第3章 圆的基本性质拓展之最值篇题型过关专练（优质类型）-2025-2026学年浙教版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第3章 圆的基本性质拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 3．如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为 ． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 3．如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为 ． 类型三、两动一定 【解惑】如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【融会贯通】 1．如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（   ）    A．2 B．3 C． D． 2．如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，矩形中，，．为矩形内一点，连接，，且，为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 类型四、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 类型五、直角圆 【解惑】如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，C是上的一个动点，连接，过点D作于点H，连接． （1）若C是的中点，则点C到直线的距离为 ； （2）在点C移动的过程中，线段长的最小值是 ． 3．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ． 类型六、定角定弦 【解惑】如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为 ． 3．如图，在等边三角形中，，是边上的一动点，以为边向上作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 类型七、面积最值 【解惑】如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为 ． 类型八、折叠圆 【解惑】如图，中，，，，P是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点B落在平面上处，射线与射线交于点E． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接．将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，则的面积最小值为（    ） A．3 B．6 C． D．12 2．如图，在边长为4的菱形中，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，将沿折叠，得到，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 类型九、比值与平方最值 【解惑】已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【融会贯通】 1．如图，在中，直径为8，弦经过的中点P，则的最小值为（    ）    A．12 B．24 C．36 D．40 2．如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 3．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 2．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点运动路径 【解惑】如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、勾股定理，由勾股定理可得长方形的对角线长为，结合第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，即可得出第一次走过的路径，再由第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，计算出第二次走过的路径，即可得解． 【详解】解：第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到， 长方形的对角线长为， 此次点走过的路径为， ∵第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角， ∴第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到， 此次点走过的路径为， ∴点翻滚到时，共走过的路径长为， 故选：B． 2．如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数．第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，矩形的对角线长为，此次A点走过的路径为弧，第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，此次A点走过的路径为弧，走过的总路径为两段弧长之和． 【详解】解：连接， 第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到， 矩形的对角线长为， 此次A点走过的路径为弧，弧长； 第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到， ∵的长为，与桌面成角， ∴， ∴此次A点走过的路径为弧，弧长 ， ∴点A翻滚到点的位置路径为， 故答案为：． 3．如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求弧长，解题的关键是熟练掌握弧长公式．根据等腰三角形的性质求出，根据旋转可知，根据三角形外角的性质求出，根据弧长公式求出． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转可知：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴点经过的路径的长为：． 故答案为：． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理等，作点关于的对称点，连接交于点，可得，此时的值最小，再利用圆周角定理及弧弦圆心角的关系可得，最后利用勾股定理求出即可求解，找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则， 此时，为最小值， 连接，， ∵， ∴， ∴的度数是， ∵为的中点， ∴的度数是， 根据垂径定理得的度数是， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 2．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 3．如图，，平分，以为圆心，3为半径作弧分别交、、于点、、，为上一动点，连接、．则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要弧长公式以及轴对称的性质来求解阴影部分周长的最小值．首先计算弧的长度，然后利用轴对称和等边三角形的性质找到的最小值，进而可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 由作图可知：， ∴， 作D点关于的对称点，连接交于连接，如图∶ ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，此时的值最小， ∴阴影部分周长的最小值为 故答案为∶ ． 类型三、两动一定 【解惑】如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（   ） A．的最小值是8 B．若是的切线，则 C．面积的最大值为 D．的最小值是32 【答案】D 【分析】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据，即可得出当时，的值最小，最小值为 34． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示， 此时，最小，最小值为， ∵矩形中，，， ， ， ∴的最小值是：，故A正确； 若是的切线，则， 在 中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故B项正确； ∵， ∴当的面积最小时，的面积最大， 在中，， 过点E作， 则， ∴， 即， 解得：， ∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小， ∴当与重合时，的面积最小， 此时，， 即面积的最小值为， 则的面积最大值为，故C项正确； 设，则， 则 ， ∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误． 故选：D． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【融会贯通】 1．如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（   ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据BE⊥CP可得点E在以BC为直径的圆上，作点E关于AB的对称点F，连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小．作半圆Ｈ与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且为最小值，求出DF即可． 