精品解析： 浙江省杭州市下城区启正中学2021-2022学年九年级下 学期 开学数学试卷

2021-2022学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（下）开学数学试卷 一.选择题（共10小题） 1. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 明天要下雨 B. a是实数，|a|≥0 C. ﹣3＜﹣4 D. 打开电视机，正在播放新闻 2. 若，则＝（ ） A. B. － C. D. － 3. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 4. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 8. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点的纵坐标小于4 B. 对称轴在直线左侧 C. 与轴正半轴交点的横坐标小于2 D. 拋物线一定经过两个定点 10. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E． 若，则下列结论中正确的是（ ） ① ②与的周长比为 ③ ④ A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二.填空题（共6小题） 11. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 _____． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是_______． 13. 若扇形的面积为，圆心角为，则它的弧长是__________________． 14. 在同一直角坐标系xOy中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（，m），B（，m），C（，m），其中m为常数，令，那么的值为___________（用含m的代数式表示）. 15. （2016广西桂林市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=_______． 16. 如图，点是抛物线上不与原点重合的动点．轴于点，过点作的垂线并延长交轴于点，连结，则线段的长是_______，AC的最小值是__________． 三.解答题（共7小题） 17. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率． 18. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表： … … … … （1）试判断该函数图象的开口方向； （2）当时，求函数y的值； （3）根据你的解题经验，直接写出的解． 19. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 如图，为的直径，点在上，为弧的中点，过点作直线于，连接． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 21. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22. 已知二次函数y＝x2+2bx+c （1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 23. 已知，如图，O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB=CD （1）求证：=； （2）若=，求的度数. （3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE=2BE，求证：EG=GD 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（下）开学数学试卷 一.选择题（共10小题） 1. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 明天要下雨 B. a是实数，|a|≥0 C. ﹣3＜﹣4 D. 打开电视机，正在播放新闻 【答案】B 【解析】 【分析】根据事情发生的可能性大小进行判断，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】A. 明天要下雨，是随机事件，不符合题意； B. a是实数，|a|≥0，是必然事件，符合题意； C. ﹣3＜﹣4，是不可能事件，不符合题意 D. 打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意 故选B 【点睛】本题考查了必然事件，随机事件，不可能事件，实数的性质，有理数大小比较，掌握相关知识是解题的关键． 2. 若，则＝（ ） A. B. － C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质：两外项之积等于两内项之积，即可得出答案． 【详解】∵2a=3b， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，能够熟练进行比例式和等积式的相互转化是解题的关键． 3. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义． 4. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：＝72°， ∴n＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝． 5. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：A． 6. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可得答案． 【详解】解：因为：， 所以：， 所以：． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的实际含义是解题的关键． 7. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（ ） A. 3﹣ B. 1＋ C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度即可． 【详解】解：由于点C为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则， ∴BC=AB-AC=2-（）=3-． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 8. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案． 【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID， 则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1， ∴四边形CDIF是正方形， ∴CD=CF=1， 由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD， ∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1， ∴AB=6=AE+BE=BF+AD， 即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用． 9. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与轴交点的纵坐标小于4 B. 对称轴在直线左侧 C. 与轴正半轴交点的横坐标小于2 D. 拋物线一定经过两个定点 【答案】D 【解析】 【分析】通过图象开口向下可得a＜0，可判断抛物线与y轴的交点纵坐标为4﹣2a＞0，抛物线对称轴为x＝﹣＞0可判断A，B；令a＝﹣1，求出抛物线与x轴正半轴的交点可判断C；把抛物线解析式化为y＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，令x2﹣x﹣2＝0，求出x，即可判断D． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下， ∴a＜0， 令x＝0，则y＝4﹣2a＞4， ∴抛物线与y轴的交点大于4， 故A错误； 二次函数的对称轴为x＝， ∵a＜0， ∴＞， 故对称轴在x＝0.5右侧， 故B错误； 取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x2+2x+6， 其与x轴正半轴的交点为： x＝＝1+＞2， 故C错误； y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4， 当x2﹣x﹣2＝0， 解得：x＝2或x＝﹣1， 当x＝2时，y＝6， 当x＝﹣1时，y＝3， ∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个定点， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点，解题关键是熟练掌握二次函数性质和利用特殊值法的解决问题． 10. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E． 若，则下列结论中正确的是（ ） ① ②与的周长比为 ③ ④ A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确 ∵，且△BDC和△BAC共有底BC ∴得到A，B，C，D四点共圆； 若，则，则AB=AC，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确； ∵△ABE和△ADE共有高， ∴， ∵△CBE和△CDE共有高， ∴ ∴即，，故 ④正确； ①②④正确，选C. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理． 二.填空题（共6小题） 11. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 _____． 【答案】3:1##3 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3， ∴它们的周长比为3：1． 故答案为：3：1． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先列举出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】任意摸出一个球，有4种结果，其中1个是黑球， ∴从中任意摸出一个球，是黑球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握运用概率公式是解答本题的关键． 13. 若扇形的面积为，圆心角为，则它的弧长是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得出，求出R，再根据扇形的面积公式得出，求出l即可． 【详解】解：设扇形的半径为R，弧长为l， ∵扇形的面积为，圆心角为， ∴， 解得：（负数舍去）， ∴， 解得：， 即它的弧长是， 故答案为：． 14. 在同一直角坐标系xOy中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A（，m），B（，m），C（，m），其中m为常数，令，那么的值为___________（用含m的代数式表示）. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令二次函数中y=m，即x2=m，解得x=或x= -； 令反比例函数中y=m，即=m，解得x=，将x的三个值相加，得=+(-)+． 方法二： ∵点A、B在二次函数图像上，点C在反比例函数的图像上，因为A、B两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0,因为点C（，m）在反比例函数图像上，则x3= = 故答案为. 【详解】∵点A、B在二次函数图像上，点C在反比例函数的图像上，因为A、B两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0,因为点C（，m）在反比例函数图像上，则x3= = 综上所述,答案:. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质．正确代入是解答关键. 15. （2016广西桂林市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°性质得到OE=OH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE， ∠ACB=90°，CHBD,AC=BC=3,CD=1 BD= △CDH∽△BDC CH= △ABC是等腰直角三角形，点O是AB中点， AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45° ∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45° ∠DCH=∠CBD, ∠OCH=∠ABD 在△CHO与△BEO中， △CHO≌△BEO OE=OH, ∠BOE=∠HOC OCBO ∠EOH=90° 即△HOE是等腰直角三角形， EH=BD-DH-CH=--= OH=EH= 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键. 16. 如图，点是抛物线上不与原点重合的动点．轴于点，过点作的垂线并延长交轴于点，连结，则线段的长是_______，AC的最小值是__________． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】设点A（a，a2），则点B坐标为（a，0），通过求证△AOB∽△BCO可得CO长度，由AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2可得AC2与a的函数关系式，将函数关系式化为顶点式求解． 【详解】解：设点A（a，a2），则点B坐标为（a，0）， ∴OB＝|a|，AB＝a2， ∵∠ABO＝∠BOC＝90°， ∴∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠AOB＝∠BCO， ∴△AOB∽△BCO， ∴， ∴OB2＝CO•AB，即a2＝a2•CO， 解得CO＝8， ∴C（0，8）， ∵AC2＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a2+a4﹣2a2+64＝（a4﹣64a2）+64＝（a2﹣32）2+48， ∴当a2＝32时，AC2＝48为最小值，即AC＝4． 故答案为：8，4． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握求二次函数最值的方法． 三.解答题（共7小题） 17. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图树状图，可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可． 【详解】解：根据题意，可作树状图如下， 由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况， 所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为． 【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键． 18. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表： … … … … （1）试判断该函数图象的开口方向； （2）当时，求函数y的值； （3）根据你的解题经验，直接写出的解． 【答案】（1）抛物线开口向上 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中对称点（0，-3），（2，-3），求得图象对称轴，由图象对称轴左侧的y随x的增大而减小可得抛物线开口向上； （2）根据二次函数的对称性即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 ∵图象经过点（0，-3），（2，-3）， ∴函数图象的对称轴为， 由表格可知，当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上； 【小问2详解】 ∵（-2，5）关于直线的对称点是（4，5）， ∴当时，函数值， 【小问3详解】 ∵抛物线开口向上，且抛物线图象经过点（0，-3），（2，-3）， ∴当时，， ∴的解为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题的关键是根据表格数据判断出抛物线开口方向和对称轴． 19. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 如图，为的直径，点在上，为弧的中点，过点作直线于，连接． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：相切，证明如下： 连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 直线与相切； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，再得到，进而得到，问题得证； （2）证明，得到，即可求出AB． 【详解】（1）略 （2）为直径， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理，添加适当辅助线是解题关键． 21. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE； （2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证； （2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式． 【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等， ∴ME＝BE，AM＝GH． ∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN， ∴AM＝2ME， ∴AE＝3BE； （2）∵篱笆总长为100m， ∴2AB+GH+3BC＝100， 即， ∴ 设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2， 则， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可． 22. 已知二次函数y＝x2+2bx+c （1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 【答案】(1)答案见解析 （2）b＝3或 【解析】 【分析】（1）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解； （2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b＜2和-b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解． 【详解】解：（1）由y＝1得 x2+2bx+c＝1， ∴x2+2bx+c﹣1＝0 ∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0， 则存在两个实数，使得相应的y＝1； （2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为x＝﹣b， ①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3； ②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣，不合题意，舍去， ③当﹣2＜﹣b＜2时，则＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝（不合题意，舍去），b2＝． 综上：b＝3或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键． 23. 已知，如图，O中两条弦AB，CD相交于点E，且AB=CD （1）求证：=； （2）若=，求的度数. （3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE=2BE，求证：EG=GD 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据相等圆周角对应的弦相等，对应的弧也相等的性质分析，即可完成证明； （2）结合（1）的结论，根据圆周角的性质分析，得；再根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质计算，即可得到答案； （3）过E作EM⊥AD于M点，通过证明，得；再根据等腰三角形三线合一性质，证得MH=HD；再结合相似三角形性质，通过证明，即可完成证明． 【详解】（1）∵AB=CD ∴= ∴，即； （2）由（1）可知 ∴ ∵= ∴=； （3）如图，过E作EM⊥AD于M点， ∵BH⊥AD ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵AE=2BE ∴ ∵ ∴为等腰三角形 ∴M为AD中点，即 ∴ ∴MH=HD ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即EG=GD． 【点睛】本题考查了圆、相似三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆心角、相似三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $