21.2第1课时　二次函数y＝ax2的图象和性质课件2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.2　二次函数的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2的图象和性质 第21章　二次函数与反比例函数 讲授新课 二次函数y=ax2的图象 一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 例1 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x o y=x2 议一议 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 知识要点 2. 图像关于y轴对称; 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识要点 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 知识要点 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 例1已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 典例精析 例2：已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 典例精析 20 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 课堂小结 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 1. 二次函数y＝5x2的图象一定经过（　A　） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 2. （2024·广州期中）已知二次函数y＝（2－a） ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（　C　） A. B. ± C. － D. 0 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 抛物线y＝ x2，y＝x2，y＝－x2有以下共同特点：① 都是开口向上；② 都以（0，0）为顶点；③ 都以y轴为对称轴；④ 都关于x轴对称.其中，正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝－ x2上，若x1＜x2＜0，则y1 　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数y＝（m＋2） 是关于x的二次函数. （1） 求实数m的值. 解：（1） 根据题意，得m＋2≠0，且m2＋m－4＝2，解得m1＝2，m2＝－3. （2） 当m为何值时，抛物线有最低点？请求出这个最低点，并写出当x为何值时，y随x的增大而增大. 解：（2） 当m＝2时，抛物线有最低点，此时抛物线对应的函数表达式为y＝4x2.∴ 抛物线的最低点为（0，0）.当x＞0时，y随x的增大而增大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3） 当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？请写出当x为何值时，y随x的增大而减小. 解：（3） 当m＝－3时，函数有最大值，此时函数的表达式为y＝－x2.∴ 函数的最大值是0.当x＞0时，y随x的增大而减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 函数y＝ax2与y＝－ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　） 　　 　　 　　 A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 有下列二次函数：① y＝2x2；② y＝－x2；③ y＝ x2.将它们按图象开口从大到小排列正确的是（　D　） A. ③①② B. ②③① C. ②①③ D. ③②① D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，正方形的边长为 ，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝3x2与y＝－3x2的图象，则图中涂色部分的面积是 　3　. （第8题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝ （x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则 ＝ 　3－ 　. （第9题） 3－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图，A，B，C是函数y＝x2图象上的动点，且三点的横坐标依次为a＋1，a，a－1.小华用软件对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为 　1　. （第10题） 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A，E在抛物线y＝ax2上，过点A，E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B，F，过点E，F分别作x轴的垂线，交线段AB于点C，D. 当点E的坐标为（2，4），四边形CDFE为正方形时，线段AB的长为 　4 　. （第11题） 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. P为抛物线y＝ x2上一动点，直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，－1），过点P作PM⊥l于点M. （1） 如图①，在对称轴上存在一定点F，使得PM＝PF恒成立，求点F的坐标. （第12题） 解：（1） 过点P作PB⊥y轴于点B. 设点P的坐标为 . ∴ PM＝PF＝ a2＋1.∵ PB＝｜a｜，∴ 在Rt△PBF中，BF＝ ＝ ＝ .∵ OB＝ a2，F为定点，∴ 易得点F的坐标为（0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 如图②，在（1）的条件下，若点Q的坐标为（1，5），求QP＋PF的最小值. （第12题） 解：（2） ∵ PM＝PF，∴ QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值.∴ 当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值，最小值为点Q的纵坐标的绝对值加点M的纵坐标的绝对值.∴ QP＋PF的最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $