1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

选修一《第一章 空间向量与立体几何》 1.4.1.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 空间向量与点线面的联系 平行 垂直 模长 夹角 空间 向量 点线面关系 平行 垂直 距离 两线夹角 向量的运算 一、用向量表示空间中的点、直线和平面 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要建立空间向量与几何要素的对应关系： 立体几何 点 线 面 空间向量 ？ ？ ？ 新知1：用向量表示空间中的点/线/面       3. 平面内一点：P为平面ABC上一点       l A P   新知1：用向量表示空间中的点/线/面     (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行. 【要点1】求直线的方向向量 [练习1]如图，棱长为2的正方体ABCD-­A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系Axyz，则直线DD1的方向向量的坐标为________ (0,0,2) (0,0,1)   ①以原点为起点的相等向量的坐标； ②向量的终点减去起点坐标 【要点2】求平面的法向量 P28-例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． 设法向量 找两向量 列方程组 赋非零值 下结论 定义法 待定系数法 ①定义法(找线面垂直) ②待定系数法(设/列/赋) 补例2.已知在空间直角坐标系中，A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,6)，点M(x，y,2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则 的最小值为________. 补例2.已知在空间直角坐标系中，A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,6)，点M(x，y,2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则 的最小值为________. 设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)， 令c＝1，得m＝(3,2,1)， 解 ： 谢谢大家 选修一《第一章 空间向量与立体几何》 1.4.1.2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 二、空间中平行关系的向量表示 空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？   思考1：如何用向量的关系表示两条直线平行？ 思考2：如何由向量关系表示直线与平面平行？ l1 l2 l 二、空间中平行关系的向量表示   思考3：如何用向量关系表示平面与平面的平行？ 向量法证明线线平行 【例1】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)若点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点，求证：PQ∥RS. 证明： 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 证线线平行：证明两直线的方向向量共线(找λ). x y z 基底法 坐标法 向量法证明线面平行 【例2】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD. x y z 基底法 坐标法 证明： 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，如图建立空间直角坐标系Dxyz. 向量法证明线面平行 【例2】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD. x y z 一题多法（四种解法） 向量法证明面面平行 【例3】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心， 求证：平面GHA∥平面D1BK. x y z 坐标法 【要点3.3】向量法证明面面平行 【例3】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心， 求证：平面GHA∥平面D1BK. x y z 平行中的动点问题 P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2， 线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1. x y z 坐标法 【 平行中的动点问题 P31-2.如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF？ 基底法 【小结】直线、平行的平行问题 1.证线线平行： ①证平行四边形得对边平行； ②中位线； ③对应线段成比例； ④平行线的传递性； ⑤线面平行的定义 ⑥两直线的方向向量共线(直接法/基底法/坐标法找λ) 【小结】直线、平行的平行问题 2.证线面平行： ①线面平行的判定定理：几何法、基底法、坐标法 平面外的直线l与平面α内的一条直线平行，则l//α. ②法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 ③直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. 3.证面面平行： ①面面平行的判定定理：几何法、基底法、坐标法 平面α内的两条相交直线均平行于平面β，则α//β. ②法向量坐标法：两平面的法向量共线 (1)证法1： x y z x y z (1)证法2： x y z (1)证法3： (1)证法4： (2)解法1： R R (2)解法2： 谢谢大家  ＋ 依题意，＝(－2,3,0)，＝(0，－3,6)，＝(x－2，y,2)， 则 依题意，m·＝0，则3x＋2y＝4， 则＋＝(3x＋2y)＝≥＝， 当且仅当x＝4－，y＝2－4时取等号.  ＋ 课后思考题：如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面；（2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 1、求两异面直线所成的角 2、求直线和平面所成的角 3、求二面角 4、求的距离 设平面的法向量， ，， 则 令，得， 又， 而， 所以. 又平面，所以∥平面． 如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，. 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. ， 又平面，所以∥平面． ， 因为， 所以PQ∥MN， 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. 如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，. ， 所以∥平面． 因为， 又PQ平面BMN，BN，BM平面BMN， ,， 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. 如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，. ， 所以，故， 所以∥平面． 又PQ平面BMN，MN平面BMN， 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. 设，则 假设在线段上存在点，使平面平面， 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. 设，平面的法向量为， 则 令,得, 若平面平面,则, 即， 解得：， 所以存在点，使平面平面，且． 假设在线段上存在点，使平面平面， 设，则, 又，， 由得 解得,,. 所以存在点，使平面平面，且． 例1．已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF平面ABC，∠BAC＝120°，AB＝AF＝4，CN＝3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点． (1)求证：直线PQ∥平面BMN； (2)在线段上是否存在点，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由. $