1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

宁波光华学校教案 备课时间 2025.09. 备课教师 刘雨萌 课时数 3 备课内容 第2课时 空间中直线、平面的平行 教材分析 “空间向量的应用”主要利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点.为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法. 教学目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点). 重难点 重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 难点：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系 备 课 内 容 教 学 步 骤 教学过程 个性化处理 导语 上节课，我们学习了用空间向量表示点、直线、平面等空间中的元素，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键因素，那么，我们能否用这些向量来刻画空间中的平行和垂直关系呢？如果能的话，应该怎样刻画呢？今天，我们来探究如何用空间向量刻画平行问题. 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2. 注意点　上述结论中的直线l1，l2为两条不重合的直线. 二、直线和平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直. 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行. 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2. 注意点　上述结论中的平面α，β为两个不重合的平面. 例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 反思感悟　证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明. (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求证：MN∥AP. 证明　方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，NM所以=(-1，0，1)=所以=又M∉AP，故MN∥AP. 例2　(课本例3)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1？ 解　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以=(-3，4，0)=(-3，0，2). 设n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·=0，n·=0， 即所以 取z=6，则x=4，y=3. 所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量. 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2). 设点P满足=λ(0≤λ≤1)，则=(-3λ，0，-2λ)， 所以=+=(-3λ，4，-2λ). 令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在. 所以，当=即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1. 例2　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 延伸探究　在本例题的条件下，若点M为线段AB的中点，问：在棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出点N的位置，若不存在，请说明理由. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外. 例3　(课本例2)　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α. 求证：α∥β. 证明　如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v. 因为a∥α，b∥α， 所以n·u=0，n·v=0. 因为a⊂β，b⊂β，a∩b=P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv. 从而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0. 所以，向量n也是平面β的法向量. 故α∥β. 例3　如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，求证：平面AB'D'∥平面BDC'. 证明　方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)， B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)， 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 跟踪训练2　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 课堂小结 空间中直线、平面的平行 证明直线、平面的平行关系的方法 随堂演练 学习笔记21页1-4 课后作业 作业8 1-10（必写）11-14（学有余力的写）15-16（对数学有追求的写） 反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $