1.2.2 有理数与数轴 讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

学生姓名 年级 初一 学科 数学 课题 有理数与数轴 教学目标 1、 掌握数轴的概念 2、 学会画数轴，并将有理数表示在数轴上 3、 学会借助数轴来比较有理数的大小 4、 理解数轴上动点运动的综合问题 知识网络： 有理数与数轴 知识精讲： 要点一、数轴的基本概念 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 如图，1.5可以在数轴上表示. 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点. 正方向通常规定为向右（或上）. 要点诠释：数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 要点二、数轴的易错点 单位长度不一定是“1”，可长可短，按实际情况规定表示长度. 如图，单位长度也可以是“2” 单位长度保持统一 如图单位长度不统一的数轴是错误的. 要点诠释： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π. （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 问题定位 例1 题类：数轴的基本概念 数轴与直线的区别在于 、 和正方向． 例2 题类：数轴的表示 如图所示的图像为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 例3 题类：数轴上点的距离距离 数轴上点7距离原点的距离为 ，1 距离原点的距离为 ，-1.5距离原点的距离为 . 例4 题类：数轴上点的距离问题 在数轴上A、B两点分别表示数- 11和- 2，那么A、B两点之间的距离是（ ） A. -13个单位长度 B.13个单位长度 C. -9个单位长度 D.9个单位长度 例5 题类：根据数轴比较有理数的大小（含字母） a、 b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、-a、b、-b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A.-b < - a < a < b B.- a < - b < a < b C.-b < a < - a < b D.- b < b < - a < a 优化提高 【变式1】 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 . 【变式2】 回答以下问题： （1）在数轴上，在原点左侧且离开原点5个单位长度的点表示的数是 ；离开原点4个单位长度的点表示的数是 . （2）点A为数轴上表示-1的点，当点A沿数轴移动4个单位到点B时，点B所表示的数是 . 【变式3】 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示-2的点距离5个单位长度，则 ++ m = . 【变式4】如图，数轴上线段AB = 3（单位长度），线段CD=6（单位长度），点A在数轴上表示的数是-12，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t /s， （1）点B在数轴上表示的数为 ，点D在数轴上表示的数为 . （2）当点B与点C相遇时，求点A，D在数轴上表示的数； （3）当运动到BC = 8（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数 【变式5】操作探究: （1）折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 ，点B表示的数是 （2）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动2022个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值， 历年真题训练 真题1 题类：已知根据数轴比较有理数的大小（含字母） （2024年广州南沙区七上期末卷）如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，- a，0，1的大小关系表示正确的是（ ） A. 0 < a < 1 < - a B.a < 0 < - a < 1 C. - a < 0 < 1 < a D. - a < 0 < a < 1 真题2 题类： 数轴上点的距离问题 （2024年广州西关外国语中学七上期中卷）若点A在数轴上对应- 1，点B与点A的距离为3，则点B在数轴上对应的有理数为 真题3 题类： 数轴上点的距离问题 （2024年深圳宝安区七上期末卷）如图，线段AB = 8 cm，点C为线段AB上一点，BC = 2 cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为 cm. 真题4 题类：数轴上点的距离问题；数轴上动点运动的综合问题 （2024年广州海珠区外国语实验中学七上期中卷）如图，在数轴上，点A表示- 10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒4个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒. （1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等 （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2 CN－PC的值， 真题5 题类：数轴上点的距离问题；数轴上动点运动的综合问题 （2024年陆丰市湖东中学七上期末卷）数轴上点A，B的位置如图所示，若点A表示的数为- 12，且OA = 2OB，已知动点P，Q分别从A，B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，设运动的时间为t/s. （1）点B表示的数为 ，线段AB的中点表示的数为 ; （2）当2OP - OQ = AB时，求t的值（提示：先分别表示出运动后点P，Q表示的数） 真题6 题类：数轴上点的距离问题；数轴上动点运动的综合问题 （2024年广州南沙区七上期末卷）已知数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为15．若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿看数轴匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿看数轴匀速运动，点P，Q同时出发，设运动时间为t（t > 0）秒， （1）点P沿看数轴向右运动，点Q沿着数轴向左运动时 ①数轴上点P表示的数为 ; ②当点P与点Q重合时，求此时点Q表示的数； （2）点P、Q同时沿看数轴向右运动，若点P，Q之间的距离为4时，求t的值. 答案： 有理数与数轴 问题定位 例1. 原点、单位长度 例2. D 例3. 7；1 ；1.5 例4. D 例5. C 优化提高 【变式1】 -4 【变式2】 （1）-5；-4或4 （2）-5或3 【变式3】 -8或2 【变式4】 （1） -9；22 （2） 由题意得：（3 + 2）t = 16 -（-9） 5t = 25 t = 5 点A在数轴上表示的数为：-12+3×5 = 3 点D在数轴上表示的数为：22-2×5 = 12 （3） ①当B在C左侧时 （3 + 2）t+8 = 16 -（-9） t = 3.4 点B在数轴上表示的数为：-9+3×3.4 = 1.2 ②当B在C右侧时 （3 + 2）t = 16 -（-9）+ 8 t = 6.6 点B在数轴上表示的数为：-9+3×6.6 = 10.8 【变式5】 （1） ① - 3 ② - 4.5 ；6.5 （2） 解：∵ 点A表示的数为a，点A移动2022个单位 ∴ A表示的数为a + 2022或a - 2022 ∴ a + 2022 + a = 0 或 a - 2022 + a = 0 a = 1011 或 a = -1011 答：a 的值为1011或 - 1011。 历年真题训练： 真题1：B 真题2：- 4或2 真题3：1 真题4： 解：（1）由题意得：4t + 2t = 28 t = 点M所对应的数是18 - 2 × = （2）由题意得：0 < t < 7 ①当P在O左侧时 10 - 4t = 7-2t t = ②当P在O右侧时 4t - 10= 7-2t t = （3） ∵ N为AP中点 ∴ AN = PN = AP = 2t CN = CA - AN = 28 -2t PC = CA - AP = 28 - 4t 2CN - PC = 56 - 4t -28 + 4t = 28 真题5： （1）6；-3 （2） 解：①当P在O左侧时 OP = OA - AP = 12 - 2t OQ = 6 + t AB = 6 + 12 = 18 2OP - OQ = AB 24 - 4t - 6 - t = 9 - 5t = - 9 t = ②当P在O右侧时 OP = 2t - 12 4t - 24 - 6 - t = 9 3t = 39 t = 13 真题6： （1） ①2t - 3 ② 解：由题意得：2t-3 = 15-t t = 6 ∴ 点Q表示的数为15 - t = 9 （2） 解：当P在Q的左侧时 15 + t -（2t - 3）= 4 t = 14 当P在Q的右侧时 2t - 3 -（15 + t）= 4 t = 22 学科网（北京）股份有限公司 $