3.1.2 椭圆的简单几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.1.2 椭圆的简单几何性质 目录 题型1：椭圆几何性质的应用 3 题型2：求椭圆的离心率或取值范围 6  求椭圆的离心率 6  求椭圆离心率的取值范围 9 题型3：点与椭圆的位置关系 9 题型4：直线与椭圆的位置关系 10 题型5：弦长问题 11 题型6：“中点弦”问题 12 题型7：椭圆中的最值问题 14 1. 椭圆的范围 用代数方法研究曲线的范围就是利用方程确定曲线曲线上点的横、纵坐标的取值范围。 由方程，易知，故，即；同理有，即。这说明椭圆位于直线，围成的矩形框里。 2. 椭圆的对称性 在椭圆的标准方程，以－y代y，方程不变。这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P(x，－y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称。同理，以－x代x，方程也不变，这说明如果点P(x，y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P(－x，y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.以－x代x，以－y代y,方程也不变，这说明当点 P(x，y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P(－x，－y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。 综上，坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫作椭圆的中心。 3. 椭圆的顶点与长轴、短轴 在椭圆的标准方程中， 令x=0，得.因此是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0，得，因此是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 (1) 椭圆的焦点必在它的长轴上，是椭圆的半焦距。 (2) 只要以短轴的端点（或）为圆心，以为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点. 4. 椭圆的离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用来表示，即。 (2) 因为a>c>0，所以0<e<1。 (3) 椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度。 e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平;反之，e越接近0,c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为。 5. 椭圆的第二定义 平面内,若动点M与一个定点的距离与它到一条定直线(点不在直线上)的距离的比是 常数(0<e<1),则动点M的轨迹是椭圆。定直线l叫作椭圆的准线。准线与长轴所在的直线垂直。 因为椭圆有两个焦点,所以椭圆有两条准线如下表: 标准方程 图形 准线方程 题型1：椭圆几何性质的应用 方法提炼 (1) 椭圆的性质归纳如下表： 图形 标准方程 范围 且 且 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长=，短轴长= 顶点 焦距 焦点 离心率 e越接近1，则椭圆越扁平；e越接近0，则椭圆越圆。 (2) 椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度为. (3) 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点,到中心距离最大的点是长轴的两个端点。 (4) 设椭圆的中心为,其中一个焦点为,是短轴的一个端点,则。 (5) 椭圆的焦半径 ①焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径。 ②焦半径公式： 已知点在椭圆上，且，分别是左（下）、右（上）焦点， (i).当焦点在轴上时，； (ii).当焦点在轴上时，； ③焦半径的最值：当点在长轴顶点时，焦半径取得最大值(称为“远日点”)或最小值（称为“近日点”）。即焦半径的取值范围是。 【例1.1.】 已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦点坐标. 【例1.2.】 设，是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知水平地面上有一半径为的篮球，其中心为，在与底面所成角度为的斜平行光线束的照射下，其阴影部分为一椭圆（如图）.在平面直角坐标系中，椭圆中心为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为，当分别为且时，其对应的阴影部分的椭圆离心率分别为，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【例1.4.】 已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（    ） A．的最大值为 B．的面积最大时， C．d的取值范围为 D．椭圆上存在点P，使 【例1.6.】 （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 【例1.7.】 已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【例1.8.】 已知椭圆的焦距为，点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设是椭圆上任一点，求的最大值与最小值. 题型2：求椭圆的离心率或取值范围 · 求椭圆的离心率 方法提炼 (1) 离心率，注意； (2) ,而,因而可以转化到中，把解析几何问题与三角函数联系起来,用三角函数的知识解决几何问题。 ①在中，设则。 ②若，则椭圆离心率的取值范围是。 【例2.1.】 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N点．若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． · 求椭圆离心率的取值范围 方法提炼 (1) 解析几何中求参数取值范围,其基本的解题思路有: ①建立目标函数,运用求函数值域的方法求解; ②建立目标变量的不等式,解不等式求解。 (2) 求解时,在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后,借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组,进而求解。 【例2.9.】 ①已知是椭圆的两个焦点，满足的点，总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ； ②若椭圆和圆，（其中为椭圆的半焦距），有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【例2.10.】