1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

1．4．1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 2．（2025·高二·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【解析】由题意得，，则，则. 故选：A 3．（2025·高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 4．（2025·高二·江苏常州·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 【答案】C 【解析】对于A，因为在中，， 由空间向量共面定理，可知P，A，B，C四点不共面，故A错误； 对于B，当共线同向时，，但与夹角不是锐角，故B错误； 对于C，因，即，故，即C正确； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：C. 5．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由可得，故，故，，故. 故选：A 6．（2025·高二·江苏淮安·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误； 对于B，当夹角为0时，也满足，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确. 故选：D 7．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解析】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 8．（多选题）下列给出的命题正确的是（   ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D．两个不重合的平面的法向量分别是，，则 【答案】CD 【解析】对于A，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，A错误； 对于B，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，B错误； 对于C，，，或，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 9．（多选题）（2025·高二·江苏南京·期中）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【解析】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（2025·高二·陕西咸阳·期末）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则，，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确. 故选：ACD 11．（2025·高二·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 【答案】 【解析】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 12．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【解析】由有，即，即， 故答案为：. 13．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】由可得，即，解得. 故答案为： 14．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 15．（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【解析】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 1．如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨以为原点，、、分别为、、轴正方向建立直角坐标系， 设，则，，，设， 结论：，，令得，故当与重合时，，正确； 结论：，，令，故当时，，正确； 结论：与不平行，故点运动时到距离不是定值，又为定值，故的面积不是定值．错误． 结论：到底面距离不变，面积不变，而为定值．正确． 故选：C． 2．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知正方体的棱长为，为侧面内（含边界）的一个动点，分别是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．不存在点，使得平面 B．若平面，则点的轨迹长度为 C．若为侧面的中心，则四棱锥的外接球的表面积为 D．当时，三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设， 对于A，，设平面的法向量为， 则可得，取， 则，若平面，则， 故即为的中点，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为， 则可得，取， 因为平面，故，故， 故，故的轨迹为中点的连线段，其长度为，故B正确； 对于C，设为四棱锥的外接球的球心，则可设， 因为侧面的中心，故， 由可得：， 故，故外接球的半径为，故其外接球的表面积为, 故C正确； 对于D，由A的分析得，， 因为，故，故， 故此时的轨迹为的中点与的线段， 此时，而，故， 故，而平面，而平面， 故平面，故到平面的距离为定值， 而的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，所以D正确． 故选：BCD. 3．（多选题）如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若平面，下列结论正确的为（   ）    A．点N的轨迹和正方形的内切圆相切 B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C．无论点N在何位置，总有 D．长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】将展开图折叠成正方体，如图所示： 连接，，，则，. 取的中点，的中点，连接，，，则，， 所以，不在面内，面，则面， 同理有，不在面内，面，则面， 而相交且都在面内，故平面平面. 要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误； 当点与点重合时，，又，所以四点共面， 由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确； 在正方体的结构特征，以为原点，分别以所在直线为 轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体边长为，则各点坐标为：，，，，. . . .  可得，所以. 同理可得.  因为，且平面 ，，，即垂直于平面内两条相交直线，所以平面,又平面平面，平面，又平面，所以，所以C正确； 当点为中点时，的长度最小，连接， 则，， 当点与点（或）重合时，的长度最大，此时， 所以长度的取值范围为：，故D正确. 故选：BCD 4．（多选题）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，， 当时，， 所以，A正确. ，，当时，. 因为平面，平面，所以平面，B正确. 由， 当时，，，， 当时，的面积取得最小值，最小值为，C错误. 当时，，，， 可看作是平面内点到点，的距离之和， 点关于轴的对称点为， 则， 所以的最小值为，D正确. 故选：ABD 5．已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以. 故答案为：. 6．（2025·高二·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 1．（2025·湖南长沙·二模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】A 【解析】如图，对于A，∵正四棱锥的棱长为2， ∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小，此时根据等体积法可求出， 即可求得， 即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动， 所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵，∴，即， 化简整理可得， ∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：A 2．（多选题）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 【答案】ABD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，， ，由，得， 即当点时，，而平面， 因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，，而，， 因此对于线段上的任意一点，都有，B正确； 对于C，取中点，，即，而直线， 则，四边形是符合题意的截面，， 等腰梯形的高，该截面面积，C错误； 对于D，设，则， 由平面，得，解得， 则，D正确. 故选：ABD 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】 根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ， 设平面的法向量为，则，取， 因为平面，故，故即，故 设三棱锥外接球的球心坐标为，由得： ，整理得：， 故，故外接球半径为 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 4．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【解析】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 5．（2025·福建三明·三模）如图，直四棱柱中，，，，，直线与直线所成角为，为棱的中点，矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，如图所示. (1)求证：平面； (2)线段与平面交于点，且在上投影向量的模等于，求的值. 【解析】（1）中，，，， 由余弦定理得， 因为，故， 在四棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为直线与直线所成角为， 所以为直线与直线所成角或其补角， 又因为，所以，则，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面. （2）（法一）因为，，，所以， 由勾股定理得，且， 因为为直四棱柱，故以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点，. ，， 因为在投影向量的模为， 所以即，得或（舍去）， 所以，， 因为、、、四点共面，所以设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由题意可得，则， 由得， 化简得，所以. （法二）因为，，，所以， 由勾股定理得，且， 因为为直四棱柱，故以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点，. ，，， 因为在投影向量的模为， 所以，，得或（舍去）， 所以，， 因为、、、四点共面， 所以设平面的一个法向量为，由， 令，得，由题意可得，， 由得， 化简得，所以. 6．（2025·高二·辽宁大连·期末）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 【解析】（1）设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. （2）在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．4．1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 3．（2025·高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·高二·江苏常州·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，则在方向上的投影向量为 5．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 6．（2025·高二·江苏淮安·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 7．（2025·高二·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 8．（多选题）下列给出的命题正确的是（   ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D．两个不重合的平面的法向量分别是，，则 9．（多选题）（2025·高二·江苏南京·期中）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 10．（多选题）（2025·高二·陕西咸阳·期末）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 11．（2025·高二·广东江门·期中）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 12．（2025·高二·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 13．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 14．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 15．（2025·高二·广东广州·开学考试）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 1．如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知正方体的棱长为，为侧面内（含边界）的一个动点，分别是线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．不存在点，使得平面 B．若平面，则点的轨迹长度为 C．若为侧面的中心，则四棱锥的外接球的表面积为 D．当时，三棱锥的体积为定值 3．（多选题）如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若平面，下列结论正确的为（   ）    A．点N的轨迹和正方形的内切圆相切 B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C．无论点N在何位置，总有 D．长度的取值范围为 4．（多选题）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 5．已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 6．（2025·高二·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 1．（2025·湖南长沙·二模）已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（    ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 2．（多选题）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 4．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 5．（2025·福建三明·三模）如图，直四棱柱中，，，，，直线与直线所成角为，为棱的中点，矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，如图所示. (1)求证：平面； (2)线段与平面交于点，且在上投影向量的模等于，求的值. 6．（2025·高二·辽宁大连·期末）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$