安徽省六安市独山中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025-2026学年度第一学期独山中学高三数学第一次月考试卷 一、单选题（每题5分共40分） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3．已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的焦点到顶点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．已知，， ，则（　　） A． B． C． 6．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．2024 7．五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周日两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，多选或答错不得分，部分对答部分分共18分） 9．已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（    ） A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 10．已知空间中不同的直线l，m和不同的平面，，，且点，则下列命题中不正确的是（    ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 三、填空题（每题5分共15分） 12．函数的最小正周期为------------------ . 13．已知函数则=--------------. 14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为----------------. 四、解答题 15（第一小题6分，第二小题7分共13分）．在中，内角所对的边分别其中，，且. (1)求的值； (2)求的值； 16（第一小题7分，第二小题8分共15分）．在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17（第一小题7分，第二小题8分共15分）．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围． 18（第一小题8分，第二小题9分共17分）．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 19（第一小题8分，第二小题9分共17分）．某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品. 生产线 甲 4 9 23 28 24 10 2 乙 2 14 15 17 16 15 1 (1)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这4个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望； (2)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年9月1日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C B A A D BC ACD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】设，化简式子，利用复数相等求出复数，然后求复数的模即可 【详解】设，则，则，故. 故选：A 2．A 【分析】根据平面向量垂直及运算律可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 则. 故选：A． 3．C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 4．C 【分析】把抛物线表示为标准方程，可得，焦点到顶点的距离为，可求值. 【详解】抛物线的标准方程为，则， 所以焦点到顶点的距离为. 故选：C. 5．B 【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将，，与和进行比较即可. 【详解】由已知， ∵指数函数在上单调递增，且值域为， ∴， ∴，即 又∵对数函数在区间单调递减， ∴，即，即. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：B. 6．A 【分析】 根据函数的奇偶性以及对称性即可得函数周期性，进而可求解. 【详解】由为奇函数，为偶函数，可知函数的图像关于点中心对称，且关于直线轴对称， 故， 所以函数是周期为4的函数，由．得， 所以． 故选：A 【点睛】方法点睛：（1）若函数的图像同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且． （2）若函数的图像同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且． （3）若函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且． 7．A 【分析】由题计算出4名同学参加公益活动的总情况数，及周六恰有2名同学参与的情况数，即可得答案. 【详解】由题意知，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的总情况数为，4人选择一天的情况数为2，则周六、周日都有同学参加公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参加公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为． 故选：A 8．D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】的图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 9．BC 【分析】根据给定条件，求出新数据组的平均数，再利用分层抽样的方差公式求出方差即得. 【详解】依题意，这组新数据的平均数为，方差为. 故选：BC 10．ACD 【分析】根据空间中点线面的位置关系，与线面平行、面面平行的性质，即可判断正误. 【详解】 A选项 如果，，则不一定成立，有可能 不正确 B选项 因为点，如果，则，又，所以 正确 C选项 如果，，则不一定成立，有可能，相交，且交线与l平行 不正确 D选项 如果，，则或，当时有可能 不正确 故选：ACD. 11．BD 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 12． 【分析】根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 13． 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 14．2 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,， 圆 的圆心 , 半径为2， 双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ， 可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ， 可得 ， 即 . 故答案为：2. 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，， 所以，解得； （2）由（1）可得，，， 所以， 可得， 所以 16．(1) (2) 【分析】（1）运用等差中项及等比数列通项公式计算即可. （2）运用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意知，，又， ∴， ∴， 故. （2）由（1）得， ∴． 17．(1)，无极小值. (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）参变分离可得对任意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即，无极小值. （2）若对任意，都有成立， 即对任意恒成立， 令，， 则， 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 18．(1) (2)存在，为定值． 【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程； （2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 19．(1)分布列见解析， (2)需要，理由见解析 【分析】 （1）根据独立时间的概率乘法公式，即可分别求解概率，进而可得分布列， （2）根据二项分布的均值公式以及性质，计算两种情况下的期望，比较大小即可求解. 【详解】（1）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为， 任取一个乙生产线零件为一等品的概率为. 的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . （2）由已知，每个零件为三等品的频率为， 设余下的50个零件中的三等品个数为，则， 所以. 设检验费用与赔偿费用之和为， 若不对余下的所有零件进行检验，则， . 若对余下的所有零件进行检验，则检验费用元. 因为，所以应对剩下零件进行检验. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $