第5章 5.1.2 第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第五章　统计与概率 5.1　统计 5．1.2　数据的数字特征 第1课时　最值、平均数、中位数、百分位数、众数 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 平均水平 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 xn＋1 集中趋势 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 p% (100－p)% xi0 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 最小值 最大值 中位数 第一四分位数 第三四分位数 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 频数 最多 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.结合实例，掌握最值、平均数、中位数、百分位数、众数的定义，理解集中趋势参数的统计含义．(难点) 2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关的实际问题．(重点) 1.通过计算数据的数字特征，主要提升数学运算核心素养． 2.通过数字特征统计含义的应用，重点培养学生数据分析核心素养． 　平均数、中位数、百分位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关？它有何缺点？ [提示]　平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 　平均数、中位数、百分位数、众数中哪些是一定出现在已知数据中的？哪些不一定出现在已知数据中？ [提示]　众数一定会出现在已知数据中，但可能不是唯一的，而平均数、中位数、百分位数不一定出现在已知数据中． ◎结论形成 1．最值 一组数据的最值指的是其中最大值与最小值，最值反映的是这组数据最极端的情况，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数 (1)定义 如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为 eq \o(x,\s\up16(－))＝______________________． 这一公式在数学中常简记为 eq \o(x,\s\up16(－))＝_________． eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn) eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n,x)i (2)求和符号∑的性质 ① eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi)＝__________； ② eq \i\su(i＝1,n, )(kxi)＝____； ③ eq \i\su(i＝1,n,t)＝____． eq \i\su(i＝1,n,x)i＋ eq \i\su(i＝1,n,y)i k eq \i\su(i＝1,n,x)i nt (3)平均数的性质 如果x1，x2，…，xn的平均数为 eq \o(x,\s\up16(－))，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为________． (4)统计含义 平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数、百分位数和中位数都不具有的性质．所以与众数、百分位数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． a eq \o(x,\s\up16(－))＋b 3．中位数、百分位数 (1)中位数定义 如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称______为这组数据的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称________为这组数据的中位数． (2)中位数的统计含义 一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的________． eq \f(xn＋xn＋1,2) (3)百分位数 ①定义 一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有____的数据不大于该值，且至少有______________的数据不小于该值． ②计算方法 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取______为p%分位数；如果i是整数，取________为p%分位数． eq \f(xi＋xi＋1,2) ③几个特殊的百分位数 0分位数是______，100%分位数是______，50%分位数是______，25%分位数简称为____________，75%分位数简称为____________． 4．众数 (1)定义 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的____，出现次数____的数据称为这组数据的众数． (2)统计含义 一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于一组数据来说，众数是唯一的．(　　) (2)中位数在一组数据中是唯一的，且一定是这组数据中的一个数据．(　　) (3)x1，x2，x3的平均数为 eq \o(x,\s\up16(－))，则2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数为2 eq \o(x,\s\up16(－))－1.(　　) (4)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的25%分位数为6.(　　) 解析　(1)众数可能不唯一． (2)中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据． (3)2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数为2 eq \o(x,\s\up16(－))－1，故正确． (4)这组数据的25%分位数为5.故错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数 　B．中位数 　C．方差 　　D．众数 解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案　C 3．下列关于50%分位数的说法正确的是(　　) A．50%分位数就是中位数 B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C．它是四分位数 D．它适用于总体是离散型的数据 解析　由百分位数的意义可知选项B，C，D错误． 答案　A 4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_________． 解析　 eq \f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6. 答案　6 题型一　众数、中位数、平均数的简单应用\a\vs4\al(（一题多变） 　在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分别是4∶11，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中位数． [解析]　甲选手各局的得分分别是：4，8，11，4，11，11，11； 按照从小到大的顺序排列是：4，4，8，11，11，11，11； 乙选手各局的得分分别是：11，11，5，11，9，8，6； 按照从小到大的顺序排列是：5，6，8，9，11，11，11. (1)平均数 eq \o(x,\s\up16(－))甲＝ eq \f(1,7)(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝ eq \f(60,7)， eq \o(x,\s\up16(－))乙＝ eq \f(1,7)(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝ eq \f(61,7)； (2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11，乙的中位数是9. [母题变式] (变条件、变结论)例1中若最后一局的比分变为11∶a，其他6局的比分不变，且已知乙运动员成绩的平均数为9，求a的值． 解析　由 eq \f(1,7)(11＋11＋5＋11＋9＋8＋a)＝9， 得a＝8. 平均数、众数、中位数的求解策略 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计． (2)求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数． (3)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.　 [触类旁通] 1．(1)(2024·浙江杭州高一期中)某校素质运动会上，10个男生的引体向上个数依次为15，17，14，12，10，17，17，16，12，14，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　) A．c>b>a　　　　　 B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a (2)如果将一组数据5，4，6，5，4，13，5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是(　　) A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 解析　(1)该组数据的平均数a＝ eq \f(15＋17＋14＋12＋10＋17＋17＋16＋12＋14,10)＝14.4； 将引体向上的个数按照从小到大的顺序排列为10，12，12，14，14，15，16，17，17，17， 则中位数b＝ eq \f(14＋15,2)＝14.5；该组数据的众数c＝17.∴c>b>a. (2)将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5，每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5，这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，B、C错误．平均数 eq \f((5＋4＋6＋5＋4＋13＋5)×10,70)＝6，故D错误． 答案　(1)A　(2)A 题型二　百分位数 　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数． [解析]　将所有数据从小到大排列，得 7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4， 则25%分位数是 eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15， 75%分位数是 eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75， 95%分位数是第12个数据为9.9. 计算一组数据p%分位数的方法步骤 (1)按照从小到大排列原始数据． (2)计算i＝np%. (3)若i不是整数，大于i的最小整数j，则p%分位数为第j项数据；若i是整数，则p%分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.　 [触类旁通] 2．某省公布了该省6个县市的人均二氧化碳排放量． 县(市) A1 A2 A3 A4 A5 A6 人均排放量/吨 2.0 7.5 3.9 5.3 6.4 5.7 则：①这6个县市人均二氧化碳排放量的中位数是________________； ②人均二氧化碳排放量较少的前25%的县市为________________． 解析　把这组数据由小到大排序得：2.0，3.9，5.3，5.7，6.4，7.5. ①人均二氧化碳排放量的中位数是5.5 ②∵6×25%＝1.5，∴25%分位数是3.9，即应填A1和A3. 答案　①5.5　②A1和A3 题型三　平均数、中位数、众数 　据报道，某公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润(单位：万元)如下表所示： 部门 A B C D E F G 人数 1 1 2 1 5 3 20 每人所创年利润 5.5 5 3.5 3 2.5 2 1.5 (1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数． (2)假设部门A每人所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B每人所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？ (3)在(2)的条件下，你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？ [解析]　(1) eq \x\to(x)＝ eq \f(5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈2.1(万元)，中位数为1.5(万元)，众数为1.5(万元). (2) eq \x\to(x)′＝ eq \f(30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈3.3(万元)，中位数为1.5(万元)，众数为1.5(万元). (3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平． [素养聚焦]　　通过数字特征的应用，重点提升数据分析核心素养． 平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重： (1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变． (2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映这组数据的集中趋势． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势.　 [触类旁通] 3．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示． 用水量/t 22 38 40 41 44 50 95 天数 1 1 1 2 2 1 2 (1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？ (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？ 解析　(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是 eq \o(x,\s\up16(－))＝ eq \f(1,10)×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t)； 每天用水量的中位数是 eq \f(41＋44,2)＝42.5(t). (2)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适． 知识落实 技法强化 数据的数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和使用． 选择合适的数字特征体现数据的分布特点： (1)最值：反映一组数据的极端情况． (2)平均数：反映了数据的“平均水平”． (3)中位数和百分位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；缺点是对极端值不敏感．结合百分位数可更好地确定数据的分布特征． (4)众数反映了一组数据的“多数水平”． $