21.4第2课时　利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 课件 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与反比例函数的实际应用，以拱桥、喷泉、悬索桥等真实情境为载体，引导学生从生活现象中抽象出抛物线模型，通过建立坐标系、确定解析式、求解具体问题，构建起“现实问题—数学建模—函数求解”的完整学习链条，形成清晰的知识迁移路径。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，如第3题通过栅栏立柱长度计算体现几何直观与运算能力，第7题利用对称性求解缆索位置展现逻辑推理与模型意识。教学设计注重问题驱动与分层探究，既培养学生的建模能力和理性思维，又提升教师课堂组织的实效性与深度，助力学生在真实情境中理解数学本质，实现从“学会”到“会学”的转变。

21.4　二次函数的应用 第2课时　利用二次函数模型解决抛物线形建筑问题 第21章　二次函数与反比例函数 讲授新课 利用二次函数解决实物抛物线形问题 一 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 合作探究 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例1 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 8 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a•4502+0.5. 解得 故所求表达式为 (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 9 (2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长. y x O -450 450 解：当x=450－100=350（m）时，得 当x=450－50=400（m）时，得 10 课堂小结 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 1. 如图所示为某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其对应的函数表达式为y＝－（x－2）2＋6，则水柱的最大高度是（　C　） A. 2m B. 4m C. 6m D. （2＋ ）m （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线形，拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m，则支柱MN的长度为 　4　m. （第2题） 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成.如图，其中一段拱形栅栏为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间按相同的间距0.5米用5根立柱加固，拱高OC为1.8米. （1） 以O为原点，OC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请根据以上数据，求出抛物线形栅栏对应的函数表达式. （第3题） 解：（1） 由图，可设抛物线形栅栏对应的函数表达式为y＝ax2.由已知，得OC＝1.8米，AC＝1.5米，∴ 点A的坐标为（1.5，1.8）.将A（1.5，1.8）代入y＝ax2，得1.52a＝1.8，解得a＝ .∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝ x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 请计算一段栅栏所需5根立柱的总长. 解：（2） 如图，由题意，可知点C1，C2的横坐标分别为0.5，1.将x＝0.5，1分别代入y＝ x2，得点C1，C2的纵坐标分别为 ＝ ×0.52＝0.2， ＝ ×12＝0.8.∴ 立柱C1D1＝1.8－0.2＝1.6（米），C2D2＝1.8－0.8＝1（米）.∵ 抛物线关于y轴对称，∴ 一段栅栏所需5根立柱的总长为2（C1D1＋C2D2）＋OC＝2×（1.6＋1）＋1.8＝7（米）. （第3题） （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 4.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，其底部宽度为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　A　） 　　 A （第4题） A. 40m B. 30m C. 25m D. 20m 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图所示为一款抛物线形落地灯的示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5m，最高点C距灯柱的水平距离为1.6m，灯柱AB＝1.5m.若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（　A　） A. 3.2m B. 0.32m C. 2.5m D. 1.6m （第5题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔的水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 　10　m. （第6题） 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面.如图，以O为原点，直线FF'为x轴，桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2m（桥塔的粗细忽略不计）. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 求缆索L1所在抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ AO＝17m，∴ A（0，17）.又∵ OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2m，∴ 抛物线的顶点P的坐标为（50，2）.设缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－50）2＋2.将A（0，17）代入，得2500a＋2＝17，解得a＝ .∴ 缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y＝ （x－50）2＋2. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长. 解：（2） ∵ 缆索L1所在抛物线与缆索L2所在 抛物线关于y轴对称，缆索L1所在抛物线对应 的函数表达式为y＝ （x－50）2＋2，∴ 缆索L2所在抛物线对应的函数表达式为y＝ （x＋50）2＋2.令y＝2.6，∴ 2.6＝ （x＋50）2＋2，解得x1＝－40，x2＝－60.∵ FO＜OD，即FO＜50m，∴ x＝－40.∴ FO的长为40m. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 $