21.1一元二次方程讲义2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1   一元二次方程

 

分类考点1   一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

 

跟踪练习1 下列方程，是一元二次方程的是（　　）

①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2=4，④x2=0，⑤x2﹣3x﹣4=0．

A．①②           B．①②④⑤ 

C．①③④         D．①④⑤　

 

分类考点2   一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．

 

跟踪练习2 将一元二次方程3x（x﹣1）=5（x+2）化成一般形式为　           　，其中二次项系数a=　 　，一次项系数b=　  　，常数项c=　  　．

 

分类考点3   一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax1 2+bx1+c=0（a≠0），ax2 2+bx2+c=0（a≠0）．

 

跟踪练习3 关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1   B．﹣1  C．1或﹣1    D．

 

 

分类考点1   一元二次方程的定义

例1下列方程中，关于x的一元二次方程是         （     ）

A.         B.   

C.          D.

例2若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）

A．m=0                  B．m≠1   

C．m≥0且m≠1          D．m为任意实数

例3若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则  （    ）

A.m=±2       B.m=2      C..m=-2     D.m≠±2

 

分类考点2   一元二次方程的一般形式

例4 把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一般形式是（    ）

A．5x2﹣4x﹣4=0          B．x2﹣5=0   

C．5x2﹣2x+1=0          D．5x2﹣4x+6=0

例5小红将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（　　）

A．m=﹣2，n=7          B．m=2．n=7 

C．m=﹣2，n=1          D．m=2．n=﹣7

例6关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（　　）

A．1    B．2      C．1或2   D．0

 

分类考点3   一元二次方程的解

例7已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）

A．0     B．1     C．﹣1     D．2

例8若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m值为（　　）

A．1     B．0     C．1或2 D．2

 

例9已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（　　）

A．﹣5     B．5     C．﹣9     D．9