专项总结突破卷（四）线段与角的相关计算-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学教用版（人教版2024）云南专用

专项总结突破卷（四） 线段与角的相关计算 题型1 线段的中点问题 1.如图，已知B、C在线段AD上. A B C D (1)图中共有 6 条线段； (2)若AB<CD. ①比较线段的长短：AC BD(填“>”“=”或“<”)； ②若AD=10,BC=8,M是AB的中点，N是CD的中点，求线段 守 MW的长度， 解：(2)②因为AD=10,BC=8,所以AB+CD=AD-BC=2.因为M 是B的中点，v是CD的中点，所以BM=B,Cy=CD, 2 0 所以BM+CN=2(AB+CD)=2×2=1.所以MN=BM+CN+BC =9. 福 2.如图，延长线段AB到C,使BC=3AB,点D是线段BC的中点， 如果CD=3cm, (1)求AC的长度； 腳 (2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度. A B D 解：(1)因为D是线段BC的中点，CD=3cm,所以BC=2CD= 6cm.因为BC=3AB,所以AB=。BC=2cm,所以AC=AB+BC 3 =2+6=8(cm). (2)因为E是4C的中点，所以EC=AC=4em,所以ED= EC-DC=4-3=1(cm). 荠 题型2线段的动点问题 3.如图，P是线段AB上一点，AB=12cm,C、D两点分别从点P、点 B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿线段AB向左运动(C在线段 AP上，D在线段BP上)，运动的时间为ts. (1)当t=1时，PD=2AC,请求出AP的长； (2)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请求出AP的长. A C P D B 解：(1)当t=1时，由题意，得BD=2cm,PC=1cm,则BD=2PC 因为PD=2AC,所以BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP.因为 AB=12cm,AB=AP+PB,所以12=3AP,则AP=4cm; (2)根据C、D的运动速度知：BD=2PC,因为PD=2AC,所以 BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP.因为AB=12cm,所以AP =4cm. 4.新定义定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线 段，则称这个点是这条线段的三等分点.如图1，点C在线段AB 上，且AC:CB=1:2,则点C是线段AB的一个三等分点，显然， 一条线段的三等分点有两个. (1)已知：如图2，DE=15cm,点P是DE的三等分点，求DP 的长； （2)已知：线段AB=15cm,如图3，点P从点A出发以每秒1cm 的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点 A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且 速度始终为每秒2cm,设运动时间为t秒 ①若点P、Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值； ②若点P、Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t 的值 解：(1)当DP=2PE时，DP= B 作10cm当2DP=P产 图1 DP= 3DE=5cm.综上所述： 图2 DP的长为5cm或10cm A B (2)①根据题意，得(1+2)t= 图3 15,解得t=5. ②(I)点P、Q重合前，AP=t,PQ=15-t-2t=15-3t,当2AP= PQ时，有2t=15-3t,解得t=3;当AP=2PQ时，有t=2(15- 31,解得=气 30 (II)点P、Q重合后，AP=t,PQ=(2-1)(t-5)=t-5,当AP= 2PQ时，有t=2(t-5),解得t=10;当2AP=PQ时，有2t=t- 5,解得1=-5引不合题意，舍去).综上所述：当=3秒.9秒 或10秒时，点P是线段AQ的三等分点， 5.如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB=m,CD=n, 且m,n满足Im-41+(n-8)2=0,点M,N分别为AB,CD中点. (1)求线段AB,CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1 个单位长度也向右运动.若运动6秒后，MN=4,求开始运动时 线段BC的长； (3)若BC=24,将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位 长度的速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t 内，始终有MN+AD为定值.求出这个定值，并写出t在哪一个时 间段内. A M B 解：(1)因为1m-41+(n-8)2=0,所以m-4=0,n-8=0,所以m= 4,n=8,所以AB=4,CD=8; (2)设运动后M的对应点为M',N的对应点为N'.由题意可 得BM=2,CN=4,M'N'=4.若6秒后，点M'在点N'左边时， 由MW+NN'=MM'+M'N',即2+4+BC+6×1=6×4+4,解得BC =16;若6秒后，点M'在点N'右边时，则MM'=MN+NW'+ M'N',即6×4=2+BC+4+6×1+4,解得BC=8.综上，BC=16 或8； (3)运动t秒后MN=130-4t1,AD=136-41,当0<7.5 时，MN+AD=66-8t,当7.5≤t≤9时，MN+ADe6,当t>9时， MN+AD=8t-66,所以当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值 为6. 题型3角的运算 6.如图，点A,O,B在同一条直线上，∠AOC=∠BOD,OM,ON分别 是∠AOC,∠BOD的平分线. (1)若∠COD=80°，求∠MON的度数； (2)比较∠DOM和∠CON的大小，并说明理由. 解：(1)因为OM,ON分别是∠AOC,∠B0D D M 的平分线，所以∠M0C=马 ∠A0C,A ∠NOD=。∠BOD,所以∠MON=。(∠AOC+∠BOD)+ 2 2 ∠C0D=2×(180-∠C0D)+∠C0D=130; (2)∠DOM=∠CON,理由如下：因为∠MOC= 2∠A0C, NOD=2∠BOD,LA0C=LB0D,所以LMOC=∠NOD,m 以∠MON-∠NOD=∠MON-∠MOC,所以∠DOM=∠CON. 7.已知∠A0B=120°，∠C0D=60°，0E平分∠B0C. (1)如图1，当∠C0D在∠A0B的内部时，若∠AOC=40°，则 ∠C0E=40°；∠D0E=20° (2)如图2，当∠C0D在∠AOB的外部时， ①请写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由； ②在∠AOC内部有一条射线OF,满足∠AOC+2∠B0E= 4∠AOF,写出∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明 理由. 图1 图2 解：(2)①2∠D0E=∠AOC.理由：因为OE平分∠BOC,所以 ∠BOC=2∠COE,所以∠AOC-∠AOB=2(∠DOE-∠COD). 因为∠A0B=120°，∠C0D=60°，所以∠A0C-120°= 2(∠D0E-60),化简得2∠D0E=∠A0C. ②∠D0E-∠AOF=30°，理由如下：因为∠AOC=∠AOB+ ∠BOC,∠BOC=2∠BOE,∠AOC+2∠BOE=4∠AOF,所以 4∠AOF=∠AOB+4∠BOE.因为∠DOE=∠COD+∠C0E, ∠COE=∠BOE,所以4∠D0E=4∠COD+4∠B0E,所以 4∠D0E-4∠AOF=4∠COD-∠AOB.因为∠A0B=120°， ∠C0D=60°，所以4∠D0E-4∠A0F=120°，所以∠D0E- ∠A0F=30°. 8.已知点B,0,C在同一条直线上，∠AOB=a(0°<<60°). (1)如图1，若∠B0D=90°，∠E0D=140°，0A平分∠E0D,求 ∠EOB与∠AOB的度数； (2)如图2，∠B0D=90°，0F平分∠A0D,OG平分∠A0C,求 ∠FOG的度数； (3)如图3，∠AOM与∠AOB互余，若∠BON也与∠AOB互余， 请直接写出∠MON的度数.（用含a的式子表示） BOCA、 A B O C B O C 图1 图2 图3 解：(1)因为∠E0D=140°，OA平分∠E0D,所以∠AOE=∠AOD= 70°.因为∠B0D=90°，所以∠A0B=90°-70°=20°，所以 ∠E0B=70°-20°=50°； (2)因为∠B0D=90°，所以∠A0D=90°-a.因为OF平分 ∠A0D,所以∠A0F=5∠A0D=(90-a).图为∠A0C= 2∠A0C= 180°-a,0G平分∠A0C,所以∠A0G= 2(180°- a),所以∠F0G=∠A0G-∠A0F=2(180°-a)-290°-a =45°； (3)∠MON的度数为a或180°-. 【解析】因为∠AOM与∠AOB互余，∠BON与∠AOB互余， 所以∠A0M=90°-a,∠B0N=90°-，则∠M0N=90°-(90°- )=a或∠M0N=90°+(90°-a)=180°-a. 9.如图1，点0为直线AB上一点，过0点作射线OC,使∠B0C= 120°，将一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线 OB上，另一边ON在直线AB的下方， (1)如图2，将图1中的三角板绕点0逆时针旋转，使边OM在 ∠B0C的内部，且OM恰好平分∠B0C,此时∠AOM=120度； ∠B0NW=30度. 易错 分析 (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点0按逆时针方向旋转， 使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什 么等量关系，并说明理由. (3)将图1中的三角板绕点0以每秒10°的速度沿逆时针方向 旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC,则此 时三角板绕点0旋转的时间是6或24秒. 图1 图2 图3 解：(2)∠A0M-∠N0C=30°.理由如下：因为∠B0C=120°，所 以∠A0C=60°，所以∠A0N=60°-∠N0C.又因为∠AOM+ ∠AON=90°，所以∠AOM+(60°-∠N0C)=90°，即∠AOM- ∠N0C=30°. 做题 心得