基本不等式专项训练-2026届高三数学一轮复习

基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点目录 利用基本不等式求代数式最值 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求函数中的最值问题 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 基本不等式的实际应用 考点一 利用基本不等式求代数式最值 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 3．（24-25高二下·江西九江·期末）设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 4．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b满足，则（   ） A．b的取值范围是 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值 9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若实数满足，则的最小值为 ． 12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在锐角中，已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在中，为的中点，且，若，则当取得最大值时， . 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为 . 6．（25-26高三上·山东·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求； (2)若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 7．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的最小值. 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 9．（25-26高三上·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 11．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. (1)证明：； (2)求角的最大值. 12．（25-26高二上·山东日照·开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求； (3)求的最小值． 13．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 考点三 利用基本不等式求函数中的最值问题 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知和是函数图象上的两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二下·云南丽江·期末）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽·阶段练习·多选）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 . 7．（24-25高三下·山东·阶段练习）设函数，其中，若，求的最小值 ． 8．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 9．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知，（且） (1)求函数的定义域； (2)若，函数的最小值为2，求的值； (3)在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 10．（2025·四川自贡·三模）函数 (1)求的单调区间； (2)设，证明：； (3)若，，比较与2的大小，并说明理由. 11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的a，，，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 考点四 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·江西·模拟预测）已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（2025·湖北襄阳·模拟预测·多选）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的面积为8 B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3 C．的最小值为 D．四边形面积的最小值为 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 9．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为． (1)求双曲线的离心率； (2)是双曲线上的一个动点，过作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，求四边形周长的最小值． 10．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过点的直线交E于两点，当轴时，． (1)求E的标准方程； (2)设点O为坐标原点，为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线交x轴y轴分别于点，且当点P与点A重合时，的面积最小． （ⅰ）求点A的坐标； （ⅱ）记的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值． 11．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． (1)求椭圆的标准方程． (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)设的面积与的面积分别为，求的最小值． 12．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. 考点五 基本不等式的实际应用 1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 2．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（    ） A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关 4．（24-25高二下·河北保定·期末）若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 6．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为 m3． 7．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 8．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．    (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 9．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有学生4000名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照个人进行分组，将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立. (1)若，记每人血样平均化验次数为，当取何值时，的数学期望最小； (2)若，设每人血样单独化验一次费用5元，个人混合化验一次费用共元.求当取何值时，每人血样平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用. 参考数据及公式：，. 10．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 11．（24-25高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，． (1)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线的长度平方成正比，比例系数为，而总收益与成正比，比例系数为（其中，，）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的长度，并写出此时的最大净收益表达式． 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点目录 利用基本不等式求代数式最值 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求函数中的最值问题 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 基本不等式的实际应用 考点一 利用基本不等式求代数式最值 1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【详解】由题意有， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【详解】因为，， 则， 当且仅当时取等号，即时. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西九江·期末）设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 因为恒成立，所以， 因为，， 其中，所以， 结合各选项知恒成立的一个充分条件为. 故选：B. 6．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 8．（25-26高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b满足，则（   ） A．b的取值范围是 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为正数a，b满足， 则，，解得，，故A正确， 对于选项B：因为， 整理可得，解得，或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 所以2不是的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，，则，， 由题知，则， 所以， ， 所以 令，则，， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在锐角中，已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 由正弦定理可得， 如图，作于，设， 因为，所以， 化简得，解得， 易知，，所以， 因此＝ ＝＝， 当且仅当时取得最小值. 故选：B 3．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【答案】BD 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C错误． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BD 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在中，为的中点，且，若，则当取得最大值时， . 【答案】/0.75 【详解】设，则， 由，再分别在和中用余弦定理， 得， 即，化简得， 根据基本不等式，有，当且仅当时等号成立， 即，即取得最大值时，， 所以当取得最大值时，. 故答案为： 5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为角的平分线为，则， 因，且，则， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为．    故答案为： 6．（25-26高三上·山东·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求； (2)若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得. 因为，所以. 整理得. 故. 又，故 （2）由的面积为，得，解得， ∵为内角的角平分线，∴， 由，得， 因此， ，当且仅当时取等号. 所以线段长的最大值为. 7．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又， 代入化简得， 因为，所以，则； （2）由（1）可知，， 则的面积，可得， 由余弦定理，， 当且仅当时，等号成立， 从而，即的最小值为. 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的周长为 (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为的周长为， 所以，即，化简可得， 故由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为，，所以由余弦定理 可得，解得，当且仅当时取等号， 所以面积， 即当时，面积取最大值. 9．（25-26高三上·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. （2）因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，所以. （2）因为，且，则， 可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 因为，则， 可得，， 则， 即的最大值为，且， 所以角的最大值为. 11．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在中，角所对的边分别为，为其外心，且满足. (1)证明：； (2)求角的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 同理，取的中点，连接， 由为的外心可知， 则， 因为为的中点，，且， 所以， 依题意，，因此， 即，.    （2）根据余弦定理，结合可得：， 由基本不等式，，当且仅当时取得， 因为，且在上单调递减， 所以，即的最大值为. 12．（25-26高二上·山东日照·开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【详解】（1）因为，根据正弦定理得：. 又因为， 所以. 又为三角形内角，所以. （2）因为，， 所以，， . 所以. 由正弦定理得， 又，所以，. 由余弦定理得. 所以. （3）因为 . 由正弦定理 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 13．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. （2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 考点三 利用基本不等式求函数中的最值问题 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设函数，其中，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由恒成立，可得恒成立， 当，即时，恒成立，故得； 当时，即时，显然不等式恒成立； 当时，即时，恒成立，故得. 综上分析，可得. 因，则，当且仅当时等号成立， 则， 即的最小值是. 故选：A. 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知和是函数图象上的两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知和是函数图象上的两点， 可得：，，由于， 因此，当且仅当，即时等号成立. 得：. 故选：D 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 是正实数，若函数 的图象与 的图象相切，则 的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由求导得， 设切点为，则， 由① ③ 联立可得代入② ，可得，又， 故，当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值为. 故选：B. 4．（24-25高二下·云南丽江·期末）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 5．（25-26高三上·安徽·阶段练习·多选）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为对数函数在时，值域为R，所以当时，，所以A错误； 因为指数函数在时，值域为，所以，当且仅当，即时，等式成立，所以B正确； 函数定义域为，则， 令，即，解得，所以在上函数单调递增，同理可知在上函数单调递减， 当时，，当时，，所以函数在定义域上的最小值为4，所以C正确； 已知，在时，， 根据基本不等式，当且仅当，即时成立，因为，所以等号不能成立，D错误； 故选：BC. 6．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 7．（24-25高三下·山东·阶段练习）设函数，其中，若，求的最小值 ． 【答案】5 【详解】令， 因为的零点为， 可知的零点为，的零点为， 又因为，则，， 若，即，则， 可知的零点与的零点相同， 则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 8．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. （2）因为. 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为：. 9．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知，（且） (1)求函数的定义域； (2)若，函数的最小值为2，求的值； (3)在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3) 【详解】（1）令，即， 当时，； 当时，； 当时，． （2）当时，， 令， 已知的最小值为2，则有最大值为， 其对称轴为， 则，解得． （3）由题可知，使得成立， 令为减函数， 则，， 即，使得成立，即， 因为，故， 令， 当且仅当，即时成立， 所以，故 10．（2025·四川自贡·三模）函数 (1)求的单调区间； (2)设，证明：； (3)若，，比较与2的大小，并说明理由. 【答案】(1)减区间为，无增区间 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）函数，， 所以的单调递减区间为，无增区间. （2）由（1）知，，，， 不妨令，，， ， ， . （3）， 由，， ， 由，，， ， ，. . 11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的a，，，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，，，所以，则， 又，当且仅当时取等号， 所以； （2）证明：先证，则， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 又，所以当时，， 当，则，所以， 同理，当，则也成立； 综上，对一切的a，，，都有； （3）证明：如图，    设，，其中， 由（2）知，若，，则， 令，，得， ， 所以①， 将和相减，得， ，将代入①， 所以，即 考点四 利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题 1．（2025·江西·模拟预测）已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】设切点为，所以，所以直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以， 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】圆：和圆：两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：， 又点在两圆的公共弦上，即， 则 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为 故选：D. 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 在中，， 所以，得， 所以， 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又， 所以. 故选：C 5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 6．（2025·湖北襄阳·模拟预测·多选）若双曲线：的左，右焦点分别为，，过C的右支上一点P作圆的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的面积为8 B．若Q为圆上的一动点，则的最小值为3 C．的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】圆的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A正确； 对于B，由双曲线的定义可得， 当P，，三点共线时取等号，故B正确； 对于C， ， 当时取等号，但，所以取不到等号，故C错误； 对于D，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，最小，所以， 所以四边形面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 9．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为． (1)求双曲线的离心率； (2)是双曲线上的一个动点，过作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）联立方程组得， 所以，且，故． 因此，双曲线的离心率为． （2） 由（1）知双曲线的两条渐近线方程为和，两条渐近线互相垂直，所以四边形为矩形． 设，有，则， 所以四边形周长为， 当，即时等号成立． 故四边形周长的最小值为4． 10．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过点的直线交E于两点，当轴时，． (1)求E的标准方程； (2)设点O为坐标原点，为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线交x轴y轴分别于点，且当点P与点A重合时，的面积最小． （ⅰ）求点A的坐标； （ⅱ）记的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【详解】（1）由过点的直线交E于两点，当轴时，， 可知， 又因为，所以， 即， 所以E的标准方程为． （2）（i）易得． 所以点S的坐标为，点T的坐标为．所以的面积为， 又因为，当且仅当时取等号，所以， 故点A的坐标为． （ⅱ）当直线的斜率为0时，直线方程为， 不妨设，点， 由，即，得，由， 即，得，故． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 点，点，点． 联立，得， 所以． 因为， 由，得，即． 又因为， 由，得， 注意到，且， 代入上式得， 所以， 这等价于， 所以． 故， 设，则，又，所以， 所以，当时，， 当时，， 由，当且仅当时等号成立， 即，所以， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 综上所述，点H的横坐标的最小值为． 11．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点． (1)求椭圆的标准方程． (2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． (3)设的面积与的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意可得：，解得，， 所以椭圆的标准方程 （2）    易得，，设，， 则， 所以 得，， 同理可得， 则. （3）由（2）易得 由，得 因为所以，解得或(舍去)， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 12．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2)（i）（ii） 【详解】（1）设的半焦距为. 因为，所以， 由题可知的实轴长为2a，虚轴长为2b， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为8. （2）（i）设的内切圆分别与相切于点M，N，如图. 由切线长定理可知， 因为， 所以 ， 即 所以， 则的方程为； （ii）如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为与圆分别相切于点. 由切线长定理可得， 因为，所以， 所以是的右顶点. 因为轴，所以点的横坐标为1， 同理可求得点的横坐标也为1， 设直线PQ的倾斜角为，则. 在Rt，Rt中，有. 易知， 设，则，则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为， 所以在区间上的值域是. 故的取值范围是. 考点五 基本不等式的实际应用 1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】A 【详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 2．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 3．（24-25高二下·广西南宁·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（    ） A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关 【答案】A 【详解】设天平左臂长为，右臂长为 第一次称重：左盘放砝码，右盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得：​ 第二次称重：右盘放砝码，左盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得 两次黄金总质量为： 因为，由基本不等式（当且仅当时取等号），所以： 因此，顾客得到的黄金实际克数大于克 故选：A. 4．（24-25高二下·河北保定·期末）若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高度为， 所以， ， 所以，即 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 5．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第 种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是 ． 【答案】 二 ，（或者） 【详解】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济； 不等关系是：，，等号成立时. 故答案为：二；， 6．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为 m3． 【答案】36 【详解】设仓库长为m，高为m， 则， 即，其中， 因为， 即, 所以，当且仅当m时取等号， 所以仓库的储物量， 即仓库的储物量的最大值为. 故答案为：36. 7．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 8．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．    (1)当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？ (2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值． 【答案】(1) (2)8米 【详解】（1）在中，由正弦定理知，即， 因为，，所以， 解得，因为，所以， 此时，因为，所有点在矩形内，捕捉成功． （2）在中，由余弦定理知， 故， 整理得， 即，当且仅当时等号成立，此时， ，点在矩形内，捕捉成功． 故机器狗与足球运动的总路程的最大值为米． 9．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有学生4000名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照个人进行分组，将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立. (1)若，记每人血样平均化验次数为，当取何值时，的数学期望最小； (2)若，设每人血样单独化验一次费用5元，个人混合化验一次费用共元.求当取何值时，每人血样平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用. 参考数据及公式：，. 【答案】(1) (2)，元 【详解】（1）每人血样平均化验次数为， 若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则， 所以，， 则 . 令，，即， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，且，， 所以当时，取得最小值，为. （2）设每组人，每组化验总费用为元， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则， 且，， 所以， 则每人血样化验的费用为 ， 当且仅当，即时取等号， 即个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小， 此时化验总费用为（元）． 10．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 【答案】(1)当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时 (2) 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，因为， 所以当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时. （2）当时，由，解得，当时，满足题意，即； 当时，由及， 可得， 即，解得，即. 故汽车的平均速度应在范围内. 11．（24-25高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，． (1)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线的长度平方成正比，比例系数为，而总收益与成正比，比例系数为（其中，，）.若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】(1)验证见解析， (2) (3)， 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 即． 所以无论多长，． （2）， ， 则， 由（1）知，， 即，代入上式， 得， 配方得，当时， 取到最大值为． （3）设，净收益为，则， 由（1）知，， 则且． 由（2）知， 所以， 令，（），则， 所以，即当时， 所以． 12．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)应选择方案二，理由见解析 【详解】（1）记选择方案二学生的得分为， ， ，当且仅当时取等， 此时满分概率为； （2）在方案一中，记A类题得分为，B类题得分为，选择方案一学生得分为， ， ， 由题可知可能的取值为0、25、50、75、100， ， ， 的分布列为 Z 0 25 50 75 100 P （3）应选择方案二，理由如下： 方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件， 由可得，解得， ， 故， 其中， ， 所以 ， 所以，应选择方案二； 方法二：由可得，解得， 若选择方案一，学生得分可能的取值分别是0、25、50、75、100， ， ， ， 所以 ， 若选择方案二，学生得分可能的取值分别是0、50、100， 其中， ， 所以 ， 所以 ， 所以，应选择方案二. 2 学科网（北京）股份有限公司 $