课时小练 第十八章 分式-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

18.1.1从 知识点①分式的概念 1.(2分)下列各式中，是分式的是(C) B. π-1 c 2 D.3x2y+4 【易错提醒】判断一个式子是不是分式要看其原 始形式，而不是看化简后的式子。 2.(2分)下列判断正确的是(C) A.分式的分子中一定不含有字母 B.分式的分子中一定含有字母 C.分式的分母中一定含有字母 D.分数一定是分式 3.[教材练习变式](8分)请你联系生活中的 实际问题，列举一个用分式20“表示的数量 关系 解：小明从家到学校的步行速度如果是20 米/分，则时间是x分钟，从家到学校的步行 速度如果是y米/分，则时间是20分钟 知识点②分式有无意义的条件 4[教材例题交式](2分)若代数式4有意 义，则实数x的取值范围是(D) A.x=0B.x=4C.x≠0D.x≠4 5.(2分)要使分式x+无意义，则的取值应 2x-1 满足(B) 1 A.x=- 2 B.&=1 2 C.x关、1 D.x关 2 八年级·云南ZB 分数到分式 6.新开放性试题(2分)一个分子为x-5的分 式，在x≠1时有意义，请写出一个符合上述 条件的分式： x-5 x-1 2 7.（7分)已知：代数式 -m (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)当m为何整数时，该式的值为正整数？ 解：(1)由题意得：2-m=0,解得：m=2; 代数式，二的值为正整数，心 或2-m=2,解得：m=1或m=0. 知识点③分式的值为0的条件 8.（2分)当x=2时，下列分式中，值为0的 是(B) A x-2 R.24 x2-3x+2 x-9 1 C. “x-2 D.2 x+1 92分)要使分式2的值为0，则a与。 应满足的条件是a=-3且b≠1· 10.(2分）若1-xl 1 =0,则 x2-2x+1 x2021-1 1 2 11.(8分)已知当x=-1时，分式-无意义， x+a 当x=4时，分式x-b的值为0，求a+b x+a 的值. 解：当x=-1时，分式-无意义，即-1+a x十a 0,解得a=1;当x=4时，分式-的值为 x+a 0,即4-b=0且4+a≠0，解得b=4,∴.a+b= 1+4=5. ·数学第47页 18.1.2分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质及约分 知识点①分式的基本性质 6.(2分)要使式子 x+1 、从左到 1.(2分)下列式子从左到右的变形一定正确 x-3(x-3)(x+1) 的是(C) 右变形成立，x应满足的条件是(D) A.at3a B.aac A.x>-1 B.x=-1 6+3 b ·bbc C.x<-1 D.x≠-1 C.30a D.a2 36 b ·b62 7(2分)如果分=2，则 a2+62的值等 2.(2分)根据分式的基本性质填空： 于(C) 2x+2 4 ,括号内应填(B) .3 B.1 D.2 (x+1)(x-1)() A.x2-1 B.x-1 8.(2分)除了通过分式的基本性质进行分式 C.x+1 D.2(x+1)(x-1) 变形外，有时，就是只把分式2中的a,。 知识点②分式的约分 同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会 3.(2分)下列分式4y+3,-12-y+y 变，则此时h的值可以是下列中的(B) 4a’x4-1’ x+y b a2+2ab A.2 C.ab D.a2 中，是最简分式的有(C) ab-262 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.学习情境·过程性学可(8分)对分式0-办 a-b 4.（6分)约分： 的变形： (1)5abc3 25abci 小张同学的解法是： a2-b2(a+b)(a-b .-a a-b a-b 解 -5a3bc35a3bc3·(-a2)_a2 +b; 25abe4 5a be3.5c 5c 小马同学的解法是： a2-b2(a2-b2)(a+b) a-b (a-b)(a+b) x2-2xy =(a2-62)(a+b (2)2-4轻y+4 -=a+b. a2-b2 x2-2y x(x-2y）1 请判断小张、小马两同学的解法是否正确， 解：2-4+4xx-222 并说明理由， 解：小张同学的解法正确，小马同学的解法 易错点)对分式的基本性质理解不透彻 不正确 理由：小马同学在进行分式的变形时，分子、 5(口分剂若分式化简为中则：应满足 分母同乘a+b,而a+b可能为0，.小马同 的条件是(B) 学的解法不正确， A.x≠1或x≠0 B.x≠-1且x≠0 C.x≠-1 D.x≠0 八年级·云南ZBR·数学第48页 第2课时 知识点①最简公分母 1.(2分)分式-5和3的最简公分 6xy 4xyz 母是(B) A.12xyz B.12x2yz C.24xyz D.242xyz 2.(2分)分式+1，，1的最简公分 x’2x+6'x2-9 母是2x(x+3)(x-3）. 知识点②分式的通分 3.(2分)把1 1 -2'(-2)(+3)'(+3)2通分过 程中，不正确的是(D)》 A.最简公分母是(x-2)(x+3)2 B、1 (x+3)2 “x-2(x-2)(x+3)2 x+3 C(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)尸 D.、2 2x-2 “(x+3)2(x-2)(x+3)2 4(2分)分式。0经过通分后分母变成2西 -b)(a+b),那么分子应变为(C) A.6a(a-b)2(a+b) B.2(a-b) C.6a(a-b) D.6a(a+b) 5.(2分)分式1 与的最简公分 6a2b 母是12a2b2. 6(2分)把，5通分，则为 3y2 4x2'6x 4x2 12x2y 5 10x 6xy 12x2y 7.(2分)把，1 2 a一通分后， 3a+6'a2+2a+1'a2+3a+2 各分式的分子之和为2a2+7a+11 八年级·云南ZB 分式的通分 8.（12分)通分： (1)与y 6ab29a2bc 解：最简公分母是18a2b2c x 3acx 6ab18aBc' y= 2by 9a"be 18a22ci 22与 解：最简公分母是(a+1)(a-1),2+2a+1 a-1 (a-1)266(a+1) (a+1)2(a-1)'a2-1(a+1)2(a-1) (3)龙y 2 x-y’x2+2xy+y2’2-y2 解：最简公分母是x二)(x+y,xy x(x+y)2 2 y(x-y) (x+y)2(x-y)'x2+2xy+y2(x+y)2(x-y) 22(x+y） x2-y2(x+y)2(x-y) 9.(8分)小强的一道作业题：“对下列分式通 分，之”他的解答如下请你指出他 的错误，并改正 x-3 解：3x(x2-1）x(x+1)(x-1)t3. 3-3 3 3(x+1) x-x2x2-xx(x-1)x(x+1)(x-1) -3(x+1). 解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分 武的基本性质，改正如下： 无”一光 x-3 3 3(x+1) x(x+1)(x-1)'x-x2x(x+1)(x-1) ·数学第49页 18.2分式 第1课时 知识点①分式的乘法 b 1.(2分)计算(-a2)×,的结果为(B) A.b B.-b C.ab 6 D. a 2(2分)计算2录 1 y 2x 3.(2分)八年级的三位同学在一起讨论一个 分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行 因式分解. 丙：计算结果是 x-2 请你写出一个符合上述条件的题目(x+ 1 2）·2-4 4.(8分)计算： (1)+1.。x xx2+2x+15 解：原式=+1 1 (x+1)2x+1 (2)1-4x)2.4x2+12x+9 2x+34x-1 架：原式=4-°.2x+3)2=（4-1(2x 2x+34x-1 +3)=8x2+10x-3. 知识点②分式的除法 a.a2 5.（2分)计算： ‘a-1a-i=(D) A.1 B.a C.a-1 D.1 d 6.学习情境·墨迹污染(2分)墨迹覆盖了“计 算-11- 2 =”中右边的计算结果，则 aa 覆盖的是(D) A.a2 B.-a2 C.a D.-a 八年级·云南ZBF 的乘法与除法 分式的乘除 7.(6分)(1)计算：-12-1=-3 x-3x2-6x+9x+1 @者动·得则式 3x x+y 8.（(8分)计算： 2m,4m2 (1) 5n'10n3 2m10n3n2 解：(1)原式 5n4m2m (2 4x2 52. 解：原式=(5) 5y 4x 9(8分)先化简1。a a+1a2+2a+1 ，然后在0,1， -1中挑选一个合适的数代入求值 解：原式=·(a+1)_a+1由分式有意 a+l a a 义可知，a≠0，-1，故a=1,当a=1时，原式 1+1 2. 1 知识点③分式的乘除法的应用 10.[教材例题变式](12分)有甲、乙两筐水 果，甲筐水果的质量为(m-1)2kg,乙筐水 果的质量为(m2-1)kg(其中m>1).售完 后，两筐水果都卖了150元.高的单价是低 的单价的多少倍？ 150150150 解：根据题意得： m-1)2m2-1(m-1)2 (m+1)(m-1)m+1 -1 ,所以高的单价是 150 低的年价的倍 ·数学第50页 第2课时分式台 知识点①分式的乘除混合运算 1.(2分)计算x÷”.1的结果是(B) A. B.y C.xy D.1 2(8分)先化简，再求值：2-2x+11 x2-1.x+1 话其中分 解：原式=(x+1(x-1).-1.1-x_1- (x-1)2x+11+x1+x 把x=代入，可得原式=号 知识点②分式的乘方 3.(2分)计算()的结果是(B) B.、t C.6 D.、 2 2 【易错提醒】负数的偶次暴为正数，负数的奇次暴 为负数 4.(12分)计算： (2)(24) 解：原式=ab edi 解：原式=4 c2 i (3)(3 )3 x+2y 解：原式= 27a6 (x+2y)3i 八年级·云南ZB 的乘方及混合运算 知识点③分式的乘除、乘方混合运算 5(2分)如果（京：（分=3，粥么心等 于(B) A.6 B.9 C.12 D.81 6.(8分)计算： b2、 (10(2a÷(0) a 雕：原式a之0一 (2,6，.a+ab2-262-a (a-6)2· b3 ab+b2 解：原式= 、64 .a(a2+62-2ab】÷ (a-b)2 63 (b+a)(b-a】 6 a(a-b)2 b(a+b) (a-b)2 63 b(a+b) ab2 (b+a)(b-a)b-a 2ab2、 7.（12分)先化简，再求值：( a+b ·[2a-,其中a=6=2 1 2,6s 3 解：原式 8a3b6 .(a+b)（a-b)2 (a+6)3 a266 4a-b2a+6,当0s、 1 6=号时，原武 3 2x(2 -=-6 1.2 23 ·数学第51页 18.3分式 第1课时 知识点①同分母分式相加减 1.(2分)计算+11的结果为(A) xx A.1 B.x c D.七+2 2.(2分)计算2x+32x 的结果为(C) x+1x+1 A.1 B.3 0.、3 D.+3 x+1 x+1 3.(8分)计算：*+y+y2xy y-x x-y y-x 解：原式=Y+y+2x-y=-y+y+2x-y x-y x-y x-y x-1 =y=1 x-Y 知识点②异分母分式相加减 4(2分)化简1+1，的结果是(A) x+1x2-1 1 A.2-1 B.- C.x+1D.x-1 x-1 5.(2分)计算+等于(c) x 2x 3x 1 3 5 B. D. 2x 6x 6x 6.(2分)已知1<x<2,则式子x21x-1 1x-21x-1 x化简的结果是(A) A.-1 B.1 C.2 D.3 7.(8分)已知：P=x+1,Q=4当>0时，判 x+1 断P-Q与0的大小关系，并说明理由. 解：P-Q≥0，理由如下：P-Q=x+1-4 x+1 (x+1)24x_x2+2x+1-4x_（x-1)2. x+1x+1x+1 x+1x> 0,∴.x+1>0,(x-1)2≥0.∴.P-Q≥0. 八年级·云南ZB 的加法与减法 分式的加减 8.(2分)如图，若x为正整数，则表示x-3)2 x2-6x+9 的值的点落在(B) x+1 ①②③④ -0.20.411.62.2 A.段①B.段②C.段③D.段④ 9.学习情境·程序框图(12分)学习分式运算 过程中，老师布置了这样一个任务：依据下 边的流程图，计算，-2a6 a-b a2-62 两个分式 相减 判断分母 ② 是否相同 否 分丹不变， 通分，化为 分子相减 同分母分式 3 判断是否为最 ④ 是 简分式或整式 否 结果 约分 (1)依据流程图计算。-2ab a-b a2-b2 时，需要经 历的路径是②④（只填写序号）； (2)依据(1)中路径写出正确解答过程. (2)原式=a 2ab a-b (a+b)(a-b) a(a+b)】 2ab a2+ab-2ab (a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)(a-b) a2-ab a(a-b) a (a+b)(a-b)(a+b)(a-b)a+b ·数学第52页 第2课时 分 知识点①分式的混合运算 1.(2分)计算(a。-a) 4-a2 a-2a+2 的结 果是(A) A.-4B.4 C.2a D.-2a 22)化简(12)÷(1-之)的结 果为(A) 4.女1 B.七+1 x+1 x-1 C.*1 D.1 3(2分)若4 -）·W=1,则W等 于(C) A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2) C.a-2(a≠±2) D.-a-2(a≠±2) 4.(8分)计算： (1)6-2m (11 m2-6m+9m-3m+3）; 解：原式=2(m-3)。m+3-m+3。-2 (m-3)2(m+3)(m-3)m-3 .（m+3)(m-3)_m+3 6 3 (2)+1.(x)2+1+1 `+1x-1x+1 解：原式=+1.11 x(x+1)2'x-1x+1x+1 1,1x+1,1 1龙 -=1+ x-1x+1x+1x-1x-1x-1 (3)(+2-1)x4 x2-2xx2-4x+4x 解：原式=(+2)(x-2)=(x-1山.￥ x(x-2)2 x-4 x2-4-x2+x,x-1 x(x-2)2x-4(x-2)2 八年级·云南ZBF 式的混合运算 （a中1a+1)a-4a+4,4 5.(8分)化简：(3。 a+1a-2 a,并从-1,0,2中选一个合适的数作为a的 值代入求值， 解：原式= 3-(a-1)(a+1) a+1 + a+1 （a-2)2 4-a(a-2) 3-a2+1 -a2+2a+4 a-2 (a-2)2 a-2 -(a+2)(a-2),-a2+2a+4 =-a-1,根据分 (a-2)2 a-2 式有意义的条件可得a≠-1，a≠2，∴.a=0, .-a-1=-1. 知识点②分式混合运算的实际应用 6.(2分)在一条河里，甲、乙两船从A港口同 时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原 路返航，若甲船在静水中的速度为1，乙船 在静水中的速度为v2,水流速度为vo(v1>v2 >o>0),乙船先返回A港 7.（12分)甲、乙两人两次在同一粮店购买粮 食（设两次单价不相同），甲每次购粮100 kg,乙每次购粮花费100元.设甲、乙两人第 一次购买粮食的单价均为x元，第二次购买 粮食的单价均为y元. (1)用含x,y的式子表示，甲两次购买粮食 共付粮款100(x+y)元，乙两次共购买 100.100 (+） kg粮食.若甲、乙两次购粮 x y 的平均单价分别为Q1元和Q2元，则Q1= x+y 2 ,0= 2xy x+y （2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的 购粮方式就合算，请你判断甲、乙两人谁的 购粮方式合算，并说明理由 解：(2)乙购粮方式合算，理由：Q,-Q,-x 2 2xy_（x-y)2 ·两次单价不相同，∴x≠ x+y2(x+y）' x>0,0,>Q,乙购粮方式 2(x+y) 合算 ·数学第53页 周。 一、选择题（每小题2分，共12分）》 1.下列式子是分式的是(B) 1 N.2 B.2 C.x+y D.1 2 2.若分式+2有意义，则x的取值范围是(B) x-3 A.x≠-2 B.x≠3 C.x>3 D.x<3 3.下列分式从左到右的变形一定正确 的是(D) A.btb B.6、bx aty a 2a 2ax C.*-Y_y-x D.x-Y=-1 x+y x+y x+y 4.计算(-点2·g的结果是(C） m A.、1 B.-m m D.m m 5.数学思想·整体思想已知】-=2，则4 a b b 的值为(A) A.-2 B.、 c D.2 6.新定义我们定义：若两个分式M与N的 和为常数a,且a>0,则称M是N的“和约分 式”，a称为M关于N的“和约分式值”.如 +7M+Ws2x.2 分试M=品 x+1x+1 则M是N的“和约分式”，a=2.已知分式P 、x+之2=3x4),且P是为O的的分 八年级·云南ZB 则7 式”，则P关于Q的“和约分式 值”是(A) A.6 B.5 C.3 D.1 二、填空题（每小题2分，共8分） 7.若分式的值为0，则x的值为 -1. x-1 &开放性试题若M是一个式子，且M·的 化简结果为整数，请写出一个满足条件的M 所代表的式子：12x2 9.分式1 2ab+262 2与202的最简公分母 是2b(a+b)(a-b) 10.学习情境·墨迹覆盖如图，一个正确的运 算过程被墨迹盖住了一部分，则被盖住的 部分是1。 a+1 a+1 三、解答题（共27分） 11.学习情境·过程性学习(8分)下面是小彬 同学化简(2--5)2+6x+9 )÷ x-1 的过程，请认 x2-1 真阅读并完成相应任务， 解：(2--5÷x2+6x+9 )÷ x-1x2-1 =r2(x-1)x51+6x+9 x-1x-1 x2-1 …第一步 =2x-2-x-5.(x+3)2 …第二步 x-1(x+1)(x-1) =x-7.(x+1)(x-1) …第三步 x-1(x+3)2 =（x-7)(x+1) …第四步 (x+3)2 ·数学第54页 _x2-6x-7 …第五光 x2+6x+9 任务： (1)上述解答过程中，第一步进行的 是通分（填“约分”或“通分”），其依 据是分式的分子与分母乘（或除以）同 一个不等于0的整式，分式的值不变； (2)上述解答过程中从第二步开始出 现错误，这一步错误的原因是分子相减 时，-5没有变号； (3)请求出正确的化简结果。 原式= 2(x-1)-51÷ (x+3)2 x-1x-1 (x+1)(x-1) 2x-2-x+5 (x+3)2 x+3 x-1 (x+1)(x-1) x-1 (x+1)(x-1)x+1 (x+3)2x+3 12(7分)先化简：(1+，然后从 -2,-1,0,1中选一个你喜欢的x的值，代 人求代数式的值， x2-1+1_x2(x+1)(x-1) x2-1x-1 x2 =x+1,对 1≠0，x-1≠0，x≠0，∴.x≠±1且x≠0，.x 可以取-2，当x=-2时，原式=-2+1=-1. 八年级·云南ZB 13.（12分)（昆明期末）阅读下面的解题过 程巴知末若的解h之 x4+1 x2+1 知0，所以生-3，即x+3因 此(x-2=-2=7,所 ，的值为行该题的解法叫作“倒数 以 法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知水 的值。 x4+3x2+1 解：由，x=知≠0 x2-x+14 .2-+1=4,即 1 x-1+=4,.x+=5,. .x4+3x2+1 x2 =x2+3 1 x (x+2)P+1=5+1=26.心+3 1 26 ·数学第55页 18.4整 知识点①负整数指数幂 1.(2分)（兮2的相反数是(B) A.9 B.-9 C.g D.-g 2(2分)已知a=(-32,6=(20,c= (0.8)1,则a,b,c的大小关系是(B) A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b 3.(2分)计算(a3)-2的结果是(C) A.-a B.a5 1 C.s D.、I 4.（8分)计算： 1 (1)(mn3)2.(-3m3n); 解：原式=m'n6.1 3m6 1 (2)(2m2n3)2.(-mn2)3÷(m3n)2. 解：原式=22m4n6·(-mn）÷(m6n2)= 1 八年级·云南ZB 数指数幂 知识点②用科学记数法表示绝对值小于1 的数 5.科技前沿·DeepSeek(2分)DeepSeek横空 出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最 强大模型行列.它研发的AI处理器采用先 进封装技术，其内部某微型元件的直径为 0.0000034米.若用科学记数法表示这一 长度，正确的是(B)米 A.3.4×10-5 B.3.4×106 C.0.34×10-5 D.0.34×10-6 6.(2分)中国科学院研发出新型的工业纳米机 器人，其大小约为70nm.已知1nm=109m, 则70nm用科学记数法表示为(C) A.70×10-9m B.0.7×10-7m C.7×10-8m D.-7×108m 7.科技前沿·手撕钢(2分)“手撕钢”是一种 能够被徒手撕碎，厚度只有A4纸四分之一 的不锈钢，广泛应用于航空航天、国防、精密 仪器等领域.山西太钢自主研制的不锈钢箔 材厚度为2×10-5m,其制造工艺达到世界领 先水平.将数据“2×10-5m”化成以“mm”为 单位的数，正确的是(C) A.200 mm B.20 mm C.0.02mm D.0.002mm 易错点)忽视零指数幂和负整数指数幂成立 的前提 8.(6分)若(2x+4)°+2(9-3x)-7有意义，求x 应满足的条件. 解：由题意得2x+4≠0且9-3x≠0，∴.x≠-2 且x≠3. ·数学第56页