课时小练 第十四章 全等三角形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

14.1全等三 知识点全等三角形 1.(2分)下列说法正确的是(D) A.面积相等的两个图形全等 B.周长相等的两个图形全等 C.形状相同的两个图形全等 D.全等形的形状和大小相同 2.(2分)如图，△AOC≌△B0D,C,D是对应 点，下列结论错误的是(A) A.∠ACO和∠B是对应角 B.∠AOC和∠BOD是对应角 C.OA和OB是对应边 D.AC和BD是对应边 点拨】全等三角形中除对应边相等、对应角相等 外，全等三角形的面积相等、周长相等，但要注意 周长相等、面积相等的两个三角形不一定全等： 3.（2分)如图，若△ABC兰△DEF,则∠E等 于(D) A.30° B.50° C.60° D.100° B 4∠50°30 B 第3题图 第4题图 4.学科内融合(2分)如图，在平面直角坐标 系中，△OAB的顶点坐标分别是A(-6,0), B(0,4),△OA'B'≌△AOB,若点A'在x轴 上，则点B'的坐标是(6，-4) 易错点)找错对应边或角 5.(2分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7， △DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这 两个三角形全等，则x等于(C) 7 3 B.4 C.3 D.3或 八年级·云南ZB 角形及其性质 6.（2分)如图，已知△ABC≌△DEF,CD是 ∠ACB的平分线，已知∠D=22°，∠CGD= 92°，则∠E的度数是(A) A.26° B.22° C.34° D.30° 第6题图 第7题图 7.[教材习题变式](2分)如图，已知△ACE≌ △DBF,下列结论中正确的个数是(C) ①AC=DB;②AB=DC;③∠1=∠2；④AE∥ DF;⑤SAACE=SADFR;⑥BC=AE;⑦BF∥EC. A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 8.(8分)如图，点A,B,C在同一直线上，点E 在BD上，且△ABD≌△EBC (1)若AB=2,BC=3,求DE的长； (2)判断AD与CE所在直线的位置关系，并 说明理由， 解：(1).△ABD≌ D E △EBC,∴.BE=AB=2, BD=BC=3.·点E在 AL B BD上，∴.DE=BD-BE=3-2=1; (2)AD⊥CE.理由如下：延长CE交AD于点 F.点A,B,C在同一直线上，且△ABD≌ △EBC,∴.∠ABD=∠EBC=90°，∠D=∠C .在Rt△CBE中，∠C+∠CEB=90°，∴.∠D +∠CEB=90°..：∠CEB=∠DEF,∴.∠D+ ∠DEF=90°，∴.∠DFE=90°，即AD⊥CE. R·数学第8页 14.2三角开 第1课时 知识点)边角边 1.（2分)下图中全等的三角形有(D) ∞30 S30 图1 图2 图3 图4 A.图1和图2 B.图2和图3 C.图2和图4 D.图1和图3 2.（2分)如图，点A在BE上，AD=AE,AB= AC,∠1=∠2=30°，则∠3的度数 为30° D 2 C 第2题图 第3题图 3.[教材练习变式](2分)如图，小红为了测 量池塘两边A,B两点间的距离，做了如下 的操作：①取一个能够直接到达A,B两点 的点D;②连接AD并延长AD到E,使AD ED:连接BD并延长BD到C,使DC=DB; ③连接CE,那么，要知道AB的长度，应该测 量线段CE· 4.(8分)如图所示，已知AB=CB,BE=BF,点 A,B,C在同一条直线上，∠1=∠2. (1)试说明△ABE≌△CBF; (2)若∠FBE=40°，∠C=45°，求∠E的 度数 (1)证明：.∠1=∠2，∴.∠ABE=∠CBF,在 △ABE和△CBF中， (AB=CB, ∠ABE=∠CBF, BE=BF, .△ABE≌△CBF(SAS); A B (2)解：∠1=∠2，∠FBE=40°，∴.∠1= ∠2=70°，由(1)知△ABE≌△CBF,,∠A= ∠C=45°·∠ABE=∠1+∠FBE=110°，∴ ∠E=180°-∠A-∠ABE=25°. 八年级·云南ZB 乡全等的判定 边角边 5.生活情境·滑梯(2分)如图，有两个长度相 同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等，左边滑梯水平方 向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等， 若∠CBA=32°，则∠EFD=58° MNE B A D 6.(8分)如图，已知两条线段和一个角，以长 的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角 的对边，画一个三角形 2.5cm 3cm 45° 把你画的三角形与其他同学画的三角形进 行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符 合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，∠A=45°，AB=3cm,请 你在∠A的另一边找到点C,使BC= 2.5cm;这样的点C有2个，说明符合 条件的三角形有2种；此时（即“边边 角”对应相等)两个三角形不一定全 等.（填“一定”或“不一定”) A B D 图1 图2 【探索思考】如图2，已知△DEF,若△MNP 兰△DEF,则下列判断不正确的是(C) A.△MNP一定是钝角三角形 B.MN=DE C.∠M=∠F D.△MNP的面积与△DEF的面积相等 R·数学第9页 第2课时 角 知识点①角边角 1.（2分)如图，AC平分∠BAD,∠ACB= ∠ACD,AB=8cm,则AD=(B) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.4 cm 2.（2分)如图，∠1=∠2，∠A=∠B,AE=BE, 点D在边AC上，AE与BD相交于点O.若 ∠C=∠EDC=80°，则∠ADB的度数 是(C) A.70° B.75° C.20° D.25° B、 E 3 ② 第2题图 第3题图 3.生活情境·配制玻璃(2分)如图，某同学把 一块三角形的玻璃打碎成三块，现在他要到 玻璃店去配一块形状、大小完全一样的玻 璃，最省事的办法是带③去配， 4.（12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC =BC,AE是BC边上的中线，过点C作AE 的垂线CF,垂足为点F,过点B作BD⊥BC, 交CF的延长线于点D. (1)试说明：AE=CD; (2)若AC=12cm,求BD的长 (1)证明：：CF⊥AE,BD⊥BC,D ∴.∠EFC=∠ACB=∠DBC= 90°，∴.∠CEA+∠BCD=∠CEA+ ∠EAC=90°.∴.∠DCB=∠EAC, ∠EAC=∠DCB 在△ACE和△CBD中 AC=CB ∠ECA=∠DBC △ACE≌△CBD(ASA),∴.AE=CD; (2)解：.'AC=BC=12cm,AE是BC边的中 线，CE=2BC=6cm.△ACE≌△CBD, ∴.BD=CE=6cm. 八年级·云南ZB 边角和角角边 知识点②角角边 5.生活情境·测量高度(2分)如图，AM是一 段斜坡，AB是水平线，欢欢为了测斜坡上一 点C的竖直高度CN,他在点C处立上一根 竹竿CD,竹竿CD垂直于斜坡AM,在竿顶点 D处垂下一根绳子DE,与斜坡AM的交点是 E.当DE=AC时，测得CE=2m,则CN的长 为(B) A.1m B.2m C.3 m B D.4 m 6.（8分)如图，点E在△ABC外部，点D在 BC边上，DE交AC于点F,若∠1=∠2= ∠3，BC=DE,试说明：△ABC≌△ADE. 证明：.：∠1=∠2，∴.∠1+ E ∠DAF=∠2+∠DAF,即 ∠BAC=∠DAE..∠2= ∠3，∠AFE=∠DFC, B D ∠E=∠C,在△ABC与△ADE中， I∠BAC=∠DAE ∠C=∠E ,∴.△ABC≌△ADE(AAS). BC=DE 【注意用“AAS”判定三角形全等时，要注意边是 其中二组等角的对边 易错点混淆全等三角形判定方法中边角的 对应关系致错 7.(2分)如图，给出下列四组条件： ①AB=DE,∠C=∠F,∠A=∠D;②AB= DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC= EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B= ∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件 是①②③. ·数学第10页 第3课时 知识点边边边 1.生活情境·雨伞(2分)如图是雨伞在开合 过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,点 D,E分别是AB,AC的中点，DM,EM是连接 弹簧和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧 M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌ △AEM,其判定依据是(A) A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 第1题图 第2题图 2.(2分)如图，AB=AD,CB=CD,∠B=32° ∠BAD=72°，则∠ACD的度数是(B) A.102°B.112° C.114°D.1229 3.学习情境·过程性学习(2分)已知线段a, b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下 面作法的合理顺序为(C)》 ①分别以B,C为圆心，c,b为半径作弧，两 弧交于点A; ②作直线BP,在BP上截取BC=a; ③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形， A.①②③ B.①③② C.②①③ D.②③① 4.（8分)如图，已知AB=AC,AD=AE,BD =CE, 求证：∠3=∠1+∠2. 证明：在△ABD和△ACE (AB=AC 中，AD=AE,.△ABD≌ BD=CE △ACE(SSS),∴.∠BAD= ∠1，∠ABD=∠2..·∠3=∠BAD+∠ABD ∴.∠3=∠1+∠2 5.（2分)如图，在5×4的正方形网格，△ABC 的三个顶点均在格点上，点M也在格上（不 与B重合)，则能使△ACM与△ABC全等的 所有点M的个数是(B) A.2 B.3 C.4 D.5 八年级·云南ZB 边边边 B B D 第5题图 第6题图 6.（2分)如图，AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2 =110°，∠BAE=60°，下列结论错误的 是(C) A.△ABE≌△ACD B.△ABD≌△ACE C.∠ACE=30° D.∠1=70° 7.学习情境·动点探究(12分)如图，AD=CB, E,F是AC上两动点，且有DE=BF (1)若点E,F运动至如图1所示的位置，且 有AF=CE,求证：△ADE≌△CBF; (2)若点E,F运动至如图2所示的位置，仍 有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗？ 为什么？ (3)若点E,F不重合，则AD和CB平行吗？ 请说明理由. 图1 图2 (1)证明：，AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,即 (AD=CB AE=CF,在△ADE和△CBF中，{DE=BF, AE=CF .△ADE≌△CBF(SSS). (2)解：△ADE≌△CBF成立，理由：，：AF= CE,∴.AF-EF=CE-EF,即AE=CF,在 (AD=CB △ADE和△CBF中，{DE=BF,∴.△ADE≌ AE=CF △CBF(SSS) (3)解：AD与CB不一定平行，理由：在 △ADE和△CBF中，仅有AD=CB,DE=BF 不能判定它们全等，即不能得出∠A=∠C, 故AD与CB不一定平行. 1·数学第11页 第4课时 知识点尺规作图 1.学习情境·过程性学习(2分)小明在用尺 规作一个角等于已知角时，具体过程是这 样的： 作法： B D C (1)如图，以点0为圆心，任意长为半径作 弧，分别交OA,OB于点C,D; (2)作一条射线0'A',以点0'为圆心，0C 长为半径作弧，交O'A'于点C; (3)以点C为圆心，CD长为半径作弧，与第 (2)步中所作的弧相交于点D'; (4)过点D'作射线O'B',则A'O'B'= ∠AOB. 根据以上的作法，能得到△COD兰△C'O'D', 你认为全等的理由是(C) A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 2.（2分)如图，利用内错角相等，两直线平行， 我们可以用尺规作图的方法，过∠AOB的 边OB上一点E作OA的平行线EG.有以下 顺序的作图步骤：①作射线EG;②以0为 圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交OA, OB于点C,D:③以F为圆心，CD长为半径 画圆弧，交前面的圆弧于点G;④在边OB 上取一点E,以E为圆心，OC长为半径画圆 弧，交OB于点F.这些作图步骤的正确顺 序为(C) A.①②③④ B.③②④① C.②④③① D.④③①② CX A D 第2题图 第3题图 3.（2分)如图所示的是作△ABC的作图痕迹 则此作图的已知条件是(C) 八年级·云南ZBl 尺规作图 A.三边 B.两边及夹角 C.两角及夹边 D.两边及一边对角 4.(7分)如图所示，已知线段a,c和∠a,求作 △ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠a,根据 作图在下面横线上填上适当的内容 N 4入 、MB士今MBg ① (1)如图①所示，作∠MBN=∠a; (2)如图②所示，在射线BM上截取BC= a,在射线BN上截取BA=c; (3)连接AC,如图③所示，△ABC就是所求 作的三角形 5.(6分)尺规作图（只用没有刻度的直尺和 圆规，不必写作法，但要保留作图痕迹)：已 知∠a和线段a,作一个三角形，使其一个 内角等于∠，另一个内角等于2∠，且这 两个内角的夹边等于2a. ,a, -M 6.（8分)如图，在△ABC中，BC=6. (1)尺规作图：请在图中AB的左侧作 LBAE=∠B.(保留作图痕迹，不作写法) (2)在(1)的条件下，在射线AE上取点D, 连接CD交AB于点O,若点O是AB的中 点，求AD的长 解：(1)如图所示； E (2)点O是AB的中点，.A0=B0,在 ∠DAO=∠B △AD0与△BC0中， OA=OB ∠AOD=∠BOC ∴.△ADO≌△BCO(ASA),∴.AD=BC=6. ,·数学第12页 第5课时 知识点斜边、直角边 1.(2分)如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC 和Rt△DEF全等的条件是(C) A.AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,AB=DE C.AC=DF,AB=DED.∠B=∠E,BC=EF C E 第1题图 第2题图 2.(2分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE ⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°，则∠ACD等 于(B) A.45°B.30° C.20° D.15° 3.开放性试题(2分) D 如图，在Rt△ABC 与Rt△DCB中，已 知∠A=∠D=90°，B9 C 若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB,你 添加的条件是AB=DC.(不添加字母和 辅助线) 4.[教材例题变式](6分)如图，∠A=∠D= 90°，AB=DE,BF=EC.求证：△ABC ≌△DEF. 证明：BF=EC,∴ 0 BF+CF=EC+CF,即 BC=EF..∠A= B ∠D=90°，.在Rt 中 (BC=EF △ABC和Rt△DEF AB=DE' Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 注意(1)）用“L”是判定两个直角三角形全等 的特有方法，对于一般的三角形不适用；(2)用 “HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个 三角形符号前一定要加上“Rt” 5.生活情境·滑梯(2分)如图，有两个长度相 同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯 的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，若DF=6m,DE=8m,AD=4m,则BF 等于(A) 八年级·云南ZB 斜边、直角边 A.18mB.16m C.12mD.10m 第5题图 第6题图 6.（2分)如图，在△ABC中，PB=PQ,PR=PS, PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则三个结论：① AS=AR;②QP∥AR;③AB+AQ=2AR 中(B) A.全部正确 B.仅①和③正确 C.仅①正确 D.仅①和②正确 7.（12分)如图，在△ABC中，AB=AC,DE是 过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于 点E. (1)若B,C在DE的同侧（如图1所示）且 AD=CE.求证：AB⊥AC; (2)若B,C在DE的两侧（如图2所示），且 AD=CE,其他条件不变，AB与AC仍垂直 吗？若是，请给出证明；若不是，请说明 理由. 图1 图2 (1)证明：：BD⊥DE,CE⊥DE,∴.∠ADB= ∠CEA=90°.∴.∠ACE+∠CAE=90°.在 R△ABD和Rt△CAE中，AD=CE' (AB=CA ∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)..∠BAD= ∠ACE,∴，∠BAD+∠CAE=90°，∴.∠BAC= 90°，∴.AB⊥AC. (2)解：AB与AC仍然垂直，证明：.BD⊥ DE,CE⊥DE,∴.∠ADB=∠CEA=90°..∴ ∠ACE+∠CAE=90°.在Rt△ABD和 (AB=CA R△CAE中，AD=CE:R△MBD≌R △CAE(HL),∴.∠BAD=∠ACE,.∠BAD+ ∠CAE=90°，∴.∠BAC=90°，∴.AB⊥AC. ,·数学第13页 专题 全等三角 类型一平移模型 ①通过平移找相等角； ②通过加减公共线段找相等边 1.(8分)如图，∠FED=∠B,EF=BC,DA= EB.证明：∠F=∠C. 证明：DA=EB, DA+AE=EB+AE,即 DE=AB.在△DEF和 △ABC中， DE=AB ∠DEF=∠B,∴，△DEF≌△ABC(SAS), EF=BC ∠F=∠C. 类型二对称模型 共边（相等边） 共顶点（相等角） 2.(8分)已知：AB=AC,BE=CD. (1)如图1，证明：∠B=∠C; (2)如图2，连接AO,若∠EA0=∠DAO,不 添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等 三角形 图1 (1)证明：AB=AC,BE=CD,∴.AB-BE AC-CD,即AE=AD.在△ABD和△ACE中， AD=AE ∠A=∠A,∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.∠B AB=AC =∠C; (2)解：图中的全等三角形有△ABD≌ △ACE,△AEO≌△ADO,△BEO≌△CDO, △ABO≌△ACO. 八年级·云南ZB 形中的常见模型 类型三旋转模型 共顶点 不共顶点 3.(8分)如图，点B,F,E,D在同一条直线上， AB∥CD,AE∥CF,BF=DE.证明：AB=CD. 证明：AB∥CD,AE∥CF, ∠B=∠D,∠AEB=∠CFD. BF=DE,.'.BF+FE=DE+FE B E 即BE=DF.在△ABE和 「∠B=∠D △CDF中，BE=DF ∠AEB=∠CFD ∴.△ABE≌△CDF(ASA),∴.AB=CD 类型四手拉手模型 R 条件：AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 结论：△ABD≌△ACE. 4.（12分)在△ABC中，AB=AC,D是直线BC 上一点，以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连 接CE. (1)如图1，当点D在线段BC上移动时，试 说明：∠BAC+∠DCE=180°； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上 移动时，请猜测∠BAC与∠DCE有怎样的 数量关系？并说明理由. 图1 图2 ·数学第14页 (1)证明：：∠DAE=∠BAC,.∠BAD= ∠CAE.在△ABD和△ACE 中， AB=AC ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS). AD=AE ∴.∠ACE=∠ABD.,·∠BAC+∠ABD+∠ACB =180°，∴，∠BAC+∠ACB+∠ACE=∠BAC+ ∠DCE=180°； (2)解：∠BAC=∠DCE.理由如下：：∠BAC =∠DAE,.∠BAD=∠CAE.在△ABD和 AB=AC △ACE中， ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD=AE △ACE(SAS),∴.∠ACE=∠ABD.:∠BAC+ ∠ABD+∠ACB=180°，∠ACE+∠ACB+ ∠DCE=180°，∴.∠BAC=∠DCE. 5.（12分)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC =∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E 三点在同一直线上，连接BD交AC于点G. (1)试说明：△BAD≌△CAE; (2)猜想BD,CE有何特殊位置关系，并说 明理由， 解：(1)∠BAC=∠DAE= 90°，∴.∠BAC+∠CAD= ∠DAE+∠CAD,即∠BAD= ∠CAE.在△BAD和△CAE AB=AC 中，∠BAD=∠CAE,.△BAD≌△CAE AD=AE (SAS); (2)BD⊥CE,理由如下：'△BAD≌△CAE ∴.∠ACE=∠ABD..·∠AGB=∠CGD ∠BAC+∠ABD+∠AGB=180°，∠ACE+ ∠CGD+∠CDG=180°，∴.∠CDG=∠BAC= 90°，∴.BD⊥CE. 八年级·云南ZB 类型五)一线三等角模型（含一线三垂直模型） 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线 三等角模型（角可以为锐角、直角、钝角， 若为直角，则又称一线三垂直模型)。 6.(12分)如图1，在△ABC中，∠ACB=90° AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E. (1)若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE 的长； (2)如图2，在其他条件不变的前提下，CE 所在直线在△ABC的外部，请你猜想AD, DE,BE三者之间的数量关系，直接写出 结论：AD+BE=DE; (3)如图3，若将条件改为：“在△ABC中 AC=BC,D,C,E三点在同一条直线上，并且 有∠BEC=∠ADC=∠BCA=a,其中a为任 意钝角”，那么(2)中你的猜想是否还成立？ 请说明理由， D 图1 图2 图3 解：(1)BE⊥CE,AD⊥CE,∴.∠E=∠ADC =90°，∴.∠EBC+∠BCE=90°.∠ACB= ∠BCE+∠ACD=90°，∴.∠EBC=∠DCA.在 ∠E=∠ADC △CEB和△ADC中，{∠EBC=∠DCA,∴ BC=CA △CEB≌△ADC(AAS),∴.BE=DC,CE=AD =2.5cm..DE=1.7cm,∴.DC=2.5-1.7= 0.8(cm),.BE=0.8cm; (3)(2)中的猜想还成立，理由：：∠BCE+ ∠ACB+∠ACD=180°，∠DAC+∠ADC+ ∠ACD=180°，∠ADC=∠BCA,.∠BCE= ∠CAD.在△CEB和△ADC中， ∠BCE=∠CAD ∠BEC=∠CDA,∴.△CEB≌△ADC(AAS), CB=AC ∴.BE=CD,EC=AD,∴.DE=EC+CD=AD +BE. 1·数学第15页 周& 一、选择题（每小题2分，共12分） 1.下列各选项中的两个图形属于全等形 的是(B) 2.下列说法中，正确的是(A) A.全等的两个三角形的面积相等 B.两个等腰直角三角形全等 C.面积相等的两个三角形是全等三角形 D.周长相等的两个三角形是全等三角形 3.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形 则∠1与∠2的和为(B) A.100 B.90° C.60° D.45° 4.如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC,AE= FC,AD=BC,点A、E、F、C在同一直线上，其 中错误的是(C) A.FD∥BE B.∠B=∠D C.AD=CE D.∠BEA=∠DFC A D 6 第4题图 第5题图 5.如图所示，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD且 BC=CD,若点E、B、D到直线AC的距离分 别为6,3,2，则图中实线所围成的阴影部分 面积S是(D) A.50 B.44 C.38 D.32 6.如图，AC⊥BD于P,AP=CP,增加下列一个 条件：(1)BP=DP;(2)AB=CD;(3)∠A= ∠C,其中能判定△ABP≌△CDP的条件 有(D) 八年级·云南ZB] 则2 A B D A.0个 B.1个C.2个 D.3个 二、填空题（每小题2分，共6分） 7.开放性试题如图所示，AB=AC,再添加一 个条件∠B=∠C,就可以使△ABE ≌△ACD. D A E 第7题图 第8题图 8.小明计划制作一个如图所示的简易模型，已 知该模型满足△ABD≌△ACE,点B和点C 是对应顶点，若AB=8cm,AD=3cm,则DC =5cm. 9.数学思想·分类讨论如图，AB=4cm,BC= 6cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以 2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时， 点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t 秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值 是 1或 Q B P 三、解答题（共21分） 10.(6分)如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C',AD与A'D 分别为BC,B'C'边上的中线，且AD=A'D' 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. A B C ·数学第16页 证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， (AC=A'C {AD=A'DRE△ACD≌Rt△A'CD (HL),∴.CD=C'D',,AD与A'D'分别为 BC,BC'边上的中线，∴.CB=CB', AC=A'C' 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中， ∠C=∠C, CB=C'B' ∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS). 11.（7分)如图，在△ABC中，点D在边BA的 延长线上，过点D作射线DM∥BC,点E是 射线DM上一个定点 (1)尺规作图：在射线DM上方求作 ∠DEF,使得∠DEF=∠C,与BA的延长线 交于点F.（不用写作图步骤，保留作图痕 迹) (2)在(1)问条件下，若BD=AF,求证：AC ∥FE. 请把以下的解题过程补充完整. 证明：.DMBC(已知)， .∠B=∠FDE(①两直线平行，同位角 相等)， .BD=AF(已知)， .BD-AD=②AF-AD(等式的性质)， 即AB=FD, 在△ABC 和△FDE [③∠C=∠DEF 中，∠B=∠FDE B AB=FD .△ABC≌△FDE(④AAS), .⑤∠BAC=∠DFE(全等三角形的对 应角相等)， .AC∥FE(⑥同位角相等，两直线平行)： 八年级·云南ZB 12.(8分)小明在物理课上学习了发声物体的 振动实验后，对其作了进一步的探究.在一 个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个 小球A,小球A可以自由摆动，如图，OA表 示小球静止时的位置，当小明用发声物体 靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此 时过点B作BD⊥OA于点D,且测得点B 到OA的距离为8cm;当小球摆到OC位置 时，OB与OC恰好垂直（图中的A,B,0,C 在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点 E,测得点C到OA的距离为14cm. (1)判断CE与OD的数量关系，并证明； (2)求两次摆动中点B和C的高度差DE 的长 解：(1)CE=OD.理由如下：，OB⊥OC, ∠BOD+∠COE=90°，，BD⊥OA,CE⊥ OA,∴.∠ODB=∠CE0=90°，∴.∠BOD+ ∠OBD=90°，∴.∠OBD=∠COE,在△COE ∠CEO=∠ODB 和△OBD中，∠COE=∠OBD,∴.△COE CO=OB ≌△OBD(AAS),∴.CE=OD; (2)由题意，得CE=14cm,BD=8cm,, △COE≌△OBD,∴.OE=BD=8cm,CE=OD =14cm,∴.DE=0D-0E=14-8=6(cm）, 两次摆动中点B和C的高度差DE的长 为6cm. ·数学第17页