第5章 5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第五章　统计与概率 5.1　统计 5．1.2　数据的数字特征 第2课时　极差、方差与标准差 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学 极差、方差与标准差 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 差 离散 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 大 小 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.理解极差、方差和标准差的意义和作用．(难点) 2．会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题．(重点) 1.通过计算极差、方差与标准差，主要提升学生数学运算核心素养． 2．通过数字特征的统计含义的简单应用，重点培养学生数据分析核心素养． 　方差与标准差与原始数据的单位如何？试分析在解决实际问题中的差异． [提示]　标准差与原始数据的单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方，方差主要是平方后夸大了偏离的程度，虽然它们均反映了样本数据的离散程度，但在实际问题中常用标准差． ◎结论形成 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的__．极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的____程度． 2．方差 (1)定义 如果x1，x2，…，xn的平均数为 eq \o(x,\s\up16(－))，则方差为s2＝________________. (2)性质 若a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为________． eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, )(xi－ eq \o(x,\s\up16(－)))2 a2s2 3．标准差：即方差的算术平方根． 4．方差和标准差的统计含义 方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差、方差较大，数据的离散程度较__；标准差、方差较小，数据的离散程度较__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极差反映了一组数据变化的最大幅度．(　　) (2)方差与原始数据单位相同．(　　) (3)给定一组数据，标准差是不唯一的．(　　) (4)x1，x2，x3，x4的方差为s2，则3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2的标准差为 eq \r(9s2－2).(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　B．中位数　　C．方差　　D．众数 解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案　C 3．已知样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为________________． 解析　依题意得 eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1.∴样本方差s2＝ eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2－(3－1)2]＝2. 答案　2 4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下： 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则两人射击成绩的稳定程度是________________． 解析　∵ eq \x\to(x)甲＝8， eq \x\to(x)乙＝8，而s eq \o\al(2,甲)＝1.2，s eq \o\al(2,乙)＝1.6，s eq \o\al(2,甲)＜s eq \o\al(2,乙)，∴甲稳定性强． 答案　甲比乙稳定 题型一　极差、方差与标准差的计算 　从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高： 甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42. 乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40. 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差． (参考数据： eq \r(104.2)≈10.208， eq \r(128.8)≈11.349) [解析]　 eq \x\to(x)甲＝ eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s eq \o\al(2,甲)＝ eq \f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝ eq \r(104.2)≈10.208. eq \x\to(x)乙＝ eq \f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31. 同理s eq \o\al(2,乙)＝128.8，s乙＝ eq \r(128.8)≈11.349. 计算方差、标准差的步骤 (1)算出样本数据的平均数 eq \x\to(x). (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－ eq \x\to(x)(i＝1，2，3，…，n). (3)算出(2)中xi－ eq \x\to(x)(i＝1，2，3，…，n)的平方． (4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差.　 [触类旁通] 1．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的 eq \f(2,3)倍，则该数据的方差为________________． 解析　根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷ eq \f(2,3)＝3， 把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10， 则 eq \f(2＋x,2)＝3，解得x＝4， 所以这组数据的平均数为 eq \x\to(x)＝ eq \f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，s2＝ eq \f(1,6)[(1－4)2＋(10－4)2＋(5－4)2＋(2－4)2＋02＋(2－4)2]＝9. 答案　9 题型二　方差性质及其应用 　设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为(　　) A．1＋a，4　　　　　　 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a [解析]　∵x1，x2，…，x10的平均数 eq \x\to(x)＝1，方差s eq \o\al(2,1)＝4，且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数 eq \x\to(y)＝ eq \f(1,10)·(y1＋y2＋…＋y10)＝ eq \f(1,10)·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝ eq \f(1,10)·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝ eq \x\to(x)＋a＝1＋a， 其方差s eq \o\al(2,2)＝ eq \f(1,10)·[(y1－ eq \x\to(y))2＋(y2－ eq \x\to(y))2＋…＋(y10－ eq \x\to(y))2]＝ eq \f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s eq \o\al(2,1)＝4.故选A． [答案]　A 若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\to(x)，方差为s2，则yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n的平均数为a eq \x\to(x)＋b，方差为a2s2.　 [触类旁通] 2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析　样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16. 答案　C 题型三　数字特征的实际应用 　甲、乙两名跳高运动员进行了8次比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70　1.65　1.68　1.69　1.72　1.73　1.68　1.67； 乙：1.60　1.73　1.72　1.61　1.62　1.71　1.70　1.75. (1)甲、乙两名运动员的平均跳高成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)教练根据这8次成绩，从甲、乙两名运动员中挑选一个参加省大学生运动会，若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能获得冠军呢？ [解析]　(1)甲的平均成绩为 eq \f(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67,8) ＝1.69(m)； 乙的平均成绩为 eq \f(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75,8) ＝1.68(m). (2)s eq \o\al(2,甲)＝ eq \f(1,8)×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6. s eq \o\al(2,乙)＝ eq \f(1,8)×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定． (3)由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，且甲1.65 m及以上的成绩有8次，乙1.65 m以上的成绩有5次，所以若跳过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛． 由于甲1.70 m及以上的成绩有3次，乙1.70 m及以上的成绩有5次，所以若跳过1.70 m才能获得冠军，应派乙参赛． [素养聚焦]　　通过数字特征的应用，重点提升数据分析核心素养． 平均数、方差、标准差在决策中的应用 (1)在实际应用中，常常把平均数与方差(标准差)结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差(标准差)以确定稳定性．当平均数差异较大时，不必考虑方差． (2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质量的重要指标，当样本的平均数或标准差超过规定界限时，说明这批产品的质量可能离生产要求有较大的偏差，应该进行检查，找出原因，从而及时解决问题.　 [触类旁通] 3．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低).去年测评的结果(单位：分)如下： 甲校：96，112，97，108，100，103，86，98； 乙校：108，101，94，105，96，93，97，106； (1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差； (2)根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好． 解析　(1) eq \o(x,\s\up16(－))甲＝ eq \f(1,8)(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100， eq \o(x,\s\up16(－))乙＝ eq \f(1,8)(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100， s eq \o\al(2,甲)＝ eq \f(1,8)[(96－100)2＋(112－100)2＋(97－100)2＋(108－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2＋(86－100)2＋(98－100)2]＝55.25， s eq \o\al(2,乙)＝ eq \f(1,8)[(108－100)2＋(101－100)2＋(94－100)2＋(105－100)2＋(96－100)2＋(93－100)2＋(97－100)2＋(106－100)2]＝29.5. (2)甲、乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好． 知识落实 技法强化 1.极差、方差与标准差的计算公式． 2．极差、方差与标准差的统计含义． 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定． $