第3章 圆的基本性质（基础+中等+优质类型）题型过关专练-2025-2026学年浙教版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第3章 圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、点与圆的位置关系 【解惑】的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点C在圆内． 根据点与圆的位置关系，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴点C在外， 故选：C 【融会贯通】 1．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 2．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在外 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用．注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： ， ， 解得， 点到圆心的距离， 的半径是4， 在外， 故答案为：在外． 3．如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 类型二、图形的旋转(含作图) 【解惑】如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形旋转的坐标计算，核心是利用旋转性质、等腰三角形判定及直角三角形三角函数求解对应点坐标．通过旋转性质转化条件，利用等腰三角形简化计算，再借助直角三角形三角函数求线段长度，最终确定坐标．旋转后，，由， 得(等角对等边) ，过点作轴的垂线，垂足为，构造，利用求得，同理可得，，所以(的纵坐标)，(到y轴的距离，即横坐标的绝对值)，即可解答． 【详解】由旋转可知，，， 过点作轴的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 2．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【答案】90 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：90． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的并写出的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）找到点关于原点对称的点，顺次连接即可得到，并写出的坐标即可； （2）找到点绕点逆时针旋转后的对应点，再写出的坐标即可； 本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）如图所示：，即为所求， 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】下列说法不一定正确的是（   ） A．平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心 B．相等的弧所对的弦相等 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．直径所对的弧是半圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关定理和性质，根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心，故本选项正确； B、相等的弧所对的弦相等，故本选项正确； C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； D、直径所对的弧是半圆，故本选项正确； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角、角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．连接，先证出，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴平分， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型四、圆周角定理 【解惑】如图，内接于，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，，可得，根据勾股定理在中求出，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 即的半径为． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，是四边形的外接圆，是的直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查圆周角定理，勾股定理解三角形，根据题意得，再由勾股定理确定，利用等弧和弦的关系得出，即可求解，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，点为边上的一点，．过点作，延长交于点． (1)证明：； (2)作的角平分线交于点．若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，，，进而证明，利用全等三角形的性质可得，进而可得到，即得到，即可求证； （）过点作，设与交于点，根据全等三角形的性质可得，，，，利用角平分线的性质可得，，即证明四边形为矩形，再根据平行线的性质可得，，利用勾股定理和矩形的性质可得，设，在中，列式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵，， ∴， 设， ∴ ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即； （2）过点作，设与交于点， 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， 故的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 类型五、正多边形与圆 【解惑】如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 类型六、弧长及扇形面积 【解惑】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 【融会贯通】 1．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，求出，，得出，所以． 【详解】解：如图，， ∵是直径， ∴， 又∵ ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故选：D． 2．如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则旋转过程中，点所经过的路径的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算、旋转的性质，掌握弧长公式是解题的关键．连接、，根据旋转的性质可得，，得到，从而根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求得旋转角的度数和的长，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在中，， ，， ，，即旋转角为， ， 在中，， 的长为． 3．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点， (1)求证：； (2)若O为的中点，①探究与的数量关系，并说明理由．②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）延长交于点F，连接，先根据圆内接四边形的性质得，进而得，再由得，再根据等量代换得，即可得出结论； （2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论； ②连接，则，根据四边形为菱形，证明和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， 由题意得，是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①．理由如下： 如图，连接， ∵O是的中点， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴； ②如图，连接交于，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等角对等边，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理以及扇形面积公式等知识． 类型七、不规则图形的面积与最短路径 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的内接四边形对角互补可得，根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）连接、，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出、，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，∴， ∴． （2）解：如图，连接、． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 【点睛】考查圆周角定理的应用以及扇形面积的计算，解题关键是作辅助线和熟记扇形的面积公式． 【融会贯通】 1．如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 2．如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三形ABC． （1）求该圆锥形粮堆的侧面积． （2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程． (结果不取近似数) 【答案】（1) 18m2；（2）3m. 【详解】试题分析：（1）根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面积公式是π×底面圆半径×圆锥的母线长；扇形的面积公式是，进行计算即可； （2）根据两点之间，线段最短．首先要展开圆锥的半个侧面，再连接BP．发现BP是直角边是3和6的直角三角形的斜边．根据勾股定理即可计算． 试题解析：（1）根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得： πrl=π×3×6=18π． （2）圆锥的底面周长是6π，则6π=， ∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度． ∴在圆锥侧面展开图中BP=m． 故小猫经过的最短距离是m． 3．动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点 ___________重合，点与点 ___________重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 ___________； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 【答案】动手操作：A，B；探究发现：50；实践与应用：；拓展联想：30米 【分析】[动手操作]根据圆柱的侧面展开图是矩形即可得到答案； [探究发现] 连接，根据矩形的性质及勾股定理求出即可得到答案； [实践应用]将圆锥展开得到展开图，连接，根据弧长公式求出∠的度数，过点O作于点D，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出即可得到答案； [拓展联想]将树干的高度分成相等的8段，利用树干的周长建立勾股定理的等式求出一圈紫藤的长，由此得到答案． 【详解】解：[动手操作]：易得点A与点，B与重合； [探究发现]：由题意知该圆柱的侧面展开图即是矩形，则，， 连接， ∵， ∴， ∴这条丝线最短的长度是50； [实践应用] 圆锥的侧面展开图，如图所示： 连接， 则为最短路径． 弧的长为：， 由弧长公式得的度数为：， 过点O作于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴这条彩带最短的长度是； [拓展联想] ∵树干的高是18米，缠绕8圈紫藤， ∴每相邻两圈紫藤的距离是（米）， ∵树干的周长是3米， ∴一圈紫藤的长度是（米）， ∴8圈紫藤的长度最少是（米）． 【点睛】此题考查圆柱的侧面展开图，勾股定理的实际运用，弧长公式，矩形的性质，解题中注意同类思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 类型八、垂径定理及其应用 【解惑】如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】(1)5米 (2)25盏 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 【融会贯通】 1．如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？结果保留整数，参考数据： 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，全等三角形的判定，关键是由勾股定理列出关于的方程．连接，由垂径定理推出，判定，推出，设这个圆形锅盖的半径是，得到，由勾股定理得到，求出，于是得到答案． 【详解】解：连接， 直径， ， ， ， ， ， 将三等分， ， 设这个圆形锅盖的半径是， ， ， ， ， （负值舍去）． 答：这个圆形锅盖的半径大约是． 2．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 3．【问题探究】 （1）如图1，在中，对角线、相交于点，，，，若过点，且与边、分别相交于点、．设，，试确定与之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）弓形是一个人工湖，其示意图如图2所示，弓形是由弦和优弧组成，点O是优弧所在圆的圆心，、是两座石桥（点、均在优弧上），点、分别是石桥、的中点，连接、，分别在、上取、，连接、，将与设计为观赏区，记与的面积之和为，已知，圆心到弦的距离为，，设． ①求与之间的函数关系式； ②当的长为多少米时，观赏区与的面积之和最大，最大面积为多少？ 【答案】y与x的函数关系式为：；，当的长为时，和的面积和最大，最大面积为． 【分析】如图，过O点作于点H，由角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理即可得出所求解析式； 如图，过O点作于H点，连，，由勾股定理和垂径定理可得出和，进而即可得解，化 简顶点式，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】， ， ， ， 对角线、相交于点， ， 如图，过O点作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴y与x的函数关系式为：； 如图，过O点作于H点，连，， ∵为的弦， ∴，， 在中,， ∴， ∴， ∵为的弦且分别为中点， ∴， ∵、， ∴和都为等腰直角三角形， 在中,， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中,， ∴， ∴， ∴， ， 当时，S有最大值，最大值为， ∴当的长为时，和的面积和最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 类型九、新定义圆——几何+函数 【解惑】定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， 是的“旋补三角形”， ， ， 是的中线， ， ∴， ， 故答案为：； 是的“旋补三角形”， ， 在和中， ， ）， ， ，是的“旋补中线”， ， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， 是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ADBC． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)①四边形为“等补四边形”，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①连接，，推出，，得到，证明，得到，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，再证，得出，即可求出的周长． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故答案为：D； （2）解：①四边形为“等补四边形”，理由： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴四边形是“等补四边形”． ②连接，由①知，为等腰直角三角形，则， 将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，， 则， ，， ， ， 则的周长． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，根据题中给出的定义准确得到平移旋转后的点为解题关键 （1）①先根据平移求出的坐标，再根据旋转可知是和的中点，设，根据中点坐标公式求解即可；②当时，一次函数为，设点，利用中点公式求解即可； （2）当时，分情况当时以及时求出x的值，对于，当时以及时，确定出，设，再根据平移，旋转以及中点公式表示出，结合题中给出的范围求解即可． 【详解】（1）解：①点，故向右平移2个单位，向上平移1个单位，点平移后得到，即， 点绕点旋转，即是和的中点， 设， 则，， 解得：， 因此，Q的坐标为； ②当时，一次函数为，设点， 同①，平移后仍为， 点绕N旋转，N是和Q的中点， 设， 则: 消去n化简得：； （2）解：次函数， 当时，且， 由， 当时，， 当时，， ，对于， 当时，， 当时，， ，即点P横坐标范围是； 已知，点P先根据M平移，再根据旋转得到点， 设，平移后， 设， 则，， 则， ，， ，即， ，即； ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，理解题中给出的定义，能够根据平移以及旋转的方式求出点的坐标为解题关键． 3．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，将图形M绕⊙O上某一点P逆时针旋转，再关于直线对称，得到图形N．我们称图形N为图形M关于点P的“旋转对称”图形．已知点． (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的“旋转对称”图形的坐标 ； (2)若点A关于点P的“旋转对称”图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可） (3)若点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合，且线段，其关于P的“旋转对称”图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)；． 【分析】（1）点A绕点P逆时针旋转得，关于对称点； （2）点A关于直线的对称点，的垂直平分线交⊙O于； （3）由（1）（2）可得；找到临界点，求出其坐标，从而可求得对应临界点D，C的坐标，根据点D，C的坐标即可求得点B纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图1， 点A绕点P逆时针旋转得，关于对称点， 故答案为：； （2）解：如图2， 点A关于直线的对称点，的垂直平分线交⊙O于； （3）解：如图3，由知，点B在以A为圆心半径为的上运动； 由（1）（2）知：点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合，则，假设还存在点位于第三象限，点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合，如图所示；点A绕点P逆时针旋转后的对应点为，关于直线的对称点为； 过P作轴于N，过作于M，则可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点都在上， ∴， 由上述两式得； 即， ∴， 即或，对应地，或， 即或，这与已知点P在第三象限矛盾； 同理，点P在其它象限也不满足：点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合； ∴； 由于绕点P逆时针旋转至，关于直线的对称图形为， 则扇形关于P的“旋转对称”图形是扇形， 连接，过作轴于点E，设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ∴； 即；由对称性知，； ∴，； 一般地，对于第二象限点绕点顺时针旋转后得到点N，如图， 过M、N分别作x轴垂线，垂足分别为H、G，则可得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴绕点P顺时针旋转后得到点D，C的坐标分别为，， 而点B的最低点G纵坐标为， ∴． 【点睛】本题考查了新定义的阅读理解，坐标与图形，旋转的性质，勾股定理，圆的定义等知识，解决问题的关键是理解新定义． 类型十、尺规作图(含无刻度尺) 【解惑】如图，是的直径，的三个顶点在同一个圆上， 点D是的中点． 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图： (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形； (2)在图2中， 作一个以为对角线的矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，，，和交于点F，连接并延长，交于E，连接，得出四边形是以为对角线的矩形； （2）作直径，连接，连接并延长，交于H，得出四边形是以为对角线的矩形． 【详解】（1）解：如图1， 连接，，，和交于点F，连接并延长，交于E，连接， 则四边形是求作的矩形， 理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点，O是的中点， ∴，是的中线，， ∴是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）如图2，作直径，连接，连接并延长，交于H， 则四边形是矩形， 理由如下： 由（1）可知， ，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理的逆定理，矩形的判定，三角形中位线性质等知识，解题关键是熟练掌握有关知识． 【融会贯通】 1．如图，在方格纸中，A，B，C三点均在格点上，试按要求画图与填空． (1)如图1，将绕点B顺时针旋转至，连接，直接写出的度数； (2)如图2，以为直径的交于点E，交于点F，将绕点O旋转至，设交于点M，交于点N，直接写出弧与弧的数量关系． 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质找到点D，连接，，，延长至Q，连接，结合勾股定理即可得到答案； （2）根据旋转得到四边形是平行四边形，结合圆的对称性即可得到答案． 【详解】（1）解：根据旋转的性质找到点D，连接，，,如图所示，延长至Q， 根据勾股定理得， ，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵绕点O旋转至， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形与关于点O对称， ∴． 【点睛】本题考查旋转作格点图形，圆的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键是根据题意画出图形． 2．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【详解】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 3．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据垂径定理以及证明即可； （2）在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则，过点作的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径画圆，连接，取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为，过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可，由作图可得，由圆周角定理可得：，而，由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：如图，线段或， 在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则， 过点作的垂线，垂足为点， 以为圆心，为半径画圆，连接， 取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为， 过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可， 由作图可得， 由圆周角定理可得：，而， 由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，垂线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质思维导图 【类型覆盖】 类型一、点与圆的位置关系 【解惑】的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【融会贯通】 1．数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 2．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 3．如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 类型二、图形的旋转(含作图) 【解惑】如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 2．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的并写出的坐标． 类型三、弧、弦、圆心角关系 【解惑】下列说法不一定正确的是（   ） A．平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心 B．相等的弧所对的弦相等 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．直径所对的弧是半圆 【融会贯通】 1．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 3．如图，在中，，于，于．求证：． 类型四、圆周角定理 【解惑】如图，内接于，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，是四边形的外接圆，是的直径，，则的长为 ． 3．如图，在中，，点为边上的一点，．过点作，延长交于点． (1)证明：； (2)作的角平分线交于点．若，，求的半径． 类型五、正多边形与圆 【解惑】如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 3．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 类型六、弧长及扇形面积 【解惑】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，弦，，，则（   ） A．π B．2π C．π D．π 2．如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则旋转过程中，点所经过的路径的长为 ．（结果保留） 3．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点， (1)求证：； (2)若O为的中点，①探究与的数量关系，并说明理由．②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 类型七、不规则图形的面积与最短路径 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 2．如图有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三形ABC． （1）求该圆锥形粮堆的侧面积． （2）母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程． (结果不取近似数) 3．动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点 ___________重合，点与点 ___________重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 ___________； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 类型八、垂径定理及其应用 【解惑】如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【融会贯通】 1．如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？结果保留整数，参考数据： 2．如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 3．【问题探究】 （1）如图1，在中，对角线、相交于点，，，，若过点，且与边、分别相交于点、．设，，试确定与之间的函数关系式； 【问题解决】 （2）弓形是一个人工湖，其示意图如图2所示，弓形是由弦和优弧组成，点O是优弧所在圆的圆心，、是两座石桥（点、均在优弧上），点、分别是石桥、的中点，连接、，分别在、上取、，连接、，将与设计为观赏区，记与的面积之和为，已知，圆心到弦的距离为，，设． ①求与之间的函数关系式； ②当的长为多少米时，观赏区与的面积之和最大，最大面积为多少？ 类型九、新定义圆——几何+函数 【解惑】定义：如图1，在△ABC中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系_______； ②如图3，当，时，则长为_______． 猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【融会贯通】 1．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是 ； A．平行四边形      B．矩形     C．正方形    D．菱形 (2)如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，求三角形的周长． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，将图形M绕⊙O上某一点P逆时针旋转，再关于直线对称，得到图形N．我们称图形N为图形M关于点P的“旋转对称”图形．已知点． (1)若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的“旋转对称”图形的坐标 ； (2)若点A关于点P的“旋转对称”图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可） (3)若点A关于点P的“旋转对称”图形在⊙O上且不与点A重合，且线段，其关于P的“旋转对称”图形上的任意一点都在⊙O及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围． 类型十、尺规作图(含无刻度尺) 【解惑】如图，是的直径，的三个顶点在同一个圆上， 点D是的中点． 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图： (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形； (2)在图2中， 作一个以为对角线的矩形． 【融会贯通】 1．如图，在方格纸中，A，B，C三点均在格点上，试按要求画图与填空． (1)如图1，将绕点B顺时针旋转至，连接，直接写出的度数； (2)如图2，以为直径的交于点E，交于点F，将绕点O旋转至，设交于点M，交于点N，直接写出弧与弧的数量关系． 2．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 3．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 6 学科网（北京）股份有限公司 $