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【例2.11.】 若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 题型3：点与椭圆的位置关系 方法提炼 (1) 点与椭圆的位置关系有三种：点在椭圆内、点在椭圆上、点在椭圆外。 (2) 点与椭圆位置关系的判断： 点在椭圆内； 点在椭圆上； 点在椭圆外。 【例3.1.】 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【例3.2.】 已知椭圆的两焦点为,点满足, 则的取值范围为 【例3.3.】 已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 题型4：直线与椭圆的位置关系 方法提炼 (1) 直线与椭圆的位置关系有相离、相切、相交三种位置关系。 (2) 直线与椭圆的位置关系： 联立消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程。 ①直线和椭圆相交有两个公共点； ②直线和椭圆相切有且只有一个公共点）； ③直线和椭圆相离无公共点． 【例4.1.】 已知椭圆的两焦点为，，点满足，则直线与椭圆C的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关 【例4.2.】 若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 【例4.3.】 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 题型5：弦长问题 方法提炼 (1) 直线与椭圆的交点间的线段称为椭圆的弦． (2) 求弦长的方法 ①将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则弦长公式为：或。 【例5.1.】 已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 【例5.2.】 已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l：与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程． 【例5.3.】 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． ①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 题型6：“中点弦”问题 方法提炼 解决椭圆中点弦问题的三种方法： (1) 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2) 点差法(最常用的方法)：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将两个交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。 ①直线（不平行于轴）交椭圆（）于两点，设中点为，则有. 证明：设、，则有 由①－②得，∴， ∴，∴. ②直线（不平行于轴）交椭圆（）于两点，设中点为，则有. (3) 中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差可得。 【例6.1.】 已知椭圆. (1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程; (2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程; (3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【例6.2.】 已知直线l与椭圆交于A，B两点，且点是弦AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 【例6.5.】 已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（    ） A．－1 B． C． D． 【例6.6.】 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 题型7：椭圆中的最值问题 方法提炼 (1) 求解形如的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时取得最值。 (2) 求解形如的最值问题,一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围（一般与椭圆的有界性有关）。 (3) 求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决。 (4) 利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围。 (5) 联系我们学过的同角三角函数关系，可将椭圆（）上的点的坐标设为，其中。 【例7.1.】 已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M. （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求使得的值最小时点M的坐标. 【例7.2.】 已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【例7.3.】 已知椭圆的方程椭圆左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点， (1)若，求的面积； (2)在椭圆上找一点P，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离. 【例7.4.】 （多选）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率，是椭圆C的两个焦点．为椭圆C上的动点．则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．若，则 C．存在四个点，使得 D．的最小值为 【例7.5.】 已知椭圆的左、右焦点分别为与，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上任意一点，O为坐标原点.若的最小值为，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【例7.6.】 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为. (1)求的值； (2)为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【例7.7.】 已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; (3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【例7.8.】 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值. 【例7.9.】 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，满足与共线． (1)求椭圆的离心率； (2)当椭圆的焦距为2时，设为椭圆上任意一点，且，求点到原点的最大距离． 【例7.10.】 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)设过点的动直线与相交于，两点，若为坐标原点，当面积最大时，求的方程. 【例7.11.】 设，分别为椭圆：（）的左，右焦点，且，点在椭圆上，直线与椭圆相交于，两点（，不与椭圆的顶点重合）． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率存在，且以为直径的圆经过原点，求证：直线与圆：相切； (3)若直线过点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $53.1.2椭圆的简单几何性质 目录 题型1：椭圆几何性质的应用 3 题型2：求椭圆的离心率或取值范围… 13 ■求椭圆的离心率… 13 ■求椭圆离心率的取值范围. 22 题型3：点与椭圆的位置关系 … 25 题型4：直线与椭圆的位置关系 28 题型5：弦长问题. 31 题型6：“中点弦”问题 35 题型7：椭圆中的最值问题… 44 1 1.椭圆的范围 用代数方法研究曲线的范围就是利用方程确定曲线曲线上点的横、纵坐标的取值范围。 由方程xy2 =1a>>0),易知二=1-≥0，故s1,即 01 a -x≤a≤x;同理有x ≤1，即-x≤b≤r。这说明椭图位于直线x=士a, F O y=±b围成的矩形框里。 2.椭圆的对称性 京+京=1(a>b>0,以-y代，方程不变。这说明当点P,妙在椭 在椭圆的标准方程x+y 圆上时，它关于x轴的对称点Px,一y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称。同理，以一x 代x,方程也不变，这说明如果点Px,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P(一x,y)也 在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称以一x代x,以一y代y,方程也不变，这说明当点P,) 在椭圆上时，它关于原点的对称点P(一x,一y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。 综上，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心。 3.椭圆的顶点与长轴、短轴 在转的标准方程号若=o>6>0中， B2 令x=0,得y=±b.因此B,(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。 A 同理，令y0,得x=±a,因此A(-a,0),A,(a,0)是椭圆与x轴的两个 交点因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个 交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 线段A4,BB,分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 (1)椭圆的焦点E,E必在它的长轴上，c是椭圆的半焦距。 (②)只要以短轴的端点B(或B)为圆心，以a为半径作弧，交 长轴于两点，这两点就是焦点 4.椭圆的离心率 (I)我们把椭圆的焦距与长轴长的比二称为椭圆的离心率，用e来表示，即e=C a (2)因为a>c>0,所以0<e<1。 (3)椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度。 e越接近1，c越接近a,b=√a2-c2就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0， b越接近α，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为x2+y2=a2。 5.椭圆的第二定义 平面内，若动点M与一个定点的距离与它到一条定直线（点不在直线上）的距离的比是 常数e=二(0<e<1),则动点M的轨迹是椭圆。定直线1叫作椭圆的准线。准线与长轴所在的直 线垂直。 因为椭圆有两个焦点，所以椭圆有两条准线如下表： 标准方程 图形 准线方程 23=1(2>b>O) a2+6P=1(a>b>0j c 题型1：椭圆几何性质的应用 方法提炼 (1)椭圆的性质归纳如下表： 3 4 图形 F A, B B F2 A2 标淮方程 x22 a+ =1(a>b>0) =1(a>b>0) 6 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 对称性 关于xy轴、原点对称 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 顶点 A-a,0,A2a,0),B,(0,b),B20,-b A(0,b),A2(0,-b,B,-a,0,B2a,0) 焦距 F,E=2c(c2=a2-b2\ 焦点 F(-c,0),F(c,0) E(0,c),F(0,-c) -(0<e<1) 2 离心率 a e越接近1，则椭圆越扁平；e越接近0，则椭圆越圆。 (2)椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度为2办 (3)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端 点。 (4设椭圆的中心为0，其中一个焦点为乃，B是短轴的一个端点， A F 则B,F=a,e=cos∠0FB2。 B (⑤)椭圆的焦半径 ①焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径。 ②焦半径公式： 4 己知点P在椭圆上，且P(x,),F,F分别是左（下）、右（上）焦点， (①.当焦点在x轴上时，PF=a+ex,PF,=a-ex; (i).当焦点在y轴上时，PF=a+eyo,PF=a-ey; ③焦半径的最值：当点P在长轴顶点时，焦半径取得最大值α+c(称为“远日点”)或最小值 a-c(称为“近日点”)。即焦半径的取值范围是a-c,a+c。 【例1.1】已知椭圆x2+y 。2m>0的离心*e=亨.求m的位及转圆的长鞋长，后点坐 标。 【答案】m=1,长轴长为42，焦点坐标为0，±V6 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据题意，得到椭圆的焦点在y轴上，结合椭圆的几何性质，求得α，b,c的值，即 可求解 【详解】因为m>0,椭圆的焦点在y轴上且a2=2(m+3),b2=2, 1-,23 又因为e=5,可得e=1- 2m+3)4’解得m=1, 所以辅圆方程为号+号=1，可待。=2N5,6:2,则c=0-方-石 所以椭圆的长轴长为2a=4√2、焦点坐标为(0，±V6) 【例12】设A,B是椭圆C:士+二=1长轴的两个端点，若椭圆C上存在点M满足 m 4 LAMB=120°，则m的取值范围是() A. B.(0,5lU[9,+o C.(0,2]U[4,+0 D.(0,3U[9,+0) 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求椭圆中的参数及范围、求椭圆的顶点坐标 【分析】易知当M为短轴端点时∠AMB取得最大值，即此时∠AMB≥120°，分情况讨论当 椭圆焦点在两坐标轴上时，长轴与短轴的范围，即可得解 5 【详解】 M B 图1 图2 由己知当点M运动到短轴的端点时，∠AMB取最大值，此时∠AMB≥120°， 当m>4时，椭圆C的长轴在x轴上，如图1所示， 令A-m,0,M(0,2, 由∠AMB≥120°，可知∠AM0≥60°， 则tan∠AMO= 04之5，则40≥25，即m≥12： OM 当0<m<4时，椭圆C的长轴在y轴上， 如图2所示，令A0,2,Mm,0, 由∠AMB≥120°，可知∠AM0≥60°， 则tan∠AMO= A之5，则OMe25,甲0<m≤ OM 3 综上所述，m∈0, 4 U[12,+0）, 故选：A. 【例1.3.】已知水平地面上有一半径为R的篮球，其中心为O,在与底面所成角度为p的斜 平行光线束的照射下，其阴影部分为一椭圆（如图）在平面直角坐标系中，椭圆中心 0为原点，设精图的方程为号+茶=口>6>0，盖球与地面的装触点为，当0分 别为p,p2且p1>p2时，其对应的阴影部分的椭圆离心率分别为，已2，则() A B ●Oy B 6 A.e2<e B.e2>e C.e=e2 D.不能确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，求得阴影椭圆中长半轴长与短轴长与球半径的关系，利用离心率公式表示 出离心率与夹角的关系，结合三角函数的单调性，可得答案 【详解】在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，因为AA∥BB,所以 ∠AAB+∠B'BA=180°， 又因为AA,BB均与球相切，设其分别切球O于点M,N,连接AO',BO',O'H,MN, 由几何性质可知∠OAB=∠AAB,∠OBA=) ∠B'BA, 所以∠OAB+∠0BA=∠AB+∠BBA=90°， 2 2 所以∠AOB=90°，即A0'⊥O'B,又因为O为椭圆中心，即为AB的中点， 由直角三角形的性质可知O0)AB,所以球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长， 由题得0'H=R,设∠00H=p,所以sinp= OH Oo 从而O0=R sino 所以a= R sino ,又b=R.所以c=a2-b2= R2 -R2 R2(1-sin2p）R Vsin2o sin tan 则e=&=c0sp,由题知0<9，<9<2，所以0<cos0<cos0:,所以g<e, 故选：B. A N B' B 【例1.4】已知椭圆C: +京=1a>b>0)的离心率为)4,4分别为C的左、右顶点，B为 .y2 a2 C的上顶点，若BA·BA,=-2,则椭圆C的方程为() A. B.+=1 C. D. x2,2y2 =1 1612 86 43 23 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据离心率及BA·B4=-2,建立关于a2,b2的等式即可得解 【详解】显然离心率e=0- 1 a Va2=2 4 A,A分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A(-a,0),A(a,0),B(0,b), 于是BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),而BA,·BA2=-2, 即-0+b2=-2,又B=3a,因此联立解得a=8,62=6, 4 所以街圆的方程为营+若1 故选：B 例5】（多速）设上，F为椭圆+的无、石焦点，P为椭做上的动点，且椭圆 上至少有17个不同的点P(i=1,2,3…),FP,FP,,FP,…组成公差为d的递增等 差数列，则() A.FP的最大值为25+4 B.△FPF的面积最大时， tan∠EPF=-4 C.d的取值范围为0,2 D.椭圆上存在点P,使∠EPF= 3π 4 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】由题知a-c≤PF≤a+c,易判A正确；当P离横轴的距离最大时， △EPF的面积最大，计算正切值即可；将PF的最大值、最小值代入公式即可 8 2b2 判断C选项；写出余弦定理公式并配方，得cos∠FPF= PFPF -1,由均值 不等式知，当且仅当PF=PF时，此时∠EPF最大， 此时tan∠FPF=-4<-1=an3 3 ,易得D不正确 【详解】由椭圆方程二+上-1知，a=25,=2,c=4 204 选项A:因为P为椭圆上的动点，所以a-c≤PF≤a+c,所以FP的最大值为 a+c=25+4,故A正确： 选项B:当点P为短轴顶点时，△FPF的高最大，所以△FPF的面积最大， 此时FP5一手所以B正袭： 选项C:设FP,FP,,FP,组成公差为d的等差数列为{an},所以 a2a-c=25-4,a,≤a+c=25+4,d=0,-a≤8≤8=1， n-1-n-117-121 故C正确； 选项D:因为os∠FPF=PE+PF-FE 2 PF PF PEl+lPF-2PEPF-EF,又IPF+PFl=2a，F,F=2c 2PF PF 所以cos∠FPF 2b2 PFIP阿1，而PF+|PF≥2PIPF, 当且仅当PF=PF时取等号此时PEPFSa',cos∠FPF≥2办 故此时∠FPF最大.此时tan∠FPF=- 3-l=tan3 4 故D不成立 故选：ABC. 【例16】（多选）已知浦圆C:聋+茶=12>>0)的左、右焦点分别为F、5,上顶点 为B,动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有() A.若△PFF2的周长为6，则b=√5 9 B.若当FP5=时，aPFR,的内切圆半径为5，则b=5 3 C.若存在P点，使得PF⊥PF2，,则be[V2,2) D.若PB的最大值为2b,则be[V2,2) 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的 面积 【分析】利用焦点三角形的周长求得c=1,可求b判断A;利用余弦定理求得焦点三角形的 面可得0P阴+P所1+F》52+g,求解可新B,若P5上PE,则以0 3 为圆心，b为半径的圆与椭圆有交点，则b≤c,求解可判断C; PB- X灯产广产，护+4，利用一次函数的政位可家得6宜围断D 【详解们对于A由椭图C:号+茶=12>6>0，可行a=2. FO F2 因为△PFF2的周长为6，所以2a+2c=6,解得c=1, 因为a2-b2=c2,所以4-b2=1,解得b=√5，故A正确； 对于B,由a=2,可得引PF|+|PF=2a=4, 当∠FPR-胥时，由余孩定理可得(2 FF.F-IPF+PE,P-2 FF∠FPR =(PF+PF2 )2-3PFPF2 =4a2-3PFPF, 则3PRPR上4a-4e=4,解得PRP明上号， 所以5m5=P听NP听n∠FPs=56, 10