精品解析：山东省日照市东港区海曲中学2022 年中考数学押题题试题

日照市海曲中学2021-2022学年下学期 中考数学模拟题 本试题120分钟总分120分共22道题 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 7. 2015年某县总量为1000亿元，计划到2017年全县总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为、、，若AD=2，AB=，∠A=60°，则的值为（　　） A. B. C. D. 4 10. 反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分．不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上． 13. 正五边形的每一个内角都等于___． 14. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____． 15. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，） 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，则面积的最大值为________． 三、解答题：本题共6个小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 未参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了依次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图． 组别 分组 频数 频率 1 9 0.18 2 a 3 20 0.40 4 0.08 5 2 b 合计 请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题： （1）求出a、b、x、y的值； （2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？ （3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B） 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 20. 如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有． 21. 【概念认识】 在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点． 【数学理解】 （1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．求证： AB、CD是⊙O的等垂弦． （2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，．求AB的长度． 【问题解决】 （3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F． ①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）． ②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围． 22. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照市海曲中学2021-2022学年下学期 中考数学模拟题 本试题120分钟总分120分共22道题 一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键． 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C．正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可得． 【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键． 6. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是的中位线， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键． 7. 2015年某县总量为1000亿元，计划到2017年全县总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该县这两年总量的平均增长率为x，根据：2015年某县总量×（1+增长百分率）2=2017年全县总量，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意， 得：1000=1210， 解得：=−2.1(舍)，=0.1=10%， 即该县这两年GDP总量的平均增长率为10% 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于增长率问题：若原数是a，每次增长的百分率为a，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即：原数×（1+增长百分率）2=后来数． 8. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， ， 由题意，分以下两种情况： （1）当点在上，即时， 在中，， 在中，，， ， ； （2）如图，当点在上，即时， 四边形是矩形，， 四边形是矩形， ， ， 综上，与间的函数关系式为， 观察四个选项可知，只有选项D的图象符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键． 9. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为、、，若AD=2，AB=，∠A=60°，则的值为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数计算出平行四边形AB边上的高DH，从而得出平行四边形ABCD的面积，进而得出S△PBC、S2+S3的值，由E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点以及∠FPE=∠CPB可得△PEF∽△PBC，根据相似三角形的性质得出△PEF与△PBC的面积之比，从而得出S1的值，最后求出S1+ S2+ S3的值即可. 【详解】作DH⊥AB交AB于点H， ∵AD=2，AB=2，∠A=60°， ∴DH=AD·sin60°=2×=， ∴S平行四边形ABCD=2×=6， ∴S△PBC=S2+S3=3， ∵E、F分别是PB、PC的三等分点， ∴==， ∵∠FPE=∠CPB， ∴△PEF∽△PBC， ∴=， ∴S1=， ∴S1+ S2+ S3=+3=. 故选A. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，找出对应三角形面积之间的关系是解题的关键. 10. 反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可. 【详解】∵y=的图象经过第一、三象限， ∴kb＞0， ∴k，b同号， 选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意； 选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项D图象过一、三象限， 则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意； 故选D． 11. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＜0，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标以及过特殊点，结合不等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵由抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即ab＞0． ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴①正确； ②如图，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴②正确； ③对称轴为x＝﹣＞﹣1，即＜1， ∵a＜0， ∴b＞2a，即2a﹣b＜0， ∴③错误； ④当x＝1时，y＝a+b+c＝0， 又∵b＞2a， ∴a+b+c＝0＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0． ∴④正确． 综上所述，正确的结论有①②④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质，解决本题的关键是理解并能灵活运用抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点坐标等特征确定a、b、c之间的关系，以及能通过取特殊值得到相应等式等；本题较灵活，考查了学生对相关概念的理解与掌握以及学生对知识点的应用意识． 12. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题． 【详解】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周， ， 点在第四象限，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分．不需写出解题过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上． 13. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 14. 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得． 【详解】解：， （为正整数）， ， ， ， ， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键． 15. 如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得． 【详解】解：由题意得：， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 即建筑物的高约为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，则面积的最大值为________． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键． 根据待定系数法求得反比例函数解析式，由题意可得点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， ∵点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为线段上的一个动点， 设，其中， ∵轴， ∴， ∴， ∵中边上的高为点到的距离，即点的横坐标， ∴的面积为：， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为． 故答案为： ． 三、解答题：本题共6个小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、去括号的法则、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据去括号的法则、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题； （2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 未参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了依次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图． 组别 分组 频数 频率 1 9 0.18 2 a 3 20 0.40 4 0.08 5 2 b 合计 请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题： （1）求出a、b、x、y的值； （2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？ （3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B） 【答案】（1）a=15，b=0.04，x=0.03，y=0.004 （2）70≤x＜80 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用第1组的频数除以它的频率得到样本容量，再计算出第4组的频数，则利用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到a的值，然后利用2除以样本容量得到b的值，最后用第2组的频数a除以样本容量后再除以10即可得到x的值； （2）根据中位数的定义即可判断； （3）画树状图（五位同学请A、B、C、D、E用表示，其中小明为A，小敏为B）展示所有20种等可能的结果数，找出小明、小敏同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 由题意得9÷0.18=50，50×0.08=4， 所以a=50﹣9﹣20﹣4﹣2=15， b=2÷50=0.04， x=15÷50÷10=0.03， y=0.04÷10=0.004； 【小问2详解】 由（1）知，样本容量为50，这次测试中低于70分的同学24人，小王的成绩是中位数， 小王的成绩应在的范围内； 【小问3详解】 画树状图为：（五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B） 共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2， 所以小明、小敏同时被选中的概率==． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的画法、统计图及利用概率公式求概率，准确理解题意、获取条件是解题的关键． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 【答案】 （1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴∠QAF=90°，AQ=AF， ∵∠EAF=45°， ∴∠QAE=45°， 在△AQE和△AFE中， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线； （2）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴∠ABQ=∠ADF=45°，QB=DF， ∴∠QBE=∠ABQ+∠ABE=90°， 由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2， 则EF2=BE2+DF2． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案； （2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】考点：（1）旋转的性质；（2）正方形的性质． 20. 如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【解析】 【分析】（1）连接OC，先证明∠EAC=∠OCA，可得CO∥AE，进而即可求证； （2）连接BC，可证，进而即可得到结论； （3）由三角形外角的性质可得∠QBM-∠QAM=∠Q，∠CBM-∠CAM=∠ACB，结合角平分线的定义，可得∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵的平分线交于点C， ∴∠EAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠EAC=∠OCA， ∴CO∥AE， ∵， ∴CO⊥CD， ∴是的切线； （2）连接BC， ∵是的直径， ∴∠ACB =90°， ∵， ∴∠D=90°，即：∠ACB=∠D， ∵∠DAC=∠CAB， ∴， ∴，即：， ∵AB=2AO， ∴； （3）证明：∵∠QBM是的一个外角， ∴∠QBM-∠QAM=∠Q， 同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB， ∵的平分线交的平分线于点Q， ∴∠CBM=2∠QBM，∠CAM=2∠QAM， ∴∠ACB=2∠Q， 同理：∠AEB=2∠P， ∵∠ACB和∠AEB都是直径所对的圆周角， ∴∠ACB=∠AEB=90°， ∴，即：无论点E如何运动，总有． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键． 21. 【概念认识】 在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、CD的分割点． 【数学理解】 （1）如图②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分别交⊙O于点C、D，连接CD．求证： AB、CD是⊙O的等垂弦． （2）在⊙O中，⊙O的半径为5，E为等垂弦AB、CD的分割点，．求AB的长度． 【问题解决】 （3）AB、CD是⊙O的两条弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足为F． ①在图③中，利用直尺和圆规作弦CD（保留作图痕迹，不写作法）． ②若⊙O的半径为r，AB＝mr（m为常数），垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）①作图见解析；②当0＜m＜时，点F在⊙O外；当m＝时，点F在⊙O上；＜m≤2时，点F在⊙O内. 【解析】 【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等证明AB=CD，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证明∠ACB=∠DCB=45°，从而可得结论； （2）分两种情况：①点E在⊙O内，作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，证明△AHO≌△DGO得OH＝OG，再证明矩形OHEG为正方形结合＝证明出AH＝2OH，运用勾股定理求出OH的长即可；②点E在⊙O外，求解方法同①； （3）①连接OA，过O作OM⊥OA交于点M，以M为圆心，以AG的长为半径画弧交于点N，连接MN，再四等分弦MN,即可作出CD=且CD ⊥AB； ②由于AB是⊙O的弦可知m≤2，再由点F在圆上时可求出m=，最后分当0＜m＜时，点F在⊙O外；当m＝时，点F在⊙O上；＜m≤2时，点F在⊙O内，三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）如图①，连接BC， ∵OC⊥OA、OD⊥OB， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝∠COD， ∴AB＝CD， ∵＝ ∴∠ABC＝∠AOC＝45°． 同理∴∠BCD＝∠BOD＝45°， ∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°， 即AB⊥CD， ∵AB＝CD，AB⊥CD， ∴ AB、CD是⊙O的等垂弦． （2）如图②，若点E在⊙O内，作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G， ∵AB、CD是⊙O的等垂弦， ∴AB＝CD，AB⊥CD， ∴AH＝DG＝AB，OA＝OD，∠AHO＝∠DGO， ∴△AHO≌△DGO， ∴OH＝OG， ∴矩形OHEG为正方形， ∴OH＝HE ． ∵＝， 又AH＝BH， ∴AH＝2BE＝2OH， 在Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2． 即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25， 解得OH＝，则AB＝4HE＝4； 若点E在⊙O外，同理，AH＝，则AB＝2AH＝2． （3）①如图所示，弦CD即为所求； ②∵AB是⊙O的弦， ∴AB≤2r，即m≤2， 当点F在圆上时，如图所示， 此时，AB=mr，CD=，AD=2r 由勾股定理得， 解得， 因此，当0＜m＜时，点F在⊙O外；当m＝时，点F在⊙O上；当＜m≤2时，点F在⊙O内. 【点睛】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、弧与弦的关系以及正方形的判定．在解答（2）时，利用了“邻边相等的矩形是正方形”，解题的关键是熟练掌握等垂弦的定义与性质． 22. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为10 （3）故点P坐标为：或或． 【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG的周长，即可求解； （3），解得：，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，解得：， 故函数表达式为：…①； （2）设点M的坐标为，则点， 则，， 矩形MNHG的周长， ∵，故当，C有最大值，最大值为10， 此时，点与点D重合； （3）的面积是矩形MNHG面积的， 则， 连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n， 过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即， 过点P作于点K， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：， ，∴，， 设点，则点， ， 解得：， 则， 解得：， 故点， 直线n的表达式为：…②， 联立①②并解得：， 即点、的坐标分别为、； 故点P坐标为：或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $