21.2第4课时　二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象和性质课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的图象与性质，以旧知迁移为起点，通过平移操作引导学生从 $ y = ax^2 $ 出发逐步构建对顶点式函数的理解，形成由简到繁、由具体到抽象的学习支架，有效衔接了基础函数与复杂变换之间的逻辑链条。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“几何直观”和“推理能力”，如在探究 $ y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 1 $ 图象时，借助列表描点法建立空间感知，再归纳出一般规律，体现从特殊到一般的数学思维过程。课堂小结中设置典型例题与易错辨析，强化符号意识与运算能力，帮助学生厘清概念本质。此设计既提升学生的数学表达与问题解决能力，又助力教师精准把握学情，实现高效教学。

21.2　二次函数的图象和性质 第4课时　二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 导入新课 复习引入 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x+h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3.把y=-2x2的图像 向上平移3个单位 y=-2x2+3 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？ O X y 3 -2 O y 3 -2 X 讲授新课 二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质 一 引例 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴. 探究归纳 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解: 先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=－1 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1) 试一试 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 7 二次函数 y=a(x+h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 知识要点 顶点式 例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. 典例精析 A 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 向左平移 1个单位 二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的关系 二 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 探究归纳 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法1 向下平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x+h )2 y = a( x+h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 要点归纳 课堂小结 一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 1. 对于二次函数y＝（x＋3）2＋6的图象，下列说法不正确的是（　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线x＝－3 C. 顶点坐标为（－3，6） D. 当x＜－3时，y随x的增大而增大 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 将二次函数y＝（x－1）2＋2的图象先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为（　C　） A. y＝（x＋2）2－1 B. y＝（x－3）2＋5 C. y＝（x＋1）2－1 D. y＝（x－1）2＋5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 已知抛物线y＝ （x－1）2＋c经过（－2，y1），（0，y2）， 三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　D　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线y＝2x2＋3的开口方向和形状都相同，与另一条抛物线y＝－ （x＋1）2－2的顶点坐标相同，这条抛物线对应的函数表达式为 　y＝2（x＋1）2－2　. y＝2（x＋1）2－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）. （1） 请写出该抛物线的对称轴和顶点坐标. 解：（1） 对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2）. （2） 求a的值. 解：（2） ∵ 抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2），∴ －2＝a（1－3）2＋2.∴ a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小. 解：（3） 由（2），知y＝－（x－3）2＋2.∵ －1＜0，∴ 抛物线开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小.∵ 点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上， ∴ y1＜y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 若抛物线y＝2（x－m－1）2＋2m＋4的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　D　） A. m＞1 B. m＜2 C. 1＜m＜2 D. －2＜m＜－1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 二次函数y＝a（x－1）2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的图象可能是（　A　） （第7题） 　　 　　 　　 A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 易错题 已知二次函数y＝a（x－1）2－a（a≠0），当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为（　D　） A. 或4 B. 或－ C. － 或4 D. － 或4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x＋1）2＋b与y＝a（x－2）2＋b＋1交于点A. 过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B，C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为 　6　. （第9题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 分类讨论思想 已知抛物线y＝a（x－h）2＋k与x轴有两个交点A（－1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x－h－m）2＋k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是 　5或1　. 11. 已知函数y＝ （1） 此函数图象的对称轴是 　直线x＝3　. （2） 若使y＝k成立的x的值恰好有四个，则k的取值范围是 　－1＜k＜3　. 5或1　 直线x＝3　 －1＜k ＜3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标互为相反数的点称为“完美点”，把图象顶点是“完美点”的二次函数称为“完美函数”. （1） 若（a2＋1，－2a）是“完美点”，则a＝ 　1　. （2） 已知某“完美函数”图象的顶点在直线y＝x－2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式. 解：该“完美函数”的表达式为y＝－x2＋2x－2或y＝3x2－6x＋2. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $