21.2第3课时　二次函数y＝a（x＋h）2的图象和性质课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数 $y = a(x + h)^2$ 的图象与性质，以 $y = ax^2$ 为起点，通过平移关系自然过渡到顶点式函数的结构特征，构建从基础到进阶的学习支架。教学设计由具体数值描点入手，引导学生观察开口方向、对称轴和顶点变化规律，再抽象出一般性结论，形成“实例感知—归纳总结—应用拓展”的完整认知链条。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与逻辑推理能力培养。例如，通过对比 $y = ax^2$ 与 $y = a(x + h)^2$ 的图象位置差异，强化学生对“左加右减”平移规律的理解，体现符号意识与空间观念；在第7题中借助绝对值不等式分析函数值大小关系，训练运算能力和推理意识；第13题结合图形变换与坐标运算，展现数学语言表达现实问题的能力。这种层层递进的教学设计既帮助学生建立清晰的知识结构，又提升教师课堂组织效率与深度探究能力。

21.2　二次函数的图象和性质 第3课时　二次函数y＝a（x＋h）2的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0,c） （0,c） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征. 问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系？ 答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-c个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 讲授新课 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 一 互动探究 引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y轴 x=2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －4.5 0 x y －8 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) 二次函数 y=a(x+h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 知识要点 向右平移 1个单位 二次函数y=ax2与y=a(x+h)2的关系 二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 知识要点 二次函数y=a（x+h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 例1. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 复习y=ax2+k 探索y=a(x+h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 课堂小结 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 1. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象可能是（　D　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 对于二次函数y＝－2（x＋3）2，下列说法正确的是（　B　） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线x＝－3 C. 当x＞－4时，y随x的增大而减小 D. 其图象的顶点坐标为（－2，－3） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. ★抛物线y＝x2＋1经过平移得到抛物线y＝（x＋1）2的方法是（　） A. 向左平移1个单位，向下平移1个单位 B. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 C. 向左平移1个单位，向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，向上平移1个单位 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 已知点（－7，y1），（－3，y2），（4，y3）都在二次函数y＝a（x＋1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2与y3的大小关系为 　y2＞y3＞y1　（用“＞”连接）. 5. 一个二次函数y＝a（x－k）2的图象，有以下特点：① 开口向上；② 对称轴是直线x＝2；③ 与y轴的交点到原点的距离为2.该二次函数的表达式为 　y＝ （x－2）2　. y2＞y3＞ y1　 y＝ （x－2）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知二次函数y＝a（x＋m）2（a≠0）的图象的顶点坐标为 （－1，0），且经过点A . （1） 求这个二次函数的表达式. 解：（1） ∵ 二次函数y＝a（x＋m）2的图象的顶点坐标为 （－1，0），∴ m＝1.∴ y＝a（x＋1）2.把 代入，得－ ＝a（－2＋1）2，解得a＝－ .∴ 这个二次函数的表达式为y＝－ （x＋1）2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 点B（2，－2）在这个函数的图象上吗？ 解：（2） 把x＝2代入y＝－ （x＋1）2，得y＝－ ×（2＋1）2＝ － .∵ － ≠－2，∴ 点B（2，－2）不在这个函数的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （3） 你能通过左右平移该函数图象，使它经过点B吗？若能，请写出平移方案. 解：（3） 能.设平移后的图象对应的函数表达式为y＝－ （x＋1＋n）2.把（2，－2）代入，得－2＝－ （2＋1＋n）2，解得n1＝－1，n2＝－5.∴ 将该函数图象向右平移1个单位或5个单位，即可经过点B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知二次函数y＝a（x－2）2，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2.若｜x1－2｜＞｜x2－2｜，则下列选项正确的是（　） A. y1＋y2＞0 B. y1－y2＞0 C. a（y1－y2）＞0 D. a（y1＋y2）＜0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 两个二次函数的图象如图所示，其顶点M，N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点.若AB＝7，BC＝3，CD＝3，则MN的长度是（　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （第8题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 已知a＞0，设函数y1＝a（x－1）2，y2＝a（x－2）2，y3＝a（x－3）2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A （m，c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（　D　） A. 若m＜1，则c2＜c3＜c1 B. 若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3 C. 若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1 D. 若m＞3，则c3＜c2＜c1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当2≤x≤5时，函数的最大值为－4，则h的值为 　0或7　. 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x－2）2 与x轴交于点A，与y轴交于点B. 过点B作BC∥x轴， 交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D， 点P在BC下方的抛物线上（点P不与点B，C重合）， 连接PC，PD，则△PCD面积的最大值为 　4　. 0或7　 4　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知函数y＝ 当自变量x≤m时，函数的最小值为0，则m的取值范围是 　1≤m≤3　. 1≤m≤3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （第13题） 13. 如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1.现把△OAB沿x轴的正方向平移1个单位后得到△AA1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 求以A为顶点，且经过点B1的抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ OA＝AB＝1，∠OAB＝90°，∴ A （1，0），B（1，1）. 平移的性质，得A1（2，0），B1（2，1）.∵ 抛物线的顶点为A（1，0）， ∴ 可设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－1）2.把B1（2，1）代入y＝a（x－1）2，得a＝1.∴ 以A为顶点，且经过点B1的抛物线对应的函数表达式为y＝ （x－1）2. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点C，D的坐标. 解：（2） 设直线OB对应的函数表达式为y＝kx.把B （1，1）代入y＝kx，得k＝1.∴ 直线OB对应的函数 表达式为y＝x.联立 解得 或 （不合题意，舍去）.∴ 点C的坐标为 .在y＝（x－1）2中，当x＝0时，y＝1，∴ 点D的坐标为（0，1）. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $