1.4.1第3课时空间中直线平面的垂直学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 教材要点 要点　空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔________⇔____________________． 线面 垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________⇔________⇔______________________(λ∈R)． 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__________⇔__________⇔________________． 状元随笔　 (1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直． (2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) (4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(　　) 2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线(　　) A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交 3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有(　　) A．l∥αB．l⊂α或l∥α C．l与α斜交 D．l⊥α 4．平面α的一个法向量是(1，2，3)，平面β的一个法向量是(3，0，－1)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不确定 5．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________． 题型 1　利用向量方法证明线线垂直 例1　如图，在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 方法归纳 利用向量方法证明线线垂直的2种方法 巩固训练1　如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1. 题型 2　利用向量方法证明线面垂直 例2　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. 方法归纳 利用坐标法证明线面垂直的2种方法及步骤 巩固训练2　如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD. 题型 3　利用向量方法证明面面垂直 例3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC. 方法归纳 利用空间向量证明面面垂直的2种方法 巩固训练3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点． 证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 第3课时　空间中直线、平面的垂直 新知初探·课前预习 要点 u·v＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　u∥n　u＝λn　(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　n1⊥n2　n1·n2＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 [基础自测] 1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，所以m⊥n，所以l1⊥l2. 答案：B 3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)， ∴a＝－n，则a∥n， 所以l⊥α. 答案：D 4．解析：因为(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，所以平面α⊥平面β. 答案：C 5．解析：∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直， ∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0， 解得t＝5. 答案：5 题型探究·课堂解透 例1　证明：方法