3.1.2 椭圆的简单几何性质 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型1：椭圆几何性质的应用 【例1.1.】 已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解. 【详解】由条件可知，，，且，解得：. 故选：D 【例1.2.】 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，结合所得，计算即可得，即可得的长轴长. 【详解】由，，且为等边三角形，故，， 即有，有，又， 故，整理得， 故或（小于1，故舍去）， 即，故， 即的长轴长为. 故选：D. 【例1.3.】 椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率， 椭圆的离心率，椭圆的离心率， 显然，所以最接近于圆的椭圆是，B正确. 故选：B 【例1.4.】 (多选)如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： ①；②；③；④.其中正确的式子是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据图象可知、，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】对于①：由图可知，，，故①不正确， 对于②：因为，，，故②正确． 对于③：由可得， 两边平方整理可得，即， 因为，，故③正确； 对于④：由可得，故④不正确． 综上所述：AD错误；BC正确. 故选：BC． 【例1.5.】 （多选）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为4 C．椭圆上存在4个不同的点，使得 D．内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】对A，先根据椭圆的基本量关系求解方程，再根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据可得的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据的面积表达式分析即可. 【详解】对A，由题意，则， 故，解得，故椭圆， 则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为4，故B错误； 对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确； 对D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 【例1.6.】 一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为，点的坐标为或． 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）设动圆圆心为，由条件可得关系，结合椭圆定义判断的轨迹形状及位置，再利用待定系数法求椭圆方程； （2）设，表示，结合关系点在椭圆上，消，求其最小值可得结论. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有 将①②两式相加，得， 所以动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的标准方程为；椭圆的半焦距为， 则，， 所以， 所以， 所以动圆圆心轨迹方程为． （2）根据题意得：设， 因为点在椭圆上，所以，故， 所以， 所以当时，最小值为，此时点的坐标为或． 题型2：求椭圆的离心率或取值范围 · 求椭圆的离心率 【例2.1.】 ①已知椭圆的左焦点为，右顶点，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为 ； ②设分别为椭圆的左顶点，上顶点和右焦点，若，则该椭圆离心率为 ； 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】①利用向量的坐标表示列出、、的等式，进而求出离心率； ②利用勾股定理将、、的等式列出，即可出离心率； 【详解】解：①由轴，故， 设点 因为 所以 即 所以离心率 故椭圆的离心率为. ② 又 即 解得：或（舍去） 所以该椭圆离心率为 【例2.2.】 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆的定义即可得出离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示： 由圆：可知圆心，半径， 显然，且， 因此可得，所以，可得，可得，又， 由余弦定理可得，解得， 再由椭圆的定义可得，即， 因此离心率. 故答案为： 【例2.3.】 椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点，根据题中条件得，则，构建的等量关系即可求离心率. 【详解】设以为边作正三角形与椭圆交于，两点， 则，所以， 由椭圆的定义可得，即， 则离心率. 故选：B. 【例2.4.】 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由，结合两角和的正切公式、直线的斜率与倾斜角的关系，可得到点A的坐标，将其代入椭圆方程，根据椭圆离心率的计算方法求解即可. 【详解】设，,则，设椭圆的焦距为，则， 所以，， 因为，所以，化简得， 所以即，所以或（舍）， ，又因为，所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 【例2.5.】 在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设的内切圆半径为，由，得，可求椭圆的离心率. 【详解】椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点）， 为内切圆圆心，设的内切圆半径为， 则，， 由，得，即， ∴椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：为内切圆圆心，设的内切圆半径为，利用表示出和，结合椭圆的性质和，求得，可得椭圆的离心率. 【例2.6.】 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据题设得到，再结合，得到，即可求解. 【详解】设，则，， 由题有，即，又，则， 所以，得到，所以的离心率为， 故选：A. 【例2.7.】 已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析 【分析】设，根据得，将点代入椭圆方程得，则，由得，代入化简得，即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为. 设，因为，所以， 所以，则，将点代入椭圆方程得，所以， 即，则，由得， 又，所以， 化简得， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B · 求椭圆离心率的取值范围 【例2.8.】 记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【例2.9.】 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据得到，确定，得到离心率范围. 【详解】设，，，则，即， 故，即， ，故，，解得， ，离心率的取值范围为， 故答案为：. 【例2.10.】 已知点，分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据锐角三角形得到，得到，转化为，解得答案. 【详解】，，故，， 是锐角三角形，，即，， 整理得，，两边同时除以，并整理得， 解得或（舍），，故椭圆的离心率的取值范围是， 故选：B 【例2.11.】 已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，又. 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为： 题型3：点与椭圆的位置关系 【例3.1.】 点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】点和椭圆的位置关系 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 【例3.2.】 已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案. 【详解】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 【例3.3.】 已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线与直线的交点在椭圆上 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、点和椭圆的位置关系 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可解答. 【详解】（1）由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）直线与直线的交点在椭圆上，理由如下： 由题可得此时，，，， 则直线，即， 直线，即， 联立，得， 所以直线AD与直线BC的交点坐标为， 因为，满足椭圆的方程， 所以直线与直线的交点在椭圆上. 题型4：直线与椭圆的位置关系 【例4.1.】 （多选）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 【答案】ABCD 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD 【例4.2.】 若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】根据直线和圆的位置关系得出，再结合点与椭圆的位置关系计算判断. 【详解】因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 而，所以点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2． 故答案为：2. 【例4.3.】 已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用椭圆定义求方程、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 题型5：弦长问题 【例5.1.】 已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、根据弦长求参数 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可； （2）分直线l斜率存在和不存在时讨论，当直线l斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得，解得，， ∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论： 当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设直线与椭圆的交点为，， 则，，， 则， 化简得, 解得, ∴直线的方程为． 综上，或. 【例5.2.】 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，的面积是，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程得出，根据韦达定理得出，，由面积建立关于的方程，解出，从而求出. 【详解】 如上图所示，若直线斜率不存在，则与轴重合，三点共线， 不能构成三角形，则直线斜率存在. 因为椭圆方程，则. 根据对称性，不妨设，设直线的方程为，，， 由得， ，，，， 解得， 故． 故答案为：. 【例5.3.】 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【详解】（1）解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. （2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 【例5.4.】 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】(1利用椭圆的定义求解椭圆的方程即可， （2）设直线方程，利用结合韦达定理求解出直线的斜率从而求解出直线的方程得到答案. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以则．     又因为离心率，，所以．     故椭圆的方程为． （2）根据题意，直线的斜率存在，且不为0． 设直线，     令消去得． 令，解得或．    ① 设，， 则，，     又因为直线，     令，则．     同理．     因为，且，所以． 所以 ．     故，解得，满足①式． 所以直线的方程为或． 题型6：“中点弦”问题 【例6.1.】 椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】（曲线内部的线段） 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设，由点差法可得答案. 【详解】如图，设，则 两式相减整理可得：．因， 则，又，则. 结合在椭圆内部，则中点的轨迹方程为（曲线内部的线段）． 故答案为：（曲线内部的线段）． 【例6.2.】 已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】由题意与的中点重合，若且，，结合已知有，，进而有，再应用点差法得到，联立所得各式求参数，即可得直线方程. 【详解】由，易知与的中点重合，若且， 令，则，即， 所以且， 令，则，作差得， 所以， 综上，代入，则，故， 所以，整理得. 故答案为： 【例6.3.】 （多选）已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据离心率和即可求出；利用点差法可求出直线与直线的斜率之积，直线直线的斜率之积，直线直线的斜率之积；由此可求出的值. 【详解】椭圆的离心率为， ∵，∴，则错误； 设，则， 两式相减可得，∴，则错误； 同理可知,,则正确； 又，则正确； 故选：CD．    【例6.4.】 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、由弦中点求弦方程或斜率、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程． （2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解. 【详解】（1）因为，，故， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而，所以． 由题设得，，， 设点，则有，化简可得， 又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为. （2）由（1）知，点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在， 设弦的两端点分别为， 则①，②， 由①②，可得， 依题意，，代入上式，， 故有， 故以为中点的弦所在的直线方程为，即. 题型7：椭圆中的最值问题 【例7.1.】 已知､是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为 ；最小值为 . 【答案】 / / 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，根据椭圆的定义得，由图可知当在直线与椭圆交点上时，取得最值. 【详解】由题意可得为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形， 于是， 而当在直线与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第一象限交点时，有最小值，其最小值为 ； 当在直线与椭圆第三象限交点时，有最大值，其最大值为 . 故答案为：，.    【例7.2.】 已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为 . 【答案】4. 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【解析】过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解. 【详解】由题意，椭圆的右焦点， 设点，则， 则， 过点作垂直直线，垂足为，如图， 则， 所以当三点共线（在线段上）时， . 故答案为：4. 【例7.3.】 （多选）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判断A和B；设椭圆上一点，求得，根据二次函数的性质可求最值，进而判断C和D. 【详解】对于AB，由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距，离心率为，故A不正确，B正确； 对于CD，由圆，得圆心，半径， 设椭圆上任意一点， 则， 令，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，故C正确，D不正确. 故选：BC. 【例7.4.】 （多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据焦点三角形的周长可得，结合可得，，即可求解椭圆方程，进而可判断A，根据为等腰直角三角形，即可判断B，联立两直线方程可得,通过两点斜率公式计算的斜率可判断C，利用三角换元，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】由于，互相平分，故四边形为平行四边形，且周长为，故， 又,故, 将代入椭圆方程可得，解得， 故椭圆方程为，故A错误， 由于平分，是的中点，故, 继而可得,且为等腰直角三角形， 由于，故,则,故B正确， 对于C,，则方程为，直线，联立可得 由于， , 故C错误， 设上任意一点，则其到直线的距离为，其中，故当时，此时距离最大，为，D正确， 故选：BD 【例7.5.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】先根据椭圆的方程得出其左右焦点分别为，、与，．如图，根据平面几何知识知，当取最大值时，经过与的圆与直线 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出，最后利用相似比即可求出答案． 【详解】解：椭圆的左右焦点分别为，、与，． 如图，根据平面几何知识知，当取最大值时，经过与的圆与直线 相切，此时圆心在轴上，坐标为， 在直线中令得的坐标： ， 在三角形和三角形中，， △， ． 故答案为：． 【例7.6.】 已知椭圆的离心率为，且连接椭圆的四个顶点构成的四边形的面积有最小值8，则下列四个点一定在椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设椭圆上的一点为，然后由离心率可得，由基本不等式可得的最小值为，然后可解出，即可得答案. 【详解】设椭圆上的一点为，则， 因为椭圆的离心率为，所以，得， 由于，即，当且仅当时取到等号， 连接椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为， 又面积有最小值8，所以，及，所以， 所以椭圆一定过点． 故选：C 【例7.7.】 （多选）已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的取值范围为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点， 所以存在4个点M，使得，A选项正确； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B选项错误． 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则， 当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误． 对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可知，即，当与重合时，等号成立， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：AD． 【例7.8.】 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点，点P到椭圆上点的距离的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】①设两点间的距离公式表示，转化为二次函数求最值.②设直线的方程，联立直线与椭圆方程，韦达定理求出两根之和，两根之积，因此可以求出两点的横坐标，进而表示出距离，根据二次函数的性质来求最值. 【详解】①设点为椭圆上任意一点，则，因此，当点的坐标为时，取到最大值. ②由题意，设直线方程为，由直线方程与椭圆方程联立得，则，则，设，由与的直线方程联立解得：，同理解得，则，当时，，或，不符合题意，；令，则，所以当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：① ；② 【例7.9.】 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据两点距离可得，结合离心率即可求解的值即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，进而根据，，即可根据三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题意，因为，， 所以 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为 （2）由题意知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，，， 则直线的方程可设为，， 联立，消去y得， 所以， 所以， 所以 同理联立，可得 则的中点， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以面积的最大值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例7.10.】 已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 【例7.11.】 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，其离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左顶点做两条直线，分别与椭圆交于M、N两点，满足，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆中的最值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆过点及离心率，直接计算即可； （2）设直线的方程为，根据求出，根据点到直线距离公式结合二次函数求解最值即可. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，设，，直线的方程为， 由得，， 因为，所以，则， 所以，， 因为，所以，所以， 即， 所以， 则， 所以，解得或（舍）， 所以直线的方程为， 所以点到直线距离， 所以当时，有最大值. 【例7.12.】 已知椭圆过点，，分别为椭圆C的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．条件①：；条件②：离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆C交于MN两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）选择①：直接由解出，再利用点即可求出；选择②：由离心率得，再利用点即可求出； （2）先由直线与圆相切求得，再联立直线和椭圆，表示出面积，令，结合的范围即可求得面积的取值范围． 【详解】（1）选择①： 由题意知：，∵，解得， 又∵，解得，∴椭圆C的方程为：； 选择②： ∵，∴ 又，由两式解得，∴椭圆C的方程为：； （2）圆O的圆心坐标为，半径，由直线与圆相切，得，故， 由消去y，得． 由题意可知， 所以． 设点，，则，， 所以 ． 令，则，， 所以 【例7.13.】 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，表示出，再结合可求出的取值范围； （3）当的斜率存在且时，设的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系和弦长公式表示出，同理表示出，从而可表示出四边形的面积，化简后利用基本不等式可求出其最小值，当的斜率或斜率不存在时，求出四边形的面积，进而可得结果. 【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴， 所以，，所以， 因为在椭圆上，所以， 解得，，所以椭圆方程为； （2），，设，则， 因为， 所以的取值范围为； （3）（ⅰ）当的斜率存在且时，设的方程为，代入椭圆方程， 并化简得. 设，， 而恒成立， 则，， . 因为，所以的斜率为， 同理得. 四边形的面积， 当且仅当时，上式取等号. （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积为 . 综上，四边形的面积的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型1：椭圆几何性质的应用 【例1.1.】 已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【例1.2.】 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 【例1.3.】 椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 (多选)如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： ①；②；③；④.其中正确的式子是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例1.5.】 （多选）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为4 C．椭圆上存在4个不同的点，使得 D．内切圆半径的最大值为 【例1.6.】 一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 题型2：求椭圆的离心率或取值范围 · 求椭圆的离心率 【例2.1.】 ①已知椭圆的左焦点为，右顶点，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为 ； ②设分别为椭圆的左顶点，上顶点和右焦点，若，则该椭圆离心率为 ； 【例2.2.】 已知椭圆，为椭圆的半焦距长，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 【例2.3.】 椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，点在第二象限，且（如图），则椭圆的离心率为 ．    【例2.5.】 在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． · 求椭圆离心率的取值范围 【例2.8.】 记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.9.】 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 【例2.10.】 已知点，分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围 A． B． C． D． 【例2.11.】 已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 题型3：点与椭圆的位置关系 【例3.1.】 点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【例3.2.】 已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【例3.3.】 已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 题型4：直线与椭圆的位置关系 【例4.1.】 （多选）如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 【例4.2.】 若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 【例4.3.】 已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 题型5：弦长问题 【例5.1.】 已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【例5.2.】 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，的面积是，则 ． 【例5.3.】 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【例5.4.】 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 题型6：“中点弦”问题 【例6.1.】 椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 【例6.2.】 已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，，则直线的方程为 ． 【例6.3.】 （多选）已知椭圆的离心率为，△的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0. 为坐标原点，则（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【例6.4.】 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 题型7：椭圆中的最值问题 【例7.1.】 已知､是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为 ；最小值为 . 【例7.2.】 已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为 . 【例7.3.】 （多选）已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【例7.4.】 （多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 【例7.5.】 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在直线上，当取最大值时， ． 【例7.6.】 已知椭圆的离心率为，且连接椭圆的四个顶点构成的四边形的面积有最小值8，则下列四个点一定在椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【例7.7.】 （多选）已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的取值范围为 【例7.8.】 如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点，点P到椭圆上点的距离的最大值为 ；的最小值为 ． 【例7.9.】 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【例7.10.】 已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【例7.11.】 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，其离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左顶点做两条直线，分别与椭圆交于M、N两点，满足，求点到直线距离的最大值. 【例7.12.】 已知椭圆过点，，分别为椭圆C的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．条件①：；条件②：离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与圆相切，且与椭圆C交于MN两点，求面积的取值范围． 【例7.13.】 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $