13.3 .1三角形的内角 课件 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第一课时 三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？ 我们在小学学习过三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关. 思考 证明方法一：度量法 学习目标 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 新知探究 但由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180° 证明方法二：拼凑法 三角形的内角和为180°. 求证 证明方法三：推理验证法（1） 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 1 2 A B C 新知探究 求证：∠A+∠B+∠C=180° 已知：△ABC. 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° C B A E D 1 2 三角形的内角和为180°. 新知探究 证明方法三：推理验证法（2） 证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180° (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° C B A E D F 三角形的内角和为180°. 新知探究 证明方法三：推理验证法（3） 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 思考 转化思想 辅助线 三角形的内角和定理 即∠A+∠B+∠C=180°. 三角形内角和等于180°. C B A 帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家.早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°. 例1 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 3x=180 20+x=25+45 70+40+x=180 3x=180-90 典例精析 在△EFC中求出∠D 在△AEF中求出∠EFA 例3 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 典例精析 归纳总结 事实上，在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°, 在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°, 而∠AFE=∠CFD， 故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D. 这样的模型我们称之为“八字模型”. 模型总结 由三角形的内角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 模型总结 见比例，设未知数 例4 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C. 解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°， 从而有 x + 2x + 60＝180. 解得 x＝40. ∴ 2x＝80. 答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 典例精析 能否求出三角形ABC的所有内角？ 变式1 O E B D C A 1 2 同理∠2=20° ∴∠AOC=130°. ∵∠BAC=60°(已知)， ∴ ∠1=30°(等式的性质). 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180°（三角形的内角和等于180°）. 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， 典例精析 在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． 提示：可以用整体思想！ 在△ABC中，已知∠BAC+∠BCA=110°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． O E B D C A 1 2 ∴∠AOC=125°. 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° 记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， 变式2 如果将条件换成∠B=70°，你还会解答吗？ 典例精析 和变式2互为逆向应用！ 在△ABC中，已知∠AOC=120°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠B 的度数． O E B D C A 1 2 ∴∠1+∠2=60°， 解：记∠DAC为∠1，∠ACE为∠2， ∵AD是△ABC的角平分线(已知)， 而在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° ∴∠BAC+∠BCA=2(∠1+∠2)=120°， ∴∠B=60°. 而在△ABC 中， ∠BAC+∠BCA+∠B=180° 变式3 典例精析 在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． D C A B 1 2 在△AOC 中， ∠1+∠2+∠AOC=180° 变式4 从特殊到一般 典例精析 O E 课堂练习 课堂小结 $