21.2 第2课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 课件 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.2　二次函数的图象和性质 第2课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) 一 做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 讲授新课 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象，说说它有哪些特征. 探究归纳 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0) 的性质是什么？ y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 二 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0) ( 0，2) ( 0,-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 知识要点 例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 解析式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 +1 -1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移 三 2x2+1 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 从形的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 1. 下列图象中，有可能是函数y＝ax2＋a（a≠0）的图象的是（　A） 　　 　　 　　 A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 对于二次函数y＝3x2－2，下列说法中错误的是（　D　） A. 其图象开口向上 B. 其图象关于y轴对称 C. 有最小值为－2 D. 当x＞0时，y随x的增大而减小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，－1）的抛物线对应的函数表达式： 　y＝x2－1　.（答案不唯一） 4. ★把函数y＝x2－1的图象沿y轴向上平移1个单位，可以得到函数 　y＝x2　的图象. y＝x2－1　 （答案不唯一） y ＝x2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝ x2＋1与y＝－ x2－1的图象. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 从开口方向、形状、对称轴、顶点等方面，说出这两个函数图象的相同点与不同点. 解：如图，抛物线y＝ x2＋1与y＝－ x2－1即为所求作. （第5题答案） （第5题答案） （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （1） 这两个函数图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴都是y轴.不同点：抛物线y＝ x2＋1的开口向上，顶点坐标是（0，1），抛物线y＝－ x2－1的开口向下，顶点坐标是（0，－1）. （第5题答案） （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 说出这两个函数的性质有何相同点与不同点. 解：如图，抛物线y＝ x2＋1与y＝－ x2－1即为所求作. （第5题答案） （第5题答案） （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） 这两个函数的性质的相同点：抛物线的开口程度相同.不同点：对于y＝ x2＋1，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；对于y＝－ x2－1，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大. （第5题） （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. （2024·阜阳太和期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）和二次函数y＝ax2＋b（a≠0）的图象大致为（　D　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 已知A（m，y1），B（－m－1，y2）是抛物线y＝x2－1上的两点，其中｜m｜＞1，下列判断正确的是（　B　） A. m（y1－y2）＞0 B. m（y1－y2）＜0 C. y1－y2＞0 D. y1－y2＜0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 转化法 如图，两条抛物线y1＝－ x2＋1，y2＝－ x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的涂色部分的面积为（　A　） A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 （第8题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. （2023·广东）如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　B　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 （第9题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图所示为一个半圆和抛物线的一部分围成的“杧果”，A，B，C，D分别是“杧果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线对应的函数表达式为y＝ x2－ ，则CD的长为 　 　. （第10题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 函数y＝｜x2－4｜的大致图象如图所示，对于方程｜x2－4｜＝m（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 　4　. （第11题） 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $