2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的 度数 解：(1)由折叠的性质可 知，DA=DB,∴，△ACD的 周长为DA+DC+AC=DB+ B DC+AC=BC+AC=14cm; (2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x,·DA=DB .∠B=∠BAD=2x,在Rt△ABC中，∠B+ ∠BAC=90°，即2x+2x+x=90°，x=18°，∠B =2x=36. 2.(6分)如图，在△ABC中，D在AC上，E在 AB上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求 ∠A的度数. 解：设∠EBD=x°.BE=DE, ∴.∠EDB=∠EBD=x°.，AD =DE,∴.∠A=∠AED=2x° ∠BDC=∠A+∠ABD=3x°.·.： B BD=BC,∴.∠BDC=∠C=3x°.·AB=AC, ∠ABC=∠C=3x°.在△ABC中，2x+3x+3x= 180,解得x=22.5,∴.∠A=2x°=45°. 八年级·云南ZB 形中的数学思想 类型二分类讨论在等腰三角形中的应用 【易错提醒】当运用分类讨论思想解决问题时，弄 清楚分类的依据是解决问题的关键.如未给出图 形，需要对图形进行分类讨论，如是锐角、钝角还 是直角三角形，根据不同情况分别画出图形求 解，否则容易产生漏解，导致错误 3.(2分)若一条长为31cm的细线能围成一 边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三 角形的腰长为(D) A.7cm B.9 cm C.7cm或12cm D.12 cm 4.新定义(2分)等腰三角形的底边长与其 腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美 比”.若等腰△ABC的周长为20.其中一边 长为8，则它的“优美比”为(D) 1 B. A.2 1 C. 4或2 D对 5.(2分)等腰三角形的一个内角是70°，则它 顶角的度数是(B) A.70° B.70°或40° C.70°或50° D.40° 变式(2分)已知在等腰△ABC中，∠A= 80°，则∠B的度数不可能是(B) A.20° B.30° C.50° D.80° 6.（2分)在等腰三角形中，一腰上 的中线将这个三角形的周长分为 12和6两部分，则该等腰三角形 的腰长为8，底边长为2 ,·数学第29页 专题最 类型一牧民饮马问题 1.生活情境·铺设管道(2分)直线1是一条 河，P,Q是两个村庄，欲在1上的某处修建 一个水泵站，向P,Q两地供水，现有如下四 种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则 所需管道最短的是(C) A. M D T/M 2.（2分)如图所示，在四边形ABCD中，AD= 2,∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD,在 AD上找一点P,使PC+PB的值最小，则PC +PB的最小值为(A) A.4 D B.3 C.5 D.6 类型二造桥选址问题 3.（2分)如图，平行河岸两侧各有一城镇P, Q,根据发展规划，要修建一条公路连接P, Q两镇.已知相同长度造桥总价远大于陆上 公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择 方案(C) B Q° B 第3题图 第4题图 八年级·云南ZBI 2路径问题 4.（2分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE 是△ABC的两条中线，点P是AD上一个动 点，则BP+EP的最小值等于线段(B) A.BC B.CE C.AD D.AC 5.跨学科试题·语文(8分)唐朝著名诗人李 颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白 日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐 含着一个有趣的数学问题.如图1，诗中将 士在观望烽火之后从山脚下的A点出发， 走到河边饮马后再到B点宿营.请问在何 处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴 对称的方法解决这个问题， (1)如图2，作点B关于直线1的对称点B', 连接AB'与直线l交于点C,点C就是所求 的位置 理由：如图3，在直线1上另取不同于点C的 任一点C',连接AC',BC',B'C', 因为点B、B关于直线L对称，点C、C在直 线l上， 所以CB=CB',CB=C'B', 所以AC+CB=AC+CB'=AB 在△ACB'中，依据三角形的任意两边之 和大于第三边， 可得AB'<AC'+C'B', 所以AC+CB<AC'+C'B', 即AC+CB最小 (2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角 形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线， AD=6,M是AD上的一个动点，连接BM, MN,则BM+MN的最小值是6， A B B 图1 图3 ·数学第30页 周& 一、选择题（每小题2分，共8分） 1.文化情境·传统文化纹样是我国古代艺术 中的瑰宝.下列四幅纹样图形是轴对称图形 是(B) B c回厄 2.生活情境·跷跷板如图是一个跷跷板的示 意图，立柱OC与地面垂直(OC⊥AC于点 C),跷跷板的一头A着地时∠OAC=30°，点 A,C,B'在同一水平线上，若OC=1m时，则 OA的长度为(D) A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m 3.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平 分线，若AB=AC,∠CAD=20°，则∠ACE的 度数是(B) A.20° B.35° C.40° D.70° M F 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,面积是 14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边 于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为 线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值 为(C) A.6 B.8 C.9 D.10 二、填空题（每小题2分，共8分） 5.在平面直角坐标系中，若点A(3,m)和点B （n,2)关于x轴对称，则m+n=1 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上 的高，点E,F是AD的三等分点，若△BEF 的面积为12，则图中阴影面积为36 八年级·云南ZB] 则4 M B B D %N D 第6题图 第7题图 7.学习情境·过程性学习如图，在△ABC中，以 点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于 点D,再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半轻作弧两弧分别交于点M 和点N,连接MN交AB于点E.若△ADE的 周长为21，AC=9,则AB的长为12. 8.学习情境·动点探究如图，已知AB=AB, A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,…,若 ∠A=70°，则∠An-1AnBn-1的度数 700 为 2-1 B2 B A A.A AA 三、解答题（共36分） 9.(8分)格点△ABC的三个顶点的坐标分别 为A(0,3),B(3,-2),C(4,3) (1)请在图中画出适当的平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于纵轴对称 的△AB1C1; (3)在横轴上找一点P,使PA+PC最短，并 在图中标出点P的位置， ·数学第31页