2.2直线的方程讲义+巩固提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

2.2直线的方程 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】二倍角的正切公式、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果. 【详解】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 8．（24-25高二上�四川绵阳�阶段练习）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a，逐项根据截距的正负判断即可. 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线两点式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 11．已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案. 【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 13．若直线与重合，则 . 【答案】-2 【知识点】直线的方程的概念 【分析】将直线方程整理为，利用重合关系可构造方程求得结果. 【详解】由得： 与重合    ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据直线位置关系求解参数值的问题，属于基础题. 14．（24-25高二上�江苏南通�阶段练习）直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】求出点坐标，由直线的倾斜角得出旋转后直线的倾斜角，由斜截式得直线方程，再整理即得． 【详解】在中令得，所以， 又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，直线方程为， 一般式为. 故答案为：． 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)， (2) (3)． (4)． 【知识点】直线截距式方程及辨析、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． （2）解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． （3）因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （4）因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【答案】(1) (2)，方程为 (3) (4) 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】（1）注意此时x、y的系数不同时为零才表示一条直线，从而解出m的范围； （2）x的系数不为零但y的系数为零时可以表示斜率不存在的直线，以此解出m的值； （3）在x轴上有截距代表x的系数不能为零，同时结合截距大小即可解出m的值； （4）根据斜率大小列出m的方程求解即可解出m的值． 【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令，因式分解得，解得或， 令，因式分解得，解得或， 所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为． （2）结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在， 由，解得或，由解得且， 所以，此时的系数， 方程为，整理得，即此时直线方程为． （3）结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距， 可以知道的系数，也即且， 依题意，直线在轴截距为，即时， 将其代入方程得， 解得或（舍弃），故m的值为． （4）倾斜角为，则x、y前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率， 也即，解得，所以实数的值为。 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)6 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）选择①，求出直线斜率，由点斜式得直线方程；选择②，设直线的截距式方程，代入已知点坐标求解；选择③，由两点间距离公式求得点坐标，再由两点式得直线方程； （2）选择①②③后都是一样：求出直线在轴上截距，由点斜式得直线方程． 【详解】（1）选择①． 由题意可设直线的方程为，又直线的斜率是直线的斜率的2倍， 所以． 所以直线的方程为，即． 选择②． 由题意可设直线的方程为，又直线过点， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． 选择③． 因为，所以，结合，可得． 直线过点，且过点，所以直线的方程为，即． （2）由（1）可知直线的方程为，令，可得， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为． 又因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，即． 因此直线在轴上的截距为6． 19．（24-25高二上�山东菏泽�阶段练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【知识点】直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线图象的辨析 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 能力提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）表示 B．当时，方程（，不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 【答案】D 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】根据直线方程表示不同直线的充要条件即可做出判断. 【详解】A：因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率 存在，其方程可写成，它可变形为，与比较， 得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成， 与比较，得，，，显然，不同时为0， 所以A说法正确； B：当时，方程（，不同时为0）即， 显然有，即直线过原点，所以B说法正确； C：当，，时，方程可化为， 它表示的直线与轴平行，所以C说法正确； D：当直线平行于坐标轴时一般式不能化为两点式或点斜式，所以D说法错误． 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆 【答案】C 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】去掉绝对值，即可判断图象形状. 【详解】当时，方程为； 当时，方程为； 当时，方程为； 当时，方程为， 因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形． 故选：C. 【点睛】本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题. 3．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，则欧拉线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】求出重心，求出边上的高和AC边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线的方程. 【详解】由题可得的重心为， 直线的斜率为，所以边上的高的斜率为2，则边上的高的方程为，即， 直线AC的斜率为，所以AC边上的高的斜率为，则AC边上的高的方程为，即， 联立可得垂心坐标为， 则直线GH的斜率为，则直线GH的方程为， 所以欧拉线的方程为. 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二上�山东青岛�阶段练习）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、基本不等式求积的最大值、辅助角公式、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，基本不等式，以及三角函数辅助角求最值即可判断各选项. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点， 又因为，即， 恒过定点，故A选项正确； 由 和， 满足，所以，可得， 所以，故B选项正确； 而， 当且仅当时等号成立， 所以最大值为，故C错误； 因为，设，为锐角, 则， ， 所以，， 所以当时，取最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 5．（23-24高二上�江苏南通�阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 【答案】 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】根据，得出所求直线方程. 【详解】因为直线和直线都过点， 所以，. 由上式可得点和点都在直线上， 即过点和点的直线方程为. 故答案为： 四、解答题 6．已知等腰三角形ABC的顶点，AC的斜率为,点，求直线AC,BC及∠A的平分线所在直线的方程. 【答案】见解析 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题目条件利用点斜式求出AC的方程,直线AC的斜率为,求出倾斜角,再分类求出BC的倾斜角,从而确定BC及∠A的平分线所在直线的方程. 【详解】等腰的顶点,直线AC的斜率为 ,点, 因为轴，AC的倾斜角为60°，所以BC的倾斜角为30°或120° 设直线BC的倾斜角为，当时，直线BC方程为 ∠A的平分线的倾斜角为120°，所以所在直线方程为. 当时，直线BC方程为 ∠A的平分线的倾斜角为30°，所以所在直线方程为. 【点睛】本题综合考查了直线的方程,位置关系的知识,属于基础题. 7．城市要在某小区前一块广场（如图）上规划出一块长方形地面（不改变方位），改善人们室外活动生活．问：如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积．（已知，，，） 【答案】设计见解析，面积最大值为. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、直线截距式方程及辨析 【分析】把问题转化为在线段上找一点，过点分别做的平行线与围成长方形面积最大的问题，建立坐标系，设点坐标，将长方形的面积表达式求出，再求其最值即可. 【详解】以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系， 则，所在的直线方程为， 即，设， 过点分别做的平行线与交于， 开发的矩形的面积为 当时，取得最大值为， 答：长方形顶点距边，距边时，面积最大为. 【点睛】本题考查函数应用问题，根据几何关系转化成代数关系是解题的关键，考查数学建模、数学抽象、数学计算能力，属于中档题. 8．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求： (1)，满足的关系式； (2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系； (3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解； （2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得； （3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值； 【详解】（1）解：依题意，，且，均不为或， 若选①，则，则，即； 若选②，则 （2）解：依题意直线：，直线：， 又过，所以且，即且，又过，所以且，即且； 若选①，则，所以，即且、； 若选②，则，所以，即且、； （3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 即，所以，解得，此时直线：，所以，解得； 若选①，则，此时直线：，所以，解得； 若选②，则，此时直线：，所以，解得； 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线的方程 题型1 直线的点斜式方程及应用 5 题型2 直线的斜截式方程及应用 6 题型3 直线的两点式方程及应用 7 题型4 直线的截距式方程及应用 7 题型5 直线的一般式方程及应用 9 题型6 含参直线方程过定点问题 9 题型7 由直线的位置关系求参数的值 10 题型8 由直线的位置关系求直线方程 10 知识点一 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 已知直线l经过点.,且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点,则直线的方程为 这个方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式. 注：构成直线的要素有两个：位置(直线上一点)和方向,点斜式方程是这两个要素的直接反映.由于倾斜角与斜率的关系特征,因此要特别注意在直线的倾斜角为的情形下,直线没有斜率,点斜式方程不存在 2．点斜式方程的特殊情形 (1)当直线的倾斜角为时(如图1),,即,这时直线与轴平行或重合,直线的方程是,即 (2)当直线的倾斜角为时(如图2),由于无意义,直线没有斜率,这时直线与轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是,即 知识点二 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 如果斜率为的直线过点,这时是直线与轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样,方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.其中,和均有明显的几何意义：是直线的斜率,是直线在轴上的截距. 2．斜截式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率,以及直线在轴上的截距时,可以直接使用公式求直线方程. (2)当时,表示过原点的直线； 当且时,表示与轴平行的直线； 当且时,表示与轴重合的直线. 知识点三 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的推导 当时,经过两点,的直线的斜率任取,中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得 当时,方程可以写为. 2．直线的两点式方程的定义 设直线经过两点,,则方程叫做直线的两点式方程,简称两点式. 3．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点,且,时,可以直接使用公式求直线方程. (2)当,时,直线方程为(或 (3)当,时,直线方程为(或. 知识点四 直线的截距式方程 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时直线在轴上的截距是.方程是由直线在两条坐标轴上的截距与确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式. 注：1.截距式方程应用的前提是且,,即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程. 2.如果已知直线在两轴上的截距(截距不为),可以直接代入截距式求直线的方程. 3.直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积. 4.若直线在两坐标轴上的截距相等,则或直线过原点,故常设此直线方程为或. 5.截距式形式的特点有两个,一是左边两个式子必须用“”号连接,二是等号右边是“”.如,都不是直线的截距式方程. 6.截距并非距离,即,,截距相等的情况包括截距为零的情况. 知识点五 直线的一般式方程 直线的一般式方程的定义 在平面直角坐标系中,任何一个关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (1)由于方程(,不全为),当时,方程可变形为,它表示斜率为,在轴上的截距为的直线.特别地,当时,它表示垂直于轴的直线. 当时,,方程可变形为,它表示垂直于轴的直线. (2)一般式方程的使用方法 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式,它适用于任何一条直线. 注：解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式. 拓展一 利用直线方程判断两直线的位置关系 方程形式 位置关系 斜截式 一般式 相交 或 垂直 平行 且 或 或 重合 且 或 拓展二 常见的直线系方程 一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所有直线的集合,称为直线系,它的方程称为直线系方程. 1．平行直线系 (1)斜率为的直线系方程为(为常数,为参数). (2)与直线平行的直线系方程都能表示为(其中为参数,且),我们可以依据题设中另一个条件来确定的值. (3)过点且平行于直线的直线方程为). 2．垂直直线系 (1)与直线垂直的直线系方程为(,为参数). (2)与直线垂直的直线方程可表示为,再由其他条件列方程求出. (3)过点,且垂直于直线的直线方程为 3．中心直线系 (1)斜率存在(设为)且过定点的直线系方程为 (2)为避免对斜率是否存在进行讨论,过定点的直线系方程还可设为(,为参数). 题型1 直线的点斜式方程及应用 1．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 2．已知直线的方程为，则（    ） A．该直线过点，斜率为 B．该直线过点，斜率为 C．该直线过点，斜率为 D．该直线过点，斜率为 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东江门·期末）设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（    ） A． B． C． D． 题型2 直线的斜截式方程及应用 6．（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 8．已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程． 9．方程表示的直线可能是（ ） A．B． C． D． 题型3 直线的两点式方程及应用 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 11．已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 题型4 直线的截距式方程及应用 12．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 14．（多选）（24-25高二上�河北邢台�阶段练习）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 题型5 直线的一般式方程及应用 18．（24-25高二上�吉林白山�阶段练习）  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 20．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 题型6 含参直线方程过定点问题 21．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 23．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型7 由直线的位置关系求参数的值 25．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 26．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 27．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 28．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 由直线的位置关系求直线方程 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 30．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 31．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 34．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线的方程 题型1 直线的点斜式方程及应用 5 题型2 直线的斜截式方程及应用 7 题型3 直线的两点式方程及应用 9 题型4 直线的截距式方程及应用 11 题型5 直线的一般式方程及应用 14 题型6 含参直线方程过定点问题 16 题型7 由直线的位置关系求参数的值 18 题型8 由直线的位置关系求直线方程 20 知识点一 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 已知直线l经过点.,且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点,则直线的方程为 这个方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式. 注：构成直线的要素有两个：位置(直线上一点)和方向,点斜式方程是这两个要素的直接反映.由于倾斜角与斜率的关系特征,因此要特别注意在直线的倾斜角为的情形下,直线没有斜率,点斜式方程不存在 2．点斜式方程的特殊情形 (1)当直线的倾斜角为时(如图1),,即,这时直线与轴平行或重合,直线的方程是,即 (2)当直线的倾斜角为时(如图2),由于无意义,直线没有斜率,这时直线与轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是,即 知识点二 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 如果斜率为的直线过点,这时是直线与轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样,方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.其中,和均有明显的几何意义：是直线的斜率,是直线在轴上的截距. 2．斜截式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率,以及直线在轴上的截距时,可以直接使用公式求直线方程. (2)当时,表示过原点的直线； 当且时,表示与轴平行的直线； 当且时,表示与轴重合的直线. 知识点三 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的推导 当时,经过两点,的直线的斜率任取,中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得 当时,方程可以写为. 2．直线的两点式方程的定义 设直线经过两点,,则方程叫做直线的两点式方程,简称两点式. 3．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点,且,时,可以直接使用公式求直线方程. (2)当,时,直线方程为(或 (3)当,时,直线方程为(或. 知识点四 直线的截距式方程 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时直线在轴上的截距是.方程是由直线在两条坐标轴上的截距与确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式. 注：1.截距式方程应用的前提是且,,即直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程. 2.如果已知直线在两轴上的截距(截距不为),可以直接代入截距式求直线的方程. 3.直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积. 4.若直线在两坐标轴上的截距相等,则或直线过原点,故常设此直线方程为或. 5.截距式形式的特点有两个,一是左边两个式子必须用“”号连接,二是等号右边是“”.如,都不是直线的截距式方程. 6.截距并非距离,即,,截距相等的情况包括截距为零的情况. 知识点五 直线的一般式方程 直线的一般式方程的定义 在平面直角坐标系中,任何一个关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (1)由于方程(,不全为),当时,方程可变形为,它表示斜率为,在轴上的截距为的直线.特别地,当时,它表示垂直于轴的直线. 当时,,方程可变形为,它表示垂直于轴的直线. (2)一般式方程的使用方法 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式,它适用于任何一条直线. 注：解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式. 拓展一 利用直线方程判断两直线的位置关系 方程形式 位置关系 斜截式 一般式 相交 或 垂直 平行 且 或 或 重合 且 或 拓展二 常见的直线系方程 一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所有直线的集合,称为直线系,它的方程称为直线系方程. 1．平行直线系 (1)斜率为的直线系方程为(为常数,为参数). (2)与直线平行的直线系方程都能表示为(其中为参数,且),我们可以依据题设中另一个条件来确定的值. (3)过点且平行于直线的直线方程为). 2．垂直直线系 (1)与直线垂直的直线系方程为(,为参数). (2)与直线垂直的直线方程可表示为,再由其他条件列方程求出. (3)过点,且垂直于直线的直线方程为 3．中心直线系 (1)斜率存在(设为)且过定点的直线系方程为 (2)为避免对斜率是否存在进行讨论,过定点的直线系方程还可设为(,为参数). 题型1 直线的点斜式方程及应用 1．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； （4）由两点的坐标可求得直线斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 2．已知直线的方程为，则（    ） A．该直线过点，斜率为 B．该直线过点，斜率为 C．该直线过点，斜率为 D．该直线过点，斜率为 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线的点斜式方程判断可得； 【详解】解：因为直线方程为，所以直线的斜率为，且当时，，故直线过点 故选：C 3．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 5．（24-25高二上·广东江门·期末）设，如果把函数的图象被两条直线所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，的最佳近似表示式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定条件，求出经过点的直线方程，进而求得答案. 【详解】依题意，经过点的直线方程为， 而点在以点为端点的线段上， 因此，所以，C正确，D错误； 当且仅当是线段中点时，，而它是线段上除端点外的任意点，A错误； 显然可能异号，此时选项B无意义，B错误. 故选：C 题型2 直线的斜截式方程及应用 6．（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线倾斜角得斜率，利用过点可得直线的斜截式方程. 【详解】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 7．（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 8．已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程． 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】由平行关系得到直线的斜率，求解直线的截距，由直线的斜截式方程，即得解 【详解】由斜截式方程，知直线的斜率， 又因为，所以的斜率． 由题意，知在轴上的截距为， 所以在轴上的截距为， 由斜截式，得直线的方程为． 9．方程表示的直线可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线图象的辨析 【解析】分和两种情况讨论，即得答案. 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 题型3 直线的两点式方程及应用 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 11．已知ABC的三个顶点分别为. (1)求边AB所在直线的方程； (2)求边AC上的中线BD所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】（1）利用直线方程的两点式求解； （2）先求得AC的中点，再由点B的坐标，利用直线方程的两点式求解. 【详解】（1）解：由两点式得边AB所在直线的方程为， 即. （2）由题意，得点D的坐标为， 由两点式，得BD所在直线的方程为， 即. 题型4 直线的截距式方程及应用 12．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 13．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 14．（多选）（24-25高二上�河北邢台�阶段练习）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】分直线过原点和不过原点讨论求解即可. 【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意， 此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 则， 若，此时直线方程为； 若，此时直线方程为. 综上所述，直线的方程为或或. 故选：ABD. 15．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 16．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、基本不等式求积的最大值 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 17．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 题型5 直线的一般式方程及应用 18．（24-25高二上�吉林白山�阶段练习）  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知斜率求参数、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）由题可得直线l在x轴上的截距的表达式，令其为2并检验可得答案； （2）由题可得直线l的斜率表达式，令其为1并检验可得答案. 【详解】（1）令，， 由题；将代入直线方程满足题意，则； （2） ，令 得或. 当时，直线l的方程为：，不满足题意； 当，直线l的方程为：，满足题意.则. 19．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的斜截式方程及辨析 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 20．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 题型6 含参直线方程过定点问题 21．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 22．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 23．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．    易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 24．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、已知直线垂直求参数、基本不等式求积的最大值 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 题型7 由直线的位置关系求参数的值 25．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 26．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 27．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 28．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 题型8 由直线的位置关系求直线方程 29．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【知识点】由两条直线平行求方程、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 30．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；. (2). 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线平行求方程、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据两点斜率公式及直线的平行关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可； （2）根据菱形的性质结合直线的垂直关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 31．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【详解】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B 32．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线垂直关系设所求直线方程，将点P坐标代入整理即可. 【详解】因为直线， 所以设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程得，，所以， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 33．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】先根据直线平行求出直线，再求出点，再根据直线与直线绕点逆时针旋转所得直线垂直设出直线方程，再根据直线过点即可求解． 【详解】解：由题意可设：， 又直线过点， ， 解得：， 故直线：， 令， 解得：， 故， 设直线绕点逆时针旋转所得直线为， 则易知， 故设直线：， 将代入， 即， 解得：， 故直线：． 故答案为：． 34．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线的方程 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 5．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）若直线与平行，则实数的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高二上�四川绵阳�阶段练习）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 11．已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 13．若直线与重合，则 . 14．（24-25高二上�江苏南通�阶段练习）直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为 . 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（24-25高二上�山东菏泽�阶段练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 能力提升 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）表示 B．当时，方程（，不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化 2．在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ） A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆 3．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知的顶点，则欧拉线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上�山东青岛�阶段练习）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 三、填空题 5．（23-24高二上�江苏南通�阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 四、解答题 6．已知等腰三角形ABC的顶点，AC的斜率为,点，求直线AC,BC及∠A的平分线所在直线的方程. 7．城市要在某小区前一块广场（如图）上规划出一块长方形地面（不改变方位），改善人们室外活动生活．问：如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积．（已知，，，） 8．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求： (1)，满足的关系式； (2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系； (3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $