4.6线段的垂直平分线（2） 教学设计 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

4.6线段的垂直平分线（2） 教学设计 课题 4.6.2线段的垂直平分线 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 线段的垂直平分线是数学几何学习中的重要内容。本课时是尺规作图的进一步学习，同学们动手操作，利用尺规作图的方法自己去探索作图，进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据，培养他们的主动思考能力及动手操作能力。 核心素养 能力培养 1. 掌握作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，已知底边及底边上的高线作等腰三角形，作一个角的平分线的方法，经历观察操作活动，提高动手操作能力，发展空间观念； 2. 用线段垂直平分线解决实际问题的过程，提升解决几何问题能力。 教学目标 1．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；培养学生使用直尺和圆规作图的技能． 2．能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线． 3.会在已知三角形底边及底边上的高线的条件下作等腰三角形，会作一个角的平分线. 教学重点 会作一条线段的垂直平分线. 教学难点 会在已知底边及底边上的高线的情况下作等腰三角形，会作一个角的平分线． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 1.垂直平分线（或中垂线）定义: 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 2.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 学生回忆思考回答。 用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 说一说: 已知线段 AB，如果要作线段 AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知， 若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 例2 作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段AB.求作线段AB的垂直平分线. 作法：（1） 分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C和点D. （2） 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段AB的垂直平分线. 也可用此法作线段的中点． 注意： 在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半. 思考: 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 若能找到直线 l上的一条线段 AB，使 AB的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 由于点P与已知直线l的位置关系有两种，于是需分情况来作图. （1） 点P在直线l上. （2） 点P在直线l外. 注意： 规定“以大于已知线段的一半 (AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提； 两弧的交点到线段的两个端点的距离相等. 例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 如图，已知线段a，h. 求作△ABC，使AB = AC，且BC = a，高AD = h. 分析：由于等腰△ABC 的底边 BC上的高线 AD 也是底边上的中线，从而直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点. 作法：（1） 作线段BC = a； （2） 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； （3） 在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA = h； （4） 连接 AB，AC，则△ABC 为所求作的等腰三角形（如图）. 1. 作图依据：等腰三角形的三线合一. 2. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法. 例4 求作一个角的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线. 作法 （1） 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧， 分别与OA，OB交于点D，E，连接DE； （2） 分别以点 D，E 为圆心，以相同长度（大于DE的长）为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C； （3） 作射线 OC，则 OC 为所求作的∠AOB 的平分线（如图） 1. “ 以大于DE 的长为半径画弧”是因为若以小于DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交； 2. “作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段. 学生思考回答。 学生小组讨论，动手操作。 学生在教师的引导下作答。 学生独立思考，然后与老师一起作图。 学生独立思考尝试作图。 通过提出问题的形式，让学生找到作线段垂直平分线的方法。 让学生知道在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半，提高实践操作能力。 引导学生过一点作已知直线的垂线，对线段垂直平分线的做法进行深入应用。 让学生运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法去作图。 掌握作一个角的平分线的作图方法，提高动手操作能力。 课堂练习 1.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法） 如图，在直线l上求作一点P，使PA = PB. 2.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法） 如图，作出△ABC的边BC上的高. 3.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法） 任意画一个钝角，作它的平分线. 学生利用尺规作图法作图，小组交流讨论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.作一条线段的垂直平分线： 在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半. 2.过一点作已知直线l的垂线： 规定“以大于已知线段的一半 (AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提； 两弧的交点到线段的两个端点的距离相等. 3.已知底边及底边上的高线作等腰三角形： 作图依据：等腰三角形的三线合一. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法. 4.作一个角的平分线： “ 以大于DE 的长为半径画弧”是因为若以小于DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交； “作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段. 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 课后练习 必做题：教材习题4.6--学而时习之 5题、6题、7题、8题 选做题：请完成学案作业布置内容 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $