第10讲 直线的两点式与截距式方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的两点式与截距式方程，系统构建从两点确定直线到截距定义的逻辑链条，衔接点斜式推导与中点公式应用，形成完整的直线方程知识体系，为后续解析几何学习奠定坚实基础。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出数学眼光中的几何直观与空间观念，如例4通过三角形顶点坐标求中线方程，引导学生从图形位置关系抽象出代数表达；强化数学思维中的推理能力，如例8多选题设置不同截距情况分类讨论，训练严谨逻辑；体现数学语言的简洁性与准确性，如例9用“截距互为相反数”精准描述条件并转化为方程。课中便于教师分层讲解，课后助力学生查漏补缺，提升解题策略意识与建模能力。

第10讲直线的两，点式与截距式方程知识再现 1.直线的两点式方程 ()直线的两点式方程的定义： 设直线1经过两点P(xW,B()(,),则方程二=二叫作直线 y2一yx2-x1 1的两点式方程. (2)两，点式方程的推导 如果直线1经过两点(x,y)，(x2,y,)(x,≠x),则直线1的斜率k=当-出.由直 x2-x 线的点斜式方程得y-片=上(x-x).当片+，时，方程可以写成-业=X- X2-X1 y2-y1 X2-x P(1,y1 0 下2，y2) (3)两，点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点P(x,),P(x2,2),且x1x2,y2时，可以直接使用该公式 求直线方程 ②当x=x2,片时，直线方程为x=x(或x=2) ③当xx2,片=y2时，直线方程为y=M(或y=y2), 2.直线的截距式方程 (①)直线的截距式方程的定义： 设直线1在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且a≠0，b≠0，则方程 。+若=1叫作直线1的藏距式方程 y B(0,b) A(a,0) x (②)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线1在两条坐标轴上的截距非零，所以截距 式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行（或重合）的直线。 (③)截距式方程的使用方法： 第1页共8页 ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直 线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx,利用 直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程 三.中点坐标公式 若点P,D的坐标分别为(x,y1),（x2,y2),且线段PP的中点M的坐标为(x,y),则 x=舌+3 2 y=+当 2 题型一：直线的两点式方程 例1.已知A(1,2),B(-1,1),则直线AB的两点式方程为一· 第2页共8页 图2已知直线1的两点式方程为0了，则1的针率为二 例3.经过两点x,),x2,y2的直线方程都可以表示为() A.x-五=y-y B.-五=y-h x2-x1 y2-y1 x-x2 y1-y2 C.（y-y)(x2-x)=(x-x)(y2-y) D.y-y=h-当 x-x x2-X 例4.已知三角形ABC的顶，点坐标为A-1,5)，,B(-2,-1,C(4,3),M是BC边上的中，点 (I)求AB边所在的直线方程； (②)求中线AM的方程. 第3页共8页 题型二：直线的截距式方程 例5.在x轴、y轴上的截距分别是-2、-3的直线方程为（) A+皆1R.首 C.3-2=1 D.+芳= 第4页共8页 例6直线行吉=1的纵藏运为(） A.-2 c D.3 例7.下列说法正确的是() A.直线y=ax-2a+4a∈R必过定，点2,4) B.直线3x-y-1=0在y轴上的截距为1 C.过，点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0 D.直线x+√3y+1=0的倾斜角为120° 第5页共8页 例8.（多选）过，点P(2,)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（) A.x+y-3=0B.x+y+3=0C.x-y-1=0D.x-2y=0 例9.已知直线1过.点P(4,2),若直线1在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线1 的方程是？ 第6页共8页 例10.已知直线☑经过点1,1)，斜率为2. (1)求直线☑的截距式方程 (2)若直线马与☑垂直，且Z,在y轴上的截距相等，求☑的截距式方程. 题型三：直线两点式和截距式的运用 例11.（多选)若直线1经过，点4，-2)，且1与坐标轴围成的三角形面积为2，则1的方程可能 是() A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0 C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0 第7页共8页 例12.若过点P(3,2)的直线I与坐标轴交于A,B两点，围成三角形A0B的面积为16，则符合 条件的直线的条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 例13.已知直线1过点P2,3),根据下列条件分别求出直线1的方程. (1)1在x轴、y轴上的截距互为相反数； (②)1与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小 第8页共8页 第10讲 直线的两点式与截距式方程 知识再现 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. （2）两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． (3)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 三．中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 题型一：直线的两点式方程 例1.已知，，则直线的两点式方程为 ． 解析：当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为，故答案为：. 例2．已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 解析：易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 例3.经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 解析：当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：，对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：.故选：C. 例4.已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 解：（1）解：法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）解：设的坐标为，则由中点坐标公式可得 ，，故， 所以所以，直线方程为. 题型二：直线的截距式方程 例5.在轴、轴上的截距分别是、的直线方程为（     ） A． B． C． D． 解析：因为直线在轴、轴上的截距分别是、， 所以直线方程是，即．故选：D． 例6.直线的纵截距为（    ） A． B． C． D．3 解析：因为直线，令，可得，所以直线的纵截距为。 故选：A. 例7.下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为1 C．过点且垂直于直线的直线方程为 D．直线的倾斜角为120° 解析：对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误； 对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确； 对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误. 故选：AC. 例8.（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得所以或解得或 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，D正确．故选：ACD 例9.已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是？ ． 解析：若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点在l上，得其方程为； 若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为， 将点代入可得，所以l的方程是. 例10.已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 解析：（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即，所以直线的截距式方程为. 题型三：直线两点式和截距式的运用 例11.（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 解析：易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或.故选:CD. 例12.若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意，将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为， 解得或满足题意， 将和分别代入， 解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.故选：D. 例13.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或；；(2) 解析：（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为， 将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为,故直线方程为，即 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $