1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

宁波光华学校教案

备课时间

2025.09.

备课教师

刘雨萌

课时数

3

备课内容

第3课时 空间中直线、平面的垂直

教材分析

“空间向量的应用”主要利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点.为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法.

教学目标

1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系

重难点

重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

难点：.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系

备

课

内

容

教

学

步

骤

 教学过程

个性化处理

【导语

类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

一、直线与直线垂直

问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？

提示　垂直.

知识梳理

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.

注意点：

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直.

(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.

二、直线与平面垂直

问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？

提示　平行(共线).

知识梳理

设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u=λn.

三、平面与平面垂直

问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？

提示　垂直.

知识梳理

设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0.

例1　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN.

证明　方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得

AB

CNB1

∵M为BC的中点，

∴M.

∴=

=(1，0，1)，

∴·=-+0+=0.

∴⊥

即AB1⊥MN.

方法二　设=a=b=c，

则由已知条件和正三棱柱的性质，