精品解析：安徽省合肥市第二十九中学2025～2026学年上学期九年级数学开学考数学试题

2025~2026学年上学期九年级数学开学考数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，“形如（为常数，且），这样的函数叫做二次函数”，逐项进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 3. 已知，，，则k的最大值为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将k化为是解答的关键．先根据已知得到，进而得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵， ∴． ∴． ∵，， ∴当时，k取最大值，最大值为5． 故选：B． 4. 已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，开口向上， ∴，， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④正确； 综上可得：正确的结论为：①②③④，有4个． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴的左边； 当与异号时（即），对称轴在轴的右边．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点． 5. 某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 6. 某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 7. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 8. 若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴； 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵点，点， ∴A与B关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意； ∵点，点， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 10. 李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，先求得顶点坐标，然后结合图象即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴顶点坐标为， 当有两个实数根时， ∴或， 故选：． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为：，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为是解此题的关键． 12. 若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为， ∴顶点到x轴的距离为2， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G，当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 如图，解方程得，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图，当时，， 解得：， 则， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 即， 解得：， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故答案为：． 15. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解方程组即可确定的坐标，进而求得的值，解求得点的坐标，根据轴对称的性质求得直线的解析式，从而求得点的坐标，求得交点坐标是解题的关键． 【详解】解：由解得， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 解， 得， 经检验是原方程的解， 当时，， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 有一个二次函数，其图像的顶点，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）设点C是抛物线上一点，且点C的横坐标为，求△BOC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求出解析式； （2）把代入求出点C的纵坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 设该抛物线的表达式， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数顶点式的方法和步骤． 17. 已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）开口向下，与y轴交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与y轴交点坐标及抛物线的性质； （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）即可确定开口方向，令，求得y的值，可得抛物线与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴的一个交点的坐标为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为，化为一般式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下； 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． 18. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把代入，求得y的值，与6作比较即可． 【小问1详解】 解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米， ∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点， 把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∵， ∴能飞越防御墙． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； （2）画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，；当时，； 20. 如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求出长方形花圃的最大面积． 【答案】（1） （2）长方形花圃的最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程． （1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得； （2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 设花圃的宽为，则， ， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵，且， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，长方形花圃的面积最大， 最大面积为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 22. 已知二次函数，其中． （1）当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； （2）求证：二次函数的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ， ， ， ， ， 二次函数的顶点在第三象限； （3）有；面积最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，进而求解的面积，由此即可求解； 【小问1详解】 解：将代入， 解得， 由，则符合题意， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点； 当时，， ， 将代入， 解得：； 在轴的负半轴上， ， ； 过点作，垂足为， ， ， 在中， ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为； 此时当时，； ，， 根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下； ， 设， 则； 当时，达到最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期九年级数学开学考数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 3. 已知，，，则k的最大值为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 6. 某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为__________． 12. 若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_______． 13. 如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是_______． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G，当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______． 15. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是__________． 三、解答题（共7小题，共55分） 16. 有一个二次函数，其图像的顶点，且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）设点C是抛物线上一点，且点C的横坐标为，求△BOC的面积． 17. 已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标． 18. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 19. 已知二次函数． （1）用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； （2）画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 20. 如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求出长方形花圃的最大面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 22. 已知二次函数，其中． （1）当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； （2）求证：二次函数的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $