上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合练习（1）（9月）数学试题

复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（1） 班级__________________ 学号__________________ 姓名__________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，，则 __________. 2. 函数的最小正周期为__________. 3. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 3 4. 在的展开式中，的系数为__________. （改编） 5. 已知、为实数，且函数是偶函数，则__________. 6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________. 7. 已知关于正整数的方程，则该方程的解为________.或 8. 若，且，则______________. 9. 某商场周年庆举办优惠酬宾赠券活动，购买单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若商品标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若商品标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若商品标价超过100元，则超过100元的部分减免18%． 如果某顾客购买的一件商品标价为元，且他发现使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则的取值范围是______________. 10. 已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积 为_______________. 11. 已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、 两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的 斜率为______________. 12. 已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时，______________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设实数、满足，则“”是“”的（ ）条件. C （A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分也非必要 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且在区间上存在零点的是（ ）.D （A） （B） （C） （D） 15. 已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值是（ ）.C （A） （B）3 （C） （D） 16. 设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）． 若，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）. A （A）是严格增数列 （B）是严格减数列 （C）是严格增数列，是严格减数列 （D）是严格减数列，是严格增数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，且该四棱锥的体积为. （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 【参考解答】 （1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 从而. 等腰中，取中点，易知，在中，，，所以， 故该四棱锥的高为，即底面，又平面，所以平面底面. （2）由知，即为和所成的角（或其补角）；由（1）知平面底面，又平面平面，矩形中，，所以平面，从而. 中，，所以，同理；中，，， 由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为. 18.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求的面积； （2）若，求的取值范围． 【参考解答】 （1）由正弦定理得，，故，由余弦定理得，故，所以的面积； （2）由题意及均值不等式，得，当且仅当时等号成立，故；又，所以；所以的取值范围是. 另解：由正弦定理及等比性质可知，，又因为，，所以. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 【参考解答】 （1）根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势； 再由一次函数性质知严格增，由幂函数性质知严格减，只有符合题意； 将代入表达式可得，解得. （2）由（1）可知，由基本不等式可得， 因此，当且仅当时，即时，等号成立； 因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时. 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆:，是坐标原点，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若直线的斜率，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【参考解答】 （1）由得，所以焦距，离心率. （2），设直线的方程，与椭圆:联立得：，因为点与点不重合，所以可得点，于是由得，直线的方程：. （3）① 当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:联立得： ,，设,由韦达定理得, 化简得,又，从而,由可得 ，从而,将代换，, 整理得：,韦达定理代入化简得. ，所以,当时，直线经过点，舍; 当时，此时成立，直线经过定点; ②当直线斜率不存在时，设，则,代入得,与联立得解得,此时直线也经过点; 综上，直线经过定点. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数，其中为正整数，常数. （1）求函数的单调增区间； （2）若对于任意，函数在内均存在唯一零点，求的取值范围； （3）设是函数零点，且，其构成数列. 是否存在实数使得中的部分项 （其中当时，）构成一个无穷等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【参考解答】 （1），，得到增区间为. （2）当时，，所以严格增. 为使得在上有零点，需要有，得到对任意恒成立，而随着的变大而变大，所以取，得到. （3）若存在，由于，得到公比，并且常数. 若，则随着的增大，会趋向于正无穷，即对于某个给定的常数， 存在正整数，当时，满足，矛盾； 若，则随着的增大，存在使得，，并且趋向于0，即对于某个给定的常数，存在正整数，当时，，矛盾； 若，则为常数列，为定值，所以，. 综上，存在，此时. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学综合练习（1） 班级__________________ 学号__________________ 姓名__________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，，则 __________. 2. 函数的最小正周期为__________. 3. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 4. 在的展开式中，的系数为__________. 5. 已知、为实数，且函数是偶函数，则__________. 6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________. 7. 已知关于正整数的方程，则该方程的解为________. 8. 若，且，则______________. 9. 某商场周年庆举办优惠酬宾赠券活动，购买单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若商品标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若商品标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若商品标价超过100元，则超过100元的部分减免18%． 如果某顾客购买的一件商品标价为元，且他发现使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则的取值范围是______________. 10. 已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，将其绕着它的某一条侧棱所在直线旋转一周所得的几何体的体积 为_______________. 11. 已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、 两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的 斜率为______________. 12. 已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时，______________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设实数、满足，则“”是“”的（ ）条件. （A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分也非必要 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且在区间上存在零点的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 15. 已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值是（ ）. （A） （B）3 （C） （D） 16. 设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）． 若，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）. （A）是严格增数列 （B）是严格减数列 （C）是严格增数列，是严格减数列 （D）是严格减数列，是严格增数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，且该四棱锥的体积为. （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角的余弦值. 18.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求的面积； （2）若，求的取值范围． 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据： 10 30 40 60 70 0.8 6 8 4.8 3.5 为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值； （2）计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆:，是坐标原点，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若直线的斜率，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数，其中为正整数，常数. （1）求函数的单调增区间； （2）若对于任意，函数在内均存在唯一零点，求的取值范围； （3）设是函数零点，且，其构成数列. 是否存在实数使得中的部分项 （其中当时，）构成一个无穷等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $