5.1.2数据的数字特征（同步课件）数学人教B版必修第二册

5.1 统计 5.1.2 数据的数字特征 第5章 统计与概率 情境引入 情境与问题：如下是某学校高一(1)班和高一(2)班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比. 高一(1)班期中考试语文成绩 高一(2)班期中考试语文成绩 新知探索 在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值.例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较. 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.一般地，最大值用表示，最小值用表示. 日常生活中，有时我们只关心数据的最值.比如，高考部分科日实行“一年多考”，最终取的是多次考试成绩中的最大值；举重比赛中，选手有三次“试举”机会，其中成绩的最大值将计人总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等. 新知探索 日常生活中，我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置).例如，为了减少测量的误差，一般取多次测量值的平均数作为最终的测量值；在有多个评委的比赛中，一般也以各评委给出分数的平均数作为最后的成绩；等等. 如果给定的一组数是，，，，则这组数的平均数为 . 这一公式在数学中常简计为，其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面. 新知探索 例如，，. 不难看出，求和符号∑具有以下性质： (1)； (2)； (3). 新知探索 尝试与发现：某武术比赛中，共有个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分.按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分： 选手 评委 评委 评委 评委 评委 评委 评委 最后得分 甲 ______ 乙 ______ 丙 ______ 新知探索 平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值.很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数.但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别，请读者自行说明理由. (1)从数学的角度，讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数，以及平均数具有什么特点； (2)有人认为，应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别. 新知探索 当计算上述甲选手的最后得分时，在把与去掉之后，可以先把其余数都减大，得到新的数为因为这一组数的平均数为，所以可知甲的最后得分为.其余选手的得分可以用类似的方法得到. 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果，，，的平均数为，且，为常数，则，，，的平均数为，这是因为 . 新知探索 我们知道，一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平均数容易受到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置. 尝试与发现：有甲、乙两组，每组有名成员，他们暑假读书的本数分别如下： 甲组：，，，，，； 乙组：. (1)分别求出两组数据的平均数； (2)平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么数来表示？ 新知探索 上述甲、乙两组数的平均数均为，但是用来刻画乙组数的中心位置是不合适的，因为这组数中，有个数都不大于. 甲组：，，，，，；乙组：. 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为，，，，则称为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为，，，，则称为这组数的中位数. 新知探索 尝试与发现：指出甲、乙两组数的中位数，并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点？如果不能，有什么补救的办法？ 序号 甲组 乙组 当数据个数较多时，如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布特点的，例如，上述甲、乙两组数的中位数都是，但是甲组数中，小于的数普遍比乙组的大，而大于的数普遍比乙组的小. 新知探索 更具体地，将甲、乙两组数小于的前个数分别看成一组数，则它们的中位数分别是，_____，这两个数能够反映甲、乙两组数小于的数的分布特点，因为这两个数是通过找小于或等于中位数的所有数的中位数得到的，所以它们分别称甲、乙两组数的分位数. 一般地，当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点. 一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值. 新知探索 直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数.例如，中位数就是一个分位数. 按照定义可知，分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的分位数可能会有差异. 为了方便，我们按如下方式确定分位数：设一组数按照从小到大排列后为，，，，计算的值，如果不是整数，设为大于的最小整数，取为分位数；如果是整数，取为分位数.特别地，规定：分位数是(即最小值)，分位数是(即最大值). 例析 例1 计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的分位数. 解 因为这个数据个数为，而且， 所以，甲组数的分位数为； 乙组数的分位数为__________________________. 实际应用中，除了中位数外，经常使用的是分位数(简称为第一四分位数)与分位数(简称为第三四分位数). 由此可知，如果尝试与发现中的甲组数用，，来刻画，乙组数用来刻画，则大致可以看出它们的数的分布特点. 新知探索 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.有些情形中，我们用众数来描述一组数据的中心位置. 新知探索 情境与问题：某班级准备利用暑假区进行研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据： 你认为应该定做什么容量的双肩包？为什么？ 容量 频数 为了照顾到绝大多数人的需求，此时应该定做容量为的双肩包，这里的就是上述数据的众数. 新知探索 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度. 描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差. 如果，，，的平均数为，则方差可用求和符号表示为. 新知探索 此时，如果为常数，则，，，的方差为， 这是因为 . 方差的算术半方根称为标准差.由此可知，如果一组数中,各数据值都相等，则标准差为，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高.因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度. 例析 例2 计算下列各组数的平均数与方差： (1)，，，，，，； 解(1) 将每一个数乘以，再减去，可得. 这组新数的平均数为， 由此可知，所求平均数为，方差为. 方差为 . 例析 例2 计算下列各组数的平均数与方差： (2)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 解(2) 可将数据整理为 频数 每一个数都减去可得 频数 这组数的平均数为， 方差为. 因此，所求平均数为，方差为. 新知探索 用计算机软件可以方便快捷地求得一组数的各种数字特征. 例如，为了求例2(1)中数据的数字特征，可以将它们输入的表格中，然后使用相应的函数即可，如图所示. 其中，求第一四分位数输入的是“”，求第三四分位数输入的是“”. 新知探索 用软件的表格区也可实现类似的功能，但是函数的名称不一致，如图所示. 其中，求第一四分位数输入的是“”，求第三四分位数输入的是“”. 练习 题型一：众数、中位数、平均数的计算 例1.(1)一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为( ). A.14，14 B.12，14 C.14,15.5 D.12,15.5 答案：A. 例1.(2)已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18, 17,15,13，设其平均数为中位数为，众数为，则有( ). A. B.b C. D. 答案：D. 练习 方法技巧： 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算. 【注】如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值. 练习 变1.(1)某学习小组在一次数学试验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（ ）. A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分 C.87分、85分、85分 D.87分、85分、90分 答案：C. 变1.(2)某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分.某学生所得分数为9.6，9.4，9.6，9.7，9.7，9.5，9.6，这组数据的众数是____，该学生最后得分为____. 答案：9.6,9.6. 练习 题型二：百分位数的计算及应用 例2.已知甲、乙两组数据如下： 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 则甲、乙两组数据的第25%分位数分别为______，_______；第75%分位数分别为_______,_______. 答案：2.5，1；9.5,12. 练习 方法技巧： 频率分布直方图中第百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间. (2)确定小于和小于的数据所占的百分比分别为，则第百分位数为 练习 题型三：方差和标准差的计算 例3.甲、乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量,数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 练习 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解(1)： ， (2)两台机床加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定. 练习 方法技巧： 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差，方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差. (2)标准差、方差的取值范围是.标准差，方差为0时，样本各数距相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性. 练习 变3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____. 答案：2. 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 课堂小结&作业 课堂小结： 1.最值、极差的概念及计算； 2.平均数、中位数、众数的概念及计算； 3.百分位数、方差与标准差的概念及计算. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P70的练习，练习； (3)课本P90习题的第1、3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$