第01讲 二次根式的概念和性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪教版2024）

第01讲 二次根式的概念和性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式有意义的条件 典型例题二 求二次根式的值 典型例题三 同类二次根式 典型例题四 二次根式中的参数 典型例题五 复合二次根式的化简 典型例题六 最简二次根式的判断 典型例题七 化为最简二次根式 典型例题八 利用二次根式的性质化简 典型例题九 已知最简二次根式求参数 知识点01二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点04 二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典型例题一 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由二次根式有意义的条件可得，即可得． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∴x的取值范围是． 故选C． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）二次根式中字母的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如果代数式在实数范围内有意义，求的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵且，， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知为奇数，且满足等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值．本题要先根据已知的等式，求出的取值范围，已知为奇数，可求出的值．然后将的值代入所求的式子中进行求解即可 【详解】解：∵ 解得： x为奇数， 原式 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数满足，求的值． 【答案】5 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， ∴且 由得到 ∴ 解得， ∴， ∴ 【典型例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故一定是二次根式，符合题意； 故选D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可． 【详解】解：∵+=0且≥0，≥0， ∴=0，=0， ∴a=2020，b=-2021， ∴=， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键． 【例3】（2025·上海金山·模拟预测）二次根式：一般地，形如（ ）的式子叫做二次根式，其中，叫作 数． 【答案】 被开方 【分析】本题考查了二次根式的定义及对二次根号的认识，根据二次根式的定义即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键. 【详解】解：一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中，叫作被开方数， 故答案为：，被开方． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里． 【答案】小明的错误在最后一步 【分析】根据算术平方根为非负数判断即可． 【详解】， 故小明的错误在最后一步． 【点睛】本题考查二次根式的求值，理解算术平方根的非负性是解答的关键． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 2．（2024·上海长宁·模拟预测）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： （1） （2）（结果用正整数指数幂表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）根据积的乘方、同底数幂乘法的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、二次根式、积的乘方、同底数幂乘法的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、积的乘方、同底数幂乘法的性质，从而完成求解． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【典型例题三 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义成为解题的关键． 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 故选：C． 【例2】（2025八年级上·上海虹口·模拟预测）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 【答案】4或15 【分析】本题考查同类二次根式定义、解一元二次方程等知识，先由与是同类二次根式，得到，其中为实数，且，任意取两个值即可得到答案，熟记同类二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：与是同类二次根式， ，其中为实数，且 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的值可以是4或15（答案不唯一）， 故答案为：4或15． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （2）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，化简各组二次根式后，根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； （2）解：∵， ∴． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【典型例题四 二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) ∴n的最小值是2． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ． 【答案】6 【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可． 【详解】解：， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 【答案】(1)的平方根是； (2) 【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解； （2）代入，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：代入，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 【典型例题六 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列各式，，，，是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征． 根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，符合题意； ，被开方数含开方开的尽的因数，不符合题意； 被开方数含分母，不符合题意； 被开方数含分母，不符合题意； 综上：是最简二次根式的有1个， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式为最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，故①，②，⑤，⑦都不是最简二次根式，③，④，⑥，都是最简二次根式，共3个； 故选B． 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可，解题的关键是掌握在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【详解】解：，，为最简二次根式，有3个， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 3．（24-25八年级·上海·阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【典型例题七 化为最简二次根式】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义“如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式”是解题关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 设（为正整数），则，得到，当时，此时，符合题意． 【详解】解：设（为正整数），则， ， 当时，，此时， 可以与合并， 的一个值可以为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 1（24-25八年级上·上海静安·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握，根据二次根式有意义的条件得到，而，则，再进行化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算二次根式的除法，再将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （2）利用二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类二次根式； （3）先化为最简二次根式，分母有理化，再计算二次根式的加减法． 【详解】（1）解：原式===； （2）原式===； （3）原式==． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、最简二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，分别求和的值； (3)若，，分别求a，b的值． 【答案】(1) (2)6； (3)或 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，因式分解的应用，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据得到的值，进而得到的值，据此可得答案； （3）把两个已知条件式相加得到，则，再由讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，当时，； 综上所述，或． 【典型例题八 利用二次根式的性质化简】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）二次根式可化简成（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式性质求解即可，熟练运用二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，先由数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：A 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下面是按一定规律排列的一列数；第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．将每个数都写成算术平方根的形式，即可得到被开方数都是3的整数倍． 【详解】解：按一定规律排列的一列数：即即即，故第个数为，所以第10个数是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质结合题意计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证； ，验证． (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键． （1）利用已知，观察，，可得的表达式； （2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律，再证明即可； 【详解】（1）解：， 验证：； （2）解：归纳可得：， 证明：； 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）（1）观察： ； ； ．（用“”“”“”填空．） （2）猜想： 当，时，比较式子大小： ；当 m，n 满足 时，； （3）应用：请利用上述结论解决下面问题：园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（足够长），已知花圃面积为 ，问当花圃的长、宽分别为多少米时，所用的篱笆长度最小，并求出最小值． 【答案】（1）；； （2）； （3）花圃的长、宽分别为20、10米时，所用的篱笆长度最小，最小值为40米 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行计算，比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：；；． （2）理由如下： 当，时， ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，，即； 故答案为：，； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则，，， 根据（2）的结论可得：． 当时，篱笆至少需要40米， 则， ∴，． 即：花圃的长、宽分别为20、10米时，所用的篱笆长度最小，最小值为40米． 【典型例题九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∵b的算术平方根为2，c是8的立方根， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 【答案】C 【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】∵最简二次根式与2可以合并成一项， ∴， 解得：a＝1，b＝0， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键. 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：，，， 与是同类二次根式，可以合并． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式． 【详解】解：是二次根式，符合题意， 是三次根式，不合题意， 是二次根式，符合题意， 不是二次根式，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答． 【详解】∵是正整数，且， ∴是完全平方数， ∴，即：， ∴实数a的最大整数值为7， 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 【答案】A 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵①，②， ∴③，以上推导错误的一步是：①， 应该为：∵，而， ∴③， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键． 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解． 【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字， ∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是， ∴从左向右数第个数是； 故选A． 6．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据得出，求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】④⑤． 【分析】各式化简得到结果，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：， ①； ②； ③； ④； ⑤，， 所以不能与合并的是④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键． 8．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数满足，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简以及方程的变形. 由二次根式有意义的条件可得出a的范围为，对方程去绝对值，整理得出. 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴原方程可化为， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 10．（24-25八年级上·上海宝山·期末）材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： “余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为 ． 【答案】 不是， ， 【分析】（1）根据材料提示计算“余一数”的方法即可求解； （2）设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为，根据数量关系分别求出的范围，综合，是有理数，进行试根即可求解． 【详解】解：（1）， ∴不是“余一数”， 故答案为：不是； （2）四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和， ∴设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为， ∴，解得，， ∴正整数表示为：，整理得，， ∵正整数是“余一数”，即个位数的差为， ∴， ∴或或或， ∴或或或， ①当时，即千位的数字为， ∴个位的数值为， ∵，且， ∴或，即百位的数字为或，则十位的数值为或， ∴正整数为或， ∵，是有理数， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ∴不符合题意，舍去； ②当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或，对应的个位的数字为或或或， ∴正整数为或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意； ③当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或或或，对应的个位的数字为或或或或或， ∴正整数为或或或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意；是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ④当时，即千位的数字为， ∴个位的数字为，不符合题意，舍去； 综上所述，符合题意的数字为或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，二次根式的性质化简，无理数的概念等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)（1） (2) (3) (4) (5) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的除法法则以及二次根式的性质解决此题． （1），再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 12．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 13．（24-25八年级·上海·假期作业）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_________； (2)当时，求的最小值： (3)已知矩形的面积为12，求周长的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题干的结论进行计算即可． （2）把分式重新拆解，再仿照题干的结论进行计算即可． （3）设矩形的长为a，则矩形的宽为，再根据矩形的周长表达式，并利用题干的结论进行分析计算即可． 【详解】（1）当时，， 当时，的最小值是2； 故答案为：2； （2）当时， ， 即y的最小值为． （3）设矩形的长为a，因为矩形的面积为12，则矩形的宽为， ∴矩形的周长为：； ∵， ∴矩形的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式乘法运算与化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的结论进行解答． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 15．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式的概念和性质（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 二次根式有意义的条件 典型例题二 求二次根式的值 典型例题三 同类二次根式 典型例题四 二次根式中的参数 典型例题五 复合二次根式的化简 典型例题六 最简二次根式的判断 典型例题七 化为最简二次根式 典型例题八 利用二次根式的性质化简 典型例题九 已知最简二次根式求参数 知识点01二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点04 二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典型例题一 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级上·上海金山·期中）要使二次根式有意义，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）二次根式中字母的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海宝山·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如果代数式在实数范围内有意义，求的取值范围． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知为奇数，且满足等式，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数满足，求的值． 【典型例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 【例3】（2025·上海金山·模拟预测）二次根式：一般地，形如（ ）的式子叫做二次根式，其中，叫作 数． 【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里． 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 2．（2024·上海长宁·模拟预测）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）计算： （1） （2）（结果用正整数指数幂表示） 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【典型例题三 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（2025八年级上·上海虹口·模拟预测）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 1．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 4．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【典型例题四 二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 1．（24-25八年级上·上海虹口·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知有理数、满足等式． (1)求的平方根； (2)计算：． 4．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·上海黄浦·阶段练习）已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【例3】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【例4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 1．（24-25八年级上·上海长宁·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【典型例题六 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列各式，，，，是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中，最简二次根式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）在根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 3．（24-25八年级·上海·阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【典型例题七 化为最简二次根式】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海宝山·期中）若把化成最简二次根式后，可以与进行合并，则的一个值可以为 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 1（24-25八年级上·上海静安·期末）若，把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，分别求和的值； (3)若，，分别求a，b的值． 【典型例题八 利用二次根式的性质化简】 【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）二次根式可化简成（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海松江·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）下面是按一定规律排列的一列数；第10个数是 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证； ，验证． (1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）（1）观察： ； ； ．（用“”“”“”填空．） （2）猜想： 当，时，比较式子大小： ；当 m，n 满足 时，； （3）应用：请利用上述结论解决下面问题：园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（足够长），已知花圃面积为 ，问当花圃的长、宽分别为多少米时，所用的篱笆长度最小，并求出最小值． 【典型例题九 已知最简二次根式求参数】 【例1】（24-25八年级上·上海闵行·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【例4】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海金山·期末）在式子中，二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 4．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是(　　) A．① B．② C．③ D．没有错误 5．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）若，且，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列二次根式，不能与合并的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 8．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）已知实数满足，则的值 ． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 10．（24-25八年级上·上海宝山·期末）材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： “余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为 ． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1) (2) (3) (4) (5) 12．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 13．（24-25八年级·上海·假期作业）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_________； (2)当时，求的最小值： (3)已知矩形的面积为12，求周长的最小值． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$