函数专题03 指对幂比较大小的常用方法讲义-2026届高三数学一轮复习
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内容正文：
函数专题03 指对幂比较大小（练习版）
专题分析：指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.
一、知识清单：
1.幂函数
(1)定义：一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象：
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.指数函数
（1）概念
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
（2）指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
y=ax与y=的图象关于y轴对称
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
3.对数函数
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
二、考点分类
考点01 化同底或同真或同指数进行比较
1.设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a
2.若a=log37,b=log940,c=,则( )
A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c
3.已知a=,b=40.6,c=log38,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a
4.设a=log32,b=log96,c=,则( )
A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c
5.设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6.设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点02 利用特殊值作为中间量进行比较
1.设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a
2.已知a=log32,b=log52,c=3a-1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a
3.已知a=log25,b=log52,c=,则( )
A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a
4.已知a=log 2,b=log2,c=,则( )
A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a
5.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
思维升华：利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较.
6.已知，则（ ）．
A． B． C． D．
7.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知，则（ ）
A． B． C． D．
9.若则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
考点03 利用作差法/作商法进行比较
1．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
6．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点04 构造函数利用函数单调性进行比较
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数分别满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6.设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知，则（ ）
A． B． C． D．
9.若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点05 利用数形结合进行比较
1．函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数 的零点分别为a,b,c,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
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函数专题03 指对幂比较大小（解析版）
专题分析：指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.
一、知识清单：
1.幂函数
(1)定义：一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象：
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.指数函数
（1）概念
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
（2）指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1;
当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
y=ax与y=的图象关于y轴对称
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
3.对数函数
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
二、考点分类
考点01 化同底或同真或同指数进行比较
1.设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a
【答案】 D
【详解】 因为指数函数y=0.3x在R上为单调递减函数,所以0.30.3>0.30.6,即b>c,又幂函数y=x0.3在[0,+∞)上为增函数,所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.
2.若a=log37,b=log940,c=,则( )
A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c
【答案】 D
【详解】 依题意,a=log37=log949,故a>b,而a<log39=2<c,故b<a<c,故选D.
3.已知a=,b=40.6,c=log38,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a
【答案】 C
【详解】 由于a==21.1>2,b=40.6=21.2>21.1=a>2,c=log38<log39=2,所以c<a<b.
4.设a=log32,b=log96,c=,则( )
A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c
【答案】 D
【详解】 因为b=log96=lo()2=log3,且c==log3,又<2<,函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,则log3<log32<log3,所以c<a<b.
5.设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在上递增，且，所以，
所以，即，因为在上递增，且，
所以，即，所以，故选：D
6.设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.
所以. 故选：D
考点02 利用特殊值作为中间量进行比较
1.设a=20.7,b=,c=log2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a
【答案】 D
【详解】 由题意知,a=20.7>20=1,b==3-0.7<30=1,又b>0,所以0<b<1,c=log2<0,所以c<b<a.
2.已知a=log32,b=log52,c=3a-1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a
【答案】 B
【详解】由题意知,c=3a-1=×=,b=log52<log5=,a=log32>log3=,又23<32,则2<,a=log32<log3=,所以b<a<c.
3.已知a=log25,b=log52,c=,则( )
A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a
【答案】 D
【详解】因为a=log25>log24=2,b=log52<log55=1,1<c==<=2,所以b<c<a.
4.已知a=log 2,b=log2,c=,则( )
A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a
【答案】 C
【详解】因为a=log 2=>=1,b=log2=log2=-,0<c=<=1,故a>c>b.
5.设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故.故选：D.
思维升华：利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1=log22<log23<log24=2,进而可估计log23是一个1~2之间的小数,从而便于比较.
6.已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由
，，所以满足，故选：C.
7.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意.
故选：A.
8.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
，所以，故选：A
9.若则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，，
所以.故选：D.
10.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】；
所以 故选：B.
考点03 利用作差法/作商法进行比较
1．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.综上所述，.
故选：A.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:，
所以，即，所以．又，所以.
故选：D．
3．已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
又因为，所．因为，即，所以．
综上，．故选：A.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对，
因为，即，
所以，即；对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.故选：C
5．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.故选：D
6．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以；
又因为，所以；综上所述：. 故选：C.
考点04 构造函数利用函数单调性进行比较
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以, 故选：C.
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此；
令，求导得，当时，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此，所以. 故选：C
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即，
所以，而，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，所以，
即，所以，,
令，则，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，所以，
即当时，，所以函数在上单调递增，
所以，即，所以，综上所述，.故选：A.
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则.当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，故.
令，则.当时，，单调递减，则，即. 故.故选：A.
5．已知实数分别满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则，令，，
则，则当时，，故在上单调递增，
故，即，即，
由，则，令，，则，
令，则当时，恒成立，
故在上单调递增，又，故恒成立，
故在上单调递增，故，
即，即，故.故选：D.
6.设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【详解】由，，，得，，，
构造函数，则，当时，x＝1，
时，，单调递减；时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，时，，即，
取，得，，，即；
设，则，
令，，因为当时，令，
，单调递减，又时，，则，即，
所以，因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，所以，即，
，即，.故选：D
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
令，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，令，则，
当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，，即
所以，所以；
由，得，由，得，
所以，
因为，所以，所以，所以，即，所以，
综上所述.故选：A
8.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.
9.若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．
10．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，当且仅当时取等号，则当时，，即，所以；
因为，故，当且仅当时等号成立，故，故．
综上可知．故选：B．
11．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令，求导可得，
所以在上单调递减，所以，所以，
所以，所以，即，令，求导得，
当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，所以，所以，所以，所以，即，所以．故选：A.
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
设，则，
设，则，
令，得，所以函数在上单调递减，又，
所以当时，，则，此时函数在上单调递增，又，
所以，则，即；
又，，则，所以.故选：D.
考点05 利用数形结合进行比较
1．函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，令，即，
令，即，分别作出，，和的图象，
如图所示：
由图象可知：，所以.故选：.
2．设函数 的零点分别为a,b,c,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
可得，
可知与的交点横坐标分别为a,b,c,
在同一坐标系内作出，的图象，
根据图象可知：与有2个交点，但均有，所以.故选：A.
3．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
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