3.5—3.8 圆周角 圆内接四边形 正多边形 弧长及扇形的面积题型过关专练-2025-2026学年浙教版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

3.5—3.8 圆周角 圆内接四边形 正多边形 弧长及扇形的面积 一、圆周角 （1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 （2）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 （3）圆周角定理推论： 推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 二、圆内接四边形 （1）圆内接四边形定义：四边形的顶点都在同一个圆的圆周上的四边形。 （2）圆内接四边形性质： 对角互补：任意一对对角互补，即两对角线之和等于180度。 外接圆唯一：任何一个圆内接四边形都有唯一的外接圆。 （3）圆内接四边形判定： 对角互补判定法：如果一个四边形的任意两对对角互补，则该四边形是圆内接四边形。 圆周角判定法：如果一个四边形的每对对角线的端点在圆周上形成的角相等，则该四边形是圆内接四边形。 三、正多边形 （1）正多边形定义：各边相等、各内角也相等的多边形是正多边形。 （2）正多边形与圆的关系：任何正多边形均有一个外接圆。 （3）正多边形性质： 对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形又是中心对称图形。 旋转对称性：正n边形是旋转对称图形，最小旋转角是360度除以n。 （4）正多边形画法： 尺规作图法：利用正多边形和其外接圆的关系，通过作半径为R的圆，再等分圆周，然后顺次连结各分点即可作出正多边形。 具体画法：如作正六边形，可以先画一条直径，再分别以直径的两个端点为圆心，以半径为半径画弧，与圆相交于四个点，顺次连结这六个点即可得到正六边形。 四、弧长及扇形的面积 （1）弧长公式： 半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l的计算公式为l等于n乘以π乘以R再除以180。 弧长公式中，n（圆心角度数）、l（弧长）、R（半径）三个量，可以知二求一。 （2）扇形面积公式： 半径为R，圆心角为n度的扇形面积S的计算公式为S等于n乘以π乘以R的平方再除以360，或S等于弧长l乘以半径R再除以2。 已知n、R、l中的任意两个量，就可以求出另外两个量。 （3）弓形面积计算： 弓形定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形。 弓形面积计算：弓形的面积可以看成扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式。 巩固课内例1:直径所对的圆周角是直角 1．如图，已知是的直径，是弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴． 故选：B． 2．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先连接作，可得，进而得，然后根据勾股定理求出，可得，再根据勾股定理求出即可得，最后根据得出答案. 【详解】解：连接过点C作，交延长线于点D， ∵点C是的中点， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， 即， 解得， 则. 在中，， 即， 解得， ∴. 根据勾股定理，得. 在中，， ， 解得. 故答案为：. 3．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2)24 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由，得到，根据等弧对等弦可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 巩固课内例2:同弧或等弧所对的圆周角相等(在同圆或等圆中) 1．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半解决即可． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：B． 2．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 3．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据题意推出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是直径， ∴， ∵点D在上且平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固课内例3:圆的内接四边形对角互补 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为．根据已知条件，通过圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 2．如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，先根据圆内接四边形的性质求出，再根据平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若，求． 下面是小雯的解法，请帮他补充完整． 解：在⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴（ ）（填推理的依据） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴（ ）（填推理的依据） ∴ （填计算结果） 【答案】等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补， 【分析】本题考查了圆的相关知识，包括等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补等知识，解决本题的关键是结合已知条件逐步推导． 根据等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补等知识填空即可 【详解】解：在⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴，（等弧所对的圆周角相等） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（直径所对的圆周角是直角） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴，（圆内接四边形的对角互补） ∴． 故答案为：等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，． 巩固课内例4:正多边形的边与内角 1．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正方形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是明确圆的直径与正方形对角线的关系，并利用勾股定理计算正方形边长． 先根据圆的半径求出直径，圆内接正方形的对角线等于圆的直径；再设正方形边长为未知数，利用勾股定理建立方程；最后求解方程得到正方形边长． 【详解】解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4． 设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即 ，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）． 故选：D． 2．圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 3．如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 【答案】边心距为，边长为2，周长为，面积为 【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴，． ∴是等边三角形． ∴，即边长为2，周长为． 在中，， ∴， ∴边心距． ∴． 巩固课内例5:尺规作正多边形 1．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于(    ) A．11° B．17° C．21° D．25° 【答案】C 【详解】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等,即360°÷17≈21°． 故选C． 2．利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是   . 【答案】正七边形 【详解】试题解析：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形． 故答案为正七边形． 3．如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 巩固课内例6:求弧长 1．如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用圆周角定理和弧长公式来求解的长度，先根据直角三角形的性质和圆周角定理确定中心角的度数，再利用弧长公式计算弧长． 【详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， 的长为． 故选：B． 2．如图，一块含的直角三角板的顶点落在上，边，分别交于，，若的半径为，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接、，先根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ， 劣弧的长为：． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，； (3)． 【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，勾股定理的逆定理，求扇形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出的垂直平分线，交于点，则点为的外接圆，圆心M的坐标； （3）连接，由证明，再运用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图；即为的外接圆， 圆心M的坐标； （3）解：连接，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 巩固课内例7:求圆心角的度数 1．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 2．在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 3．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的运用，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算． 【详解】解：半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，设圆心角的度数为n度, 所以, 解得，， 这个圆心角的度数为． 巩固课内例8:求扇形的面积 1．如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 2．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 3．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和扇形面积公式的综合应用，解题的关键是通过弧长求出扇形的半径，再利用两个扇形的面积差计算阴影部分的面积． 先根据弧的长度和圆心角求出扇形的半径再结合的长度求出扇形的半径最后分别计算扇形和扇形的面积，两者的差值即为阴影部分的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r厘米（即则扇形的半径厘米． 已知扇形和扇形的圆心角均为（因点O、C、A共线，圆心角相同）． 根据弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角，r为半径），弧的长度为厘米，代入得： 化简求解： 即 ∴ 即厘米． 厘米 阴影部分面积=扇形的面积-扇形的面积． 根据扇形面积公式，代入数据： 扇形的面积：平方厘米 扇形的面积：平方厘米 阴影部分面积：平方厘米 答：阴影部分的面积是平方厘米． 类型一、求圆周角的度数 1．如图，已知：在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，即，然后利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案． 【详解】的外接圆如下图 ∵∠ ∴． 故答案为：． 3．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 类型二、找出相等的角 1．如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等解答即可． 【详解】∵所对应的弧为， ∴， 故选：A． 2．如图所示，图中能用字母表示的相等的角有 ，其判断依据是 ． 【答案】 和 同弧所对的圆周角相等 【分析】根据同弧所对的圆周角相等进行解答即可． 【详解】解：由题意可知， ∵和都是对应的圆周角， 和都是对应的圆周角， ∴， 故答案为：和，同弧所对的圆周角相等 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，理解同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 3．如图，为的内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，以点为角的顶点，作一个与互余的角； (2)在图2中，以点为角的顶点，作一个与相等的角． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接，并延长交于点，再连接，则即为所求；理由：根据圆周角定理可得，则，由此即可得； （2）连接，并延长交于点，再连接，则即为所求．理由：根据圆周角定理可得，根据圆周角定理可得，则，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． 理由：由圆周角定理得：， ∴， ∴是与互余的角． （2）解：如图2，即为所求． 理由：由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴是与相等的角． 类型三、求扇形的半径 1．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 2．弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 3．一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数． 【答案】扇形的半径为，圆心角为 【分析】本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算．设这个扇形的半径为，圆心角是，根据扇形的面积公式求出，根据弧长公式求出即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为，圆心角是， 根据扇形面积公式， 可得， 解得． 再根据弧长公式， 可得， 解得． 答：扇形的半径为，圆心角为． 类型一、圆周角定理综合 1．如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由D是弧的中点得出，再根据等腰三角形三线合一得出，，由此证得是的中位线，即可得出，再利用证得和全等，得出由此根据半径的长求出的长，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，设交于点F， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F是的中点， 又∵是直径， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵半径为3， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握这些定理是解题的关键． 2．如图，在中，为的直径，弦，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据垂径定理和圆周角定理求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，，即可得证； （2）设的半径为x，则，求出，再证明出，最后结合勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为x，则， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，则, 解得，（舍去）， ∴的半径为． 类型二、求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，中心角，先根据多边形内角和定理求出，再根据中心角的定义求出，即可得出答案. 【详解】解：∵正五边形内接， ∴，， ∴. 故选：D. 2．半径为4的正六边形的中心角是 °． 【答案】 【分析】本题考查了求正多边形的中心角，根据正六边形的性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：正六边形的中心角是， 故答案为： 3．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 类型三、正多边形的边心距问题 1．正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形与圆，设正四边形的边长是，根据正四边形的边心距的含义可得边心距，从而可得答案. 【详解】解：如图：为正四边形的边心距，则， 设正四边形的边长是， ∴，，， ∴， ∴正四边形的边心距与边长之比为：． 故选A． 2．已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理的运用，掌握正多边形与圆的综合是关键． 根据题意得到，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，正六边形，中心为点，连接，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 类型一、平面镶嵌 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 2．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌(两种地砖的不同拼法视作为同一种组合)，则共有组合方案 种． 【答案】3 【分析】本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，能拼360°的就是能做镶嵌的． 【详解】①因为正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满； ②正三角形每个内角60度，正六边形每个内角120度，2×60+2×120＝360度，所以能铺满； ③正方形每个内角90度，正六边形每个内角120度，不能拼成360度，所以不能铺满； ④因为60+90+90+120＝360度，所以一个正三角形、2个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌． 故共有组合方案3种． 故答案为3． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解． 【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-° 求解； （2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍； （3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形． 【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°÷n， 故答案为60°，90°，108°，120°，…， ； （2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解， 即2m＋3n＝8的正整数解，只有 一组， ∴符合条件的图形只有一种． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 类型二、求点的轨迹 1．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用证明，再通过证明四边形的四条边相等，来证明它是菱形，然后利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连线与直线交于点，直线交于点，连结， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹是以为圆心为半径的半圆， ∴其长度为． 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，菱形的判断与性质，中位线的判定与性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是通过证明四边形的四条边相等，来证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解． 2．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，弧长公式等着知识，先根据点A的坐标求出的长度，然后根据旋转的性质和弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点绕原点O顺时针旋转得到点， ∴点A运动到的轨迹的长度为， 故答案为：． 3．如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积是24，，求矩形的周长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的周长为28 (3)点运动的轨迹长是 【分析】（1）首先由矩形的性质得到．然后结合，，即可证明出四边形是菱形； （2）连接，交于点，首先得到，，进而得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）首先根据题意求出，，然后得到点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，然后得到点Q在上，点运动的轨迹是弧，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形； 四边形是矩形， ，， ， 是菱形； （2）解：连接，交于点，如图： 四边形是菱形，面积是24， ， 点，分别是，的中点， ， 在中，， 或（舍去） 矩形的周长为：； （3）解：由（2）知，，； 将①式代入②式得：， 解得：， ∵点B关于直线的对称点Q， ∴ ∴点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴点Q在上 ∴点运动的轨迹是弧， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质，弧长公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、求不规则图形的面积 1．如图，矩形ABCD的长，宽，O是的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解． 观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为的，根据面积公式即可解答． 【详解】解：观察图形，根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积， 其半径为的， ∵， ∴即半径为1，其面积为：， 故选：D． 2．如图，在一边长为的正方形中，以、为圆心，、长为半径，作扇形、扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积公式．阴影部分面积正方形面积空白部分面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正方形面积， 空白部分面积， 阴影部分面积正方形面积空白部分面积． 故答案为：． 3．如图，已知在等腰中，，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求的大小； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键． （1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出； （2）连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：是的直径， ， 又， ． ， ， ； （2）解：如图，连接， ， 是等腰直角三角形， 点是中点， ， ． 类型四、最短路径 1．如图，在中，，将绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，且A，C，三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后求出旋转角，再根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕顶点C顺时针方向旋转至的位置， ∴， ∴旋转角， 又∵， ∴点A所经过的最短路线的长． 故选：B． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开图-最短路程问题，勾股定理，扇形的弧长等知识，要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开， 进而根据“两点之间线段最短”得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离， ∵点是母线的中点，， ∴， 扇形的弧长， 设扇形的圆心角为，则有： ， 解得：， ∴扇形的圆心角为， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 3．已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为________． (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________． (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程． 【答案】 （1）圆锥 （2）扇形（3）见解析（4） 【详解】试题分析:（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥,（2）圆锥的侧面展开图是扇形,（3）要求蜗牛爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据”两点之间线段最短”得出结果,（4）已知圆锥侧面展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边,根据已知确定两直角边的长,即可利用勾股定理求解. 解：(1)圆锥　(2)扇形 (3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线． (4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125， ∴AC＝＝. 故蜗牛爬行的最短路程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5—3.8 圆周角 圆内接四边形 正多边形 弧长及扇形的面积 一、圆周角 （1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 （2）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 （3）圆周角定理推论： 推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。 推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 二、圆内接四边形 （1）圆内接四边形定义：四边形的顶点都在同一个圆的圆周上的四边形。 （2）圆内接四边形性质： 对角互补：任意一对对角互补，即两对角线之和等于180度。 外接圆唯一：任何一个圆内接四边形都有唯一的外接圆。 （3）圆内接四边形判定： 对角互补判定法：如果一个四边形的任意两对对角互补，则该四边形是圆内接四边形。 圆周角判定法：如果一个四边形的每对对角线的端点在圆周上形成的角相等，则该四边形是圆内接四边形。 三、正多边形 （1）正多边形定义：各边相等、各内角也相等的多边形是正多边形。 （2）正多边形与圆的关系：任何正多边形均有一个外接圆。 （3）正多边形性质： 对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形又是中心对称图形。 旋转对称性：正n边形是旋转对称图形，最小旋转角是360度除以n。 （4）正多边形画法： 尺规作图法：利用正多边形和其外接圆的关系，通过作半径为R的圆，再等分圆周，然后顺次连结各分点即可作出正多边形。 具体画法：如作正六边形，可以先画一条直径，再分别以直径的两个端点为圆心，以半径为半径画弧，与圆相交于四个点，顺次连结这六个点即可得到正六边形。 四、弧长及扇形的面积 （1）弧长公式： 半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l的计算公式为l等于n乘以π乘以R再除以180。 弧长公式中，n（圆心角度数）、l（弧长）、R（半径）三个量，可以知二求一。 （2）扇形面积公式： 半径为R，圆心角为n度的扇形面积S的计算公式为S等于n乘以π乘以R的平方再除以360，或S等于弧长l乘以半径R再除以2。 已知n、R、l中的任意两个量，就可以求出另外两个量。 （3）弓形面积计算： 弓形定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形。 弓形面积计算：弓形的面积可以看成扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式。 巩固课内例1:直径所对的圆周角是直角 1．如图，已知是的直径，是弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 3．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 巩固课内例2:同弧或等弧所对的圆周角相等(在同圆或等圆中) 1．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是的弦．若，，则 ． 3．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，，求的长． 巩固课内例3:圆的内接四边形对角互补 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是四边形的外接圆，过点B作，交于点E．若，则的度数为 ． 3．如图，是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若，求． 下面是小雯的解法，请帮他补充完整． 解：在⊙O中， ∵D是的中点， ∴， ∴（ ）（填推理的依据） ∵， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴，（ ）（填推理的依据） ∴， ∵A、B、C、D四个点都在⊙O上， ∴（ ）（填推理的依据） ∴ （填计算结果） 巩固课内例4:正多边形的边与内角 1．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　） A．2 B．4 C． D． 2．圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 3．如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 巩固课内例5:尺规作正多边形 1．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于(    ) A．11° B．17° C．21° D．25° 2．利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是   . 3．如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 巩固课内例6:求弧长 1．如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 2．如图，一块含的直角三角板的顶点落在上，边，分别交于，，若的半径为，则劣弧的长为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 巩固课内例7:求圆心角的度数 1．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 2．在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 3．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 巩固课内例8:求扇形的面积 1．如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 3．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长度是15厘米．求阴影部分的面积（取） 类型一、求圆周角的度数 1．如图，已知：在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知点是的外心，，连结，，则的度数是 ． 3．如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 类型二、找出相等的角 1．如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，图中能用字母表示的相等的角有 ，其判断依据是 ． 3．如图，为的内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，以点为角的顶点，作一个与互余的角； (2)在图2中，以点为角的顶点，作一个与相等的角． 类型三、求扇形的半径 1．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 2．弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 3．一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数． 类型一、圆周角定理综合 1．如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的直径，弦，，则 ． 3．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 类型二、求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 2．半径为4的正六边形的中心角是 °． 3．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 类型三、正多边形的边心距问题 1．正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 2．已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 3．碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 类型一、平面镶嵌 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 2．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌(两种地砖的不同拼法视作为同一种组合)，则共有组合方案 种． 3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． （1）如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 （2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 类型二、求点的轨迹 1．在梯形纸片中，，，将这张纸片折叠一次，使得点与点重合，设折痕所在直线为，则点沿直线翻折至与点重合的过程中形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 3．如图1，在矩形中，对角线，相交于点O，过点A，B分别作，的平行线，相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积是24，，求矩形的周长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P是线段上的一动点，连接，作点B关于直线的对称点Q，若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长． 类型三、求不规则图形的面积 1．如图，矩形ABCD的长，宽，O是的中点，以O为顶点的抛物线经过C、D，以为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在一边长为的正方形中，以、为圆心，、长为半径，作扇形、扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 3．如图，已知在等腰中，，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求的大小； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 类型四、最短路径 1．如图，在中，，将绕顶点C顺时针方向旋转至的位置，且A，C，三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 3．已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为________． (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________． (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $