精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试题

襄阳四中2025-2026学年第一学期高二开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. （ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则及模的公式求解即可. 【详解】由， 则． 故选：D 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解. 【详解】因为向量，，与共线， 所以，解得， 故选：D. 3. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5 【答案】B 【解析】 【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解. 【详解】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90， 因为， 所以这组数据的75百分位数是第八个数据86. 故选：B 【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则． 故选：A. 6. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 【答案】C 【解析】 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系. 【详解】延长， 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为. 分别为棱的中点， 延长，则的延长线必过点， 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点 ；与直线是异面直线. 故选：C. 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 8. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作的平行线，并与的延长线交于点,进而由平面得到为直线与平面所成的角,借助余弦定理及三角函数的定义即可求出线面角. 【详解】由题意易得 又因为且面， 所以平面. 如图过点作的平行线，并与的延长线交于点， 所以平面. 连接，则直线与平面所成的角为． 在中，， 由，，可得. 由，可得. 则，则． 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助模长公式可得A；借助向量垂直数量积为零计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 由，得，则，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确； 故选：ACD． 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为， 所以边长为，所以，，，A错误； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，，解得 又，所以，B正确； 对于C：由上知，而，C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为， 即所得图象与函数的图象重合，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. 越大，的值越大 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错. 【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误. 对于选项B：因为，所以， 所以，则B正确. 对于选项C：由图可知，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确. 对于选项D：在上单调递减. 因为越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质运算求解. 【详解】根据题意可得：高一、高二、高三报名人数之比为， 故从高一年级学生中抽取的人数为. 故答案为：5. 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，根据条件求出，再利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，其母线长， 所以，，故， 故答案为：. 14. 如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为_______g.（结果用π表示） 【答案】 【解析】 【分析】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，计算其体积；内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，计算其体积，两体积之差即为该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到的几何体的体积，乘以密度即可求解. 【详解】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为, 体积为. 内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为1cm，圆柱的底面半径为，高为， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以该几何体的体积为，用密度为的材料去制造该几何体， 则该几何体的质量为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【小问1详解】 由题意得， 是纯虚数， ， ， 【小问2详解】 . 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 【小问2详解】 ①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②在中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可； （3）分和判断函数单调性，进而可求解； 【小问1详解】 由题意得 解得，即的定义域为． 【小问2详解】 由， 得或，解得或． 【小问3详解】 当时，，在上为增函数， 又在上为减函数，在上为减函数， 则是增函数， 由，得， 解得，即的解集为． 当时，在上为减函数， 又在上为减函数，所以在上为增函数， 可得是减函数， 由，得， 解得，即的解集为． 综上：当时，解集为， 当时，解集为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2） （3） 设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时， 这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025-2026学年第一学期高二开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. （ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5 5. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是异面直线 C. 直线与直线共面 D. 直线与直线共面 7. 在中，是边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( ) A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 11. 已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值是 D. 越大，的值越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”．已知高一、高二、高三报名人数分别为：100人、150人和250人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取25人组成校代表队参加市级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______． 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 14. 如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为_______g.（结果用π表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 17. 已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求； （3）求不等式的解集． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $