专题20.1 二次根式及其性质（8大题型+能力训练）-2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义（沪教版2024）

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.1 二次根式及其性质 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；通常把形如的式子也叫做二次根式， 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型01：二次根式的识别 【例1】若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型02：二次根式有意义的条件 【例2】代数式中的取值范围为_______． 【跟踪训练】 1.函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 3.求使下列二次根式有意义的实数的取值范围． （1）； （2）． 题型03：二次根式的非负性 【例3】已知实数、满足，求的平方根． 【例4】 已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【例5】若z适合，求z的值． 【跟踪训练】 1．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 2.若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值． 3.若、是实数，且，化简： 4.已知，求的值． 题型04 利用二次根式的性质化简求值 【例6】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【例7】当时，代数式的值是 ． 【例8】把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【例9】将根号外的因式移到根号内： 【跟踪训练】 1.化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．若实数满足，则 ． 3．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）将根号外的因式移到根号内： 题型05：根据二次根式的化简结果求参数范围 【例10】能使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例11】若代数式＝2成立，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 2．若，则b满足的条件是( ) 3．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型06：利用数轴和二次根式的性质进行化简 【例12】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【跟踪训练】 1.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣＝_____． 2.已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示： 则化简的结果是__________． 题型07：根据三角形的三边关系进行二次根式化简 【例13】在△中，是三角形的三边，化简． 【跟踪训练】 1.在△中，为三边，且满足，求最大边的取值范围． 2. 分别是三角形三边的长，化简． 题型08： 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 【例14】化简 ． 【例15】化简二次根式：= ． 【例16】若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【跟踪训练】 1.二次根式化简的结果为______． 2.化简（m-n__________________． 3.已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　） A．a B．a C．﹣a D．﹣a 4.已知a＜0，那么可化简为（　　） A．2b B．﹣ C．﹣ D． 5.已知xy＜0，化简二次根式的值是（　　） A． B． C． D． 6.化简：（a＜0）＝　　 ． 7.化简：＝　　 ． 8.已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 题型09：复合二次根式化简求值 【例17】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 【跟踪训练】 1.有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使，并且，那么将变成开方，从而将化简．例如：化简 因为 所以 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 题型10：规律探究与阅读理解问题 【例18】判断以下列各式是否成立： ；；． 类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明． 【例19】阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 一、选择题 1.（2023秋上海市实验学校期中）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024秋·上海闵行区·八年级期中）若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 3．（2024秋上海市进才实验中学校考阶段练习）若，则实数x的范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋大同中学八年级期中）当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 5．（2023上海市民办新竹园中学八年级月考）下列各式中，正确的数有几个（ ） ①=，②=a，③=，④=x-2 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 8．（22-23八年级上·上海青浦·期末）化简： ． 9．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）当时，化简 ． 10．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）化简： 11．（2024秋·上海宝山·八年级统考期末）如果，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 13．（2024秋·上海奉贤·八年级校联考期中）若＝1﹣2x，则x的取值范围是 ． 14.（2024西南模范中学八年级期中）设x，y均为实数，且，则的值为 ． 15．（2023秋·上海·八年级专题练习）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ． 16．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 17．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）化简： ． 18.（2024秋位育中学八年级期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 三、解答题 19.（2024上海八年级课时作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)． 20．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）化简：． 21．（2023·上海·八年级假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)；(2)；(3)． 22．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）观察下列各式： …………① …………② …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律___________（为正整数）； (2)计算___________； (3)如果，那么___________． 23．（2024西南模范中学八年级期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 24．（24-25上海实验西校八年级期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题20.1 二次根式及其性质 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；通常把形如的式子也叫做二次根式， 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型01：二次根式的识别 【例1】若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次根式的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【解析】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意； B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； C、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； D、x为任意实数，是二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 【跟踪训练】 1．给出下列各式：①；②6；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项判断即可． 【解析】解：， 是二次根式，故①符合题意； 6不是二次根式，故②不符合题意； ， 不是二次根式，故③不符合题意； ， ， 是二次根式，故④符合题意； ， 是二次根式，故⑤符合题意； 是三次根式，故⑥不符合题意； 综上所述，二次根式有个， 故选：B． 2.在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 题型02：二次根式有意义的条件 【例2】代数式中的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 解：代数式有意义，则3+x≥0且， 解得：且， 故答案为：且． 【跟踪训练】 1.函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解． 【解析】解：根据题意可得，，且， ∴， 故选：． 2.设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）； （2） ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由； （2）由． 【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义． 3.求使下列二次根式有意义的实数的取值范围． （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）且． 【解析】（1）由，得或； （2）由，得且． 题型03：二次根式的非负性 【例3】已知实数、满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定的值，进而求得的值，代入代数式，求得代数式的值，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 又∵分母中， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， ∵的的平方根为， ∴的平方根为， 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的算术平方根，求得的值是解题的关键． 【例4】 已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【答案】A 【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可； 【详解】解：∵∴， ∴， 联立方程组得：解得： 代入得： 故选A； 【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键． 【例5】若z适合，求z的值． 【答案】3358． 【解析】 ， ∴． 又 ， ， ． ． 即， 解得：． 【跟踪训练】 1．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2.若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值． 【答案】 【解析】 解：要使y有意义，必须，即∴　x＝．当x＝时，y＝． ∴　原式＝ 3.若、是实数，且，化简： 【答案】． 【解析】根据二次根式的非负性，可知，由此，即，此时， 原式=． 4.已知，求的值． 【答案】9． 【解析】由题意得：， ． ． 题型04 利用二次根式的性质化简求值 【例6】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8） ； （9）． 【答案】（1）18；（2）；（3）；（4）0；（5）14；（6）；（7）； （8）；（9）． 【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方． 【总结】考查二次根式的性质2． 【例7】当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【例8】把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 【例9】将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 【跟踪训练】 1.化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）由二次根式非负性，可得， 原式=； （2）由二次根式非负性，结合，可得， 原式=； （3）原式=； （4）由二次根式非负性，即有，可得， 原式=． 【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题． 2．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的取值范围是解题关键．直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：， ， 解得：， 故 ． 故答案为： 3．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 题型05：根据二次根式的化简结果求参数范围 【例10】能使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数为非负数，分母不等于0列出不等式组． 【例11】若代数式＝2成立，求的取值范围． 【答案】． 【解析】，由此进行分类讨论： ①当时，原式=； ②当时，原式=； ③当时，原式=； 综上所述，可知的取值范围是． 【跟踪训练】 1.．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【答案】B 【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案. 【解析】∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数， 故a应满足的条件是， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大于等于零的条件. 2．若，则b满足的条件是( ) 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 3．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【解析】解：， ， ， 解得 故选：C． 题型06：利用数轴和二次根式的性质进行化简 【例12】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 【跟踪训练】 1.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣＝_____． 【答案】﹣b 【解析】 解：由数轴可得：，， 故原式 ． 故答案为：． 2.已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示： 则化简的结果是__________． 【答案】． 【解析】根据点在数轴上的位置，可得，由此，，，原式=． 题型07：根据三角形的三边关系进行二次根式化简 【例13】在△中，是三角形的三边，化简． 【答案】． 【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知，， 原式= ． 【跟踪训练】 1.在△中，为三边，且满足，求最大边的取值范围． 【答案】． 【解析】根据题意，即为，由此，，解得：，， 根据三角形三边关系，且为最大边，可知，即． 2. 分别是三角形三边的长，化简． （2）根据三角形三边关系，可知，，， 原式= 题型08： 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 【例14】化简 ． 【答案】-2x 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：， 故答案为：-2x． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号． 【例15】化简二次根式：= ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 【例16】若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【跟踪训练】 1.二次根式化简的结果为______． 【答案】 【解析】 解：根据题意得 ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 2.化简（m-n__________________． 【答案】 【解析】 解： = =， 故答案为：． 3.已知a＜0，则二次根式化简后的结果为（　　） A．a B．a C．﹣a D．﹣a 【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0， ∴a＜0，b≤0， ∴＝﹣a． 故选：D． 4.已知a＜0，那么可化简为（　　） A．2b B．﹣ C．﹣ D． 【解答】解：∵a＜0，﹣＞0， ∴b＞0， ∴原式＝， 故选：D． 5.已知xy＜0，化简二次根式的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0． 因为y2＞0， 所以﹣x≥0， 所以x≤0， 又因为xy＜0， 所以x＜0，y＞0， 所以＝＝． 故选：C． 6.化简：（a＜0）＝　　 ． 【解答】解：原式＝． 故答案为：． 7.化简：＝　　 ． 【解答】解：∵﹣a4b3≥0， ∴b≤0， ∴＝﹣a2b， 故答案为：﹣a2b． 8.已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 【答案】2 【分析】先用夹逼法估算，得出a的值，根据完全平方公式得出，再把a的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，则， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，分母有理数，解题的关键是正确得出a的值，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 题型09：复合二次根式化简求值 【例17】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 解：（1） = =； = =； 故答案为：，； （2）原式= = = = 【跟踪训练】 1.有这样一类题目：化简，如果你能找到两个数m、n，使，并且，那么将变成开方，从而将化简．例如：化简 因为 所以 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），利用完全平方公式把变形为，然后化简即可； 对于（2），利用完全平方公式把变形为，然后化简即可． 【详解】（1）原式= = = =； （2）原式= = = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式． 2．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 题型10：规律探究与阅读理解问题 【例18】判断以下列各式是否成立： ；；． 类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明． 【答案】以上都成立，，，（n＞1），证明见解析 【解析】 解：； ； ． 所以以上都成立． 举例如下：，， 规律是： （n＞1） 证明：设n为大于1的正整数， 左边右边， 所以成立， 【例19】阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【解析】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 一、选择题 1.（2023秋上海市实验学校期中）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 2．（2024秋·上海闵行区·八年级期中）若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 【答案】D 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 3．（2024秋上海市进才实验中学校考阶段练习）若，则实数x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 且， ， 4．（2023秋大同中学八年级期中）当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 5．（2023上海市民办新竹园中学八年级月考）下列各式中，正确的数有几个（ ） ①=，②=a，③=，④=x-2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 解：①=，故正确； ②，故错误； ③=，故正确； ④，故错误； 故选B． 6．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案． 【详解】解：， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 2、 填空题 7．（23-24八年级上·上海长宁·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可化简得出答案．本题主要考查二次根式的性质与化简，关键是熟练掌握二次根式的性质． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（22-23八年级上·上海青浦·期末）化简： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 9．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）当时，化简 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 10．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）化简： 【答案】 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：要使该二次根式有意义，则有 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简． 11．（2024秋·上海宝山·八年级统考期末）如果，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的非负性求出x，进而得到y的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数以及分母不为0，据此即可列式计算作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得 故答案为： 13．（2024秋·上海奉贤·八年级校联考期中）若＝1﹣2x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由二次根式的性质可得：， ∵|2x-1|=1-2x， ∴2x-1≤0， ∴， 14.（2024西南模范中学八年级期中）设x，y均为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义求出和的值，然后再将和的值代入要求得式子即可； 【详解】解：由二次根式的性质可得： ， ， 将代入中得：， ， 将，代入上式得：原式． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根式有意义的条件的运用是解题关键． 15．（2023秋·上海·八年级专题练习）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵等式在实数范围内成立， ∴，， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， 把代入已知条件，则， ∴， ∴原式． 16．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，然后两边同时平方求出x的值即可． 【详解】解：设， 则 ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）化简： ． 【答案】2 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴原式 ， 18.（2024秋位育中学八年级期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设 ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键． 三、解答题 19.（2024上海八年级课时作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)且 【分析】（1）根据分式及二次根式的定义得出且，解不等式即可； （2）根据分式及二次根式的定义得出，解不等式即可； （3）根据分式及二次根式的定义得出，且，解不等式即可； 【详解】（1）解：， 即， 故或， 解得或； （2）解：且， 即得， 解得； （3）解：由 解得且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 20．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）化简：． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件得， ∴ ． 21．（2023·上海·八年级假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)或 (2) (3)且 【详解】（1）解：， 即， 故或， 解得或； （2）解：且， 即得， 解得； （3）解：由 解得且． 22．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）观察下列各式： …………① …………② …………③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律___________（为正整数）； (2)计算___________； (3)如果，那么___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答； （2）利用（1）的规律解答即可； （3）利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ，…… ∴． 故答案为：； （2）解：原式= ． 故答案为：； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 经检验得是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算和化简，读懂题意，找出规律是解题的关键． 23．（2024西南模范中学八年级期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 24．（24-25上海实验西校八年级期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 1 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