【详解】解：如图，∵BE⊥CP， ∴点E在以BC为直径的圆上， 作点E关于AB的对称点F， ∴QE=QF， ∴QD+QE= QD+QF， 连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小．    作半圆Ｈ与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆Ｈ与Ｆ，此时DF＝QD+QE,且为最小值，此时CD=2，BH=1，HC=3， 在中，， ．    故选：D 【点睛】本题考查了求两条线段的和的最小值，题目难度较大．解题的关键是通过作对称点将两条线段转化为一条线段，根据两点之间，线段最短求解． 2．如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半，由圆周角定理可知点在半上运动，连接交于点，由轴对称可得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长，又由可知取最小值时，的值最小，利用勾股定理求出长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半， ∴，， ∴， ∵线段与始终保持垂直， ∴， ∴点在半上运动， 连接交于点， ∵点关于对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长， ∵， ∴可知取最小值时，的值最小， ∵， ∴的最小值， 故答案为：． 3．如图，矩形中，，．为矩形内一点，连接，，且，为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，勾股定理，轴对称—线段最短，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点，由四边形是矩形，则，，，又，，故有，通过勾股定理得，证明，所以，从而可得点在上运动，又，得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型四、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在y轴负半轴上取，连接，．证明是的中位线得，可得当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是． 【详解】解：在y轴负半轴上取，连接，． ∵点C为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小． ∵、， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位置是解题关键， 也是本题的难点． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，接着证明解得的长，最后当点与点重合时，此时面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆， 设交于点，则， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，点与直线的距离最小， 此时面积的最小值， 故答案为：2． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识，得到点的运动轨迹是解题关键． 3．如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 类型五、直角圆 【解惑】如图，点为等腰直角直角边上一动点，连接，作于点，连接，与的长度关系如图所示，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点函数问题，点和圆的位置关系，圆周角定理等，由可得点在以为直径的圆上，设圆心为，连接交于点，可知此时最小，又由函数图象可得当时，，此时点在点处，即得，再利用等腰直角三角形的性质可得，即可得，得到，利用勾股定理求出进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，设圆心为，如图， 连接交于点，此时最小， 由函数图象可得，当时，，此时点在点处，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵正方形的边长是，点是边的中点， ∴，， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值， ∴线段的最小值为， 故选：． 2．如图，是半圆O的直径，点D在半圆O上，，C是上的一个动点，连接，过点D作于点H，连接． （1）若C是的中点，则点C到直线的距离为 ； （2）在点C移动的过程中，线段长的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． （1）连接交于点F，根据垂径定理以及三角形中位线定理可得的长，即可求解； （2）取的中点E，连接，则，可得，再由勾股定理可求出的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接交于点F， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴； 故答案为：2 （2）如图，取的中点E，连接，则， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即线段长的最小值是． 故答案为： 3．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题，圆的性质，勾股定理解直角三角形，正确作出辅助线，综合运用各个知识，在变化中寻找不变的量是解题的关键．取的中点F，连接，，，则．由与圆O相切，可得，通过解直角三角形可得，．根据是圆O的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为． 【详解】取的中点F，连接，，，则 ∵与圆O相切， ∴，即， ∵，， ∴， ． ∵点F是的中点， ∴， ∴在中，． ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，即的最小值为. 故答案为： 类型六、定角定弦 【解惑】如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得出，，求出，根据同弧所对的圆周角相等可知，点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，长度最小，由等边三角形的性质得出，，求出和的长，可得的长，即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 点P的运动轨迹是， 设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，长度最小， 设交于D，如图所示： 此时，， 则，，， ，， 由勾股定理得：，， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质,同弧所对的圆周角相等,三角形内角和定理、勾股定理等知识，作辅助线构建圆是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，由矩形的性质可得，证明得出，即点在以为直径的上，连接交于，此时最短，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，如图所示，连接交于，此时最短，为， ， 则，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在等边三角形中，，是边上的一动点，以为边向上作等边三角形，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】首先结合等边三角形的性质可得，，进而可得四点共圆，进一步证明，即点在过点且平行于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接交直线于点，连接，， 则有，，，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，此时，然后求解即可． 【详解】解：如下图， ∵，均为等边三角形， ∴，， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接交直线于点，连接，， 则有，，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时， ∵， ∴三点共线，即点和点重合， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了四点共圆、圆周角、等边三角形的性质、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 类型七、面积最值 【解惑】如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，交于E，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键． 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的定义，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，过点作于点，以为圆心作为半径的圆，当在的延长线上时，的面积的最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，以为圆心作为半径的圆， ∵， ∴当在的延长线上时，的高取得最大值，则的面积最大， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为， 故选：D． 2．如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点， ∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：， 此时， ∴面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，三角形全等的性质和判定，的圆周角所对的弦是直径等知识，确定的面积最小值时点的位置是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识．作射线，过点P作轴于H，可得，则，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【详解】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故答案为：． 类型八、折叠圆 【解惑】如图，中，，，，P是边上的点（且满足）．将沿折叠，使点B落在平面上处，射线与射线交于点E． 甲：当时，； 乙：当点落在射线上时，四边形是菱形； 丙：随点P位置的变化，线段的最小值为2． 针对三人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有乙对 B．甲和丙都对 C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对 【答案】C 【分析】甲：如图所示，当时，证明可得结论； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合，证明四边相等即可； 丙：当点P靠近点C时，在四边形外部，推出，即可判断． 【详解】解：甲：如图所示，当时， ∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故甲正确； 乙：如图所示，当落在上时，点E和重合， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故乙正确； 丙：以为圆长为半径作圆，当时，点在圆上，由乙可知此时， 当点P继续靠近点C时，在四边形的外部，此时点在圆内部， ∴， 故丙错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，用举反例证明假命题，解题关键是熟练掌握相关知识． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接．将沿直线折叠，使点落在点处，连接，，则的面积最小值为（    ） A．3 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得，点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小，结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出此时AB，PD的长即可得出结果． 【详解】解：根据折叠可知，FP=FC=2， ∴在折叠的过程中，FP的长度不变为2， ∴点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动， 则过点F作FD⊥AB于D，FD与⊙F的交点为P，则此时△APB的面积最小． 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， AB=， ∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°， ∴△ADF∽△ACB， ∴，∴，∴DF=3.2． ∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2， ∴此时△APB的面积=×AB×DP=×10×1.2=6． 即△APB面积的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及勾股定理等知识点，解题的关键是找出点P的运动轨迹，从而得出面积最小时的点P的位置． 2．如图，在边长为4的菱形中，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，将沿折叠，得到，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，由菱形的性质得到，，由折叠的性质可得，则可证明点G在以点D为圆心，4为半径圆上运动（在上运动），则当点F与点B重合，此时点G与点A重合时，有最大值，当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴点G在以点D为圆心，4为半径圆上运动（在上运动）， ∴当点F与点B重合，此时点G与点A重合时，有最大值， 如图所示，过点E作交延长线于H， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； ∵， ∴当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值， 由菱形的性质可得， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 8 5或 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 类型九、比值与平方最值 【解惑】已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】如图连接、 交于点，作 交于点，可证，连接，当为 中点时最大，即可求出，最后可以求出最小值 【详解】解：如图连接、 交于点 ， 在矩形中，，， ∵， ∴四点共线，以为圆心 为半径作圆， 作 交于点， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ，当最大时最小， ∴连接，当为 中点时最大，则， ∵ ，且为中点， ∴ ，则， ∴ ， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B． 【点睛】本题利用矩形的性质，圆周角定理，四点共圆，相似三角形的判定和性质，构造辅助圆求解最小值是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，直径为8，弦经过的中点P，则的最小值为（    ）    A．12 B．24 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，同弧所对圆周角相等，相似三角形对应边成比例，先通过同弧所对圆周角相等证明，再通过推算出，最后再根据完全平方公式的非负性即可得到答案． 【详解】解：连接，如下图所示， ∵在中，直径为8， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，点在边上（不与A，B重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题，找出点E的运动轨迹是解题的关键． 作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时， 取最大值，由此可解． 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，， ， ， ． ，， ， 又， ， ， ，是定值， 取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持， 点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，即点E在位置时，取最大值， ，， ， ，即， ， ，即的最大值为， 此时， 的最小值是3， 故答案为：3． 3．如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D的坐标是，P的坐标是，由勾股定理得到，，因此，由勾股定理求出，得到，即可求出的最小值． 【详解】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N， 设D的坐标是，P的坐标是， ∵， ∴由圆的对称性得到C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值6， 故答案为：6． 类型十、其他最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键. 连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案. 【详解】如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，，，，则线段的最小值为（    ） A．35 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的判定，勾股定理，得到点P的运动轨迹是解题的关键． 在上取点Q，使得，可得，从而证得，得到，因此点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动．连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时，根据勾股定理求出，进而即可解答． 【详解】解：在上取点Q，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径为20的上运动． 连接，当点P为与的交点时，取得最小值，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：D 2．如图，已知点A是直线l外一点，于点D，且，点B，C均在直线l上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形的相关运算，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的三点共圆，圆外一点到圆上的最短距离等知识点，先确定点的运动轨迹，再根据圆外一点到圆上的最短距离是这点与圆心的连线的交点，根据勾股定理求得结果即可； 【详解】解：如图所示， ∵，为矩形内一点， ∴点相等于是以为直径，点为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴的最小值就是连接，交半圆与点，即此时为最小值， 在矩形中， ∴， 又∵， ， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $