第5章 5.3.5 随机事件的独立性(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第五章　统计与概率 5.3　概率 5．3.5　随机事件的独立性 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学 随机事件的独立性 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 P(A)P(B) 概率 不会 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第五章　统计与概率 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.结合实例，理解两个随机事件独立性的意义．(难点) 2．掌握相互独立事件的概率乘法公式，并能应用公式求事件的概率．(重点) 1.通过学习事件的独立性概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过相互独立事件的概率公式的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． 　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A：从甲箱里摸出白球，B：从乙箱里摸出白球． (1)直观上，你觉得事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ (2)P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ (3)P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ [提示]　(1)不影响． (2)由古典概型公式可得P(A)＝ eq \f(3,5)，P(B)＝ eq \f(1,2)， P(AB)＝ eq \f(3×2,5×4)＝ eq \f(3,10). (3)P(AB)＝P(A)·P(B). ◎结论形成 1．相互独立事件的定义 当P(AB)＝__________时，就称事件A与B相互独立(简称独立).A与B相互独立的直观理解是事件A是否发生不会影响事件B发生的____，事件B是否发生也____影响事件A发生的概率． 2．性质 如果A与B相互独立，则 eq \o(A,\s\up16(－))与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－))， eq \o(A,\s\up16(－))与 eq \o(B,\s\up16(－))也相互独立． 点睛 1．A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B). 2．互斥事件与相互独立事件的区别 (1)相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，前者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，后者是指在一次试验中不能同时发生的两个事件． (2)A与B独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)，而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)却不能得到A与B互斥． 3．推广 事件A1，A2，…，An相互独立的充要条件是P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件 eq \o(A,\s\up16(－))与事件B也相互独立．(　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)))P( eq \o(B,\s\up16(－))).(　　) (4)事件A与B可以是相互独立但不互斥．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某射击运动员射击一次命中目标的概率为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　) A．0.64　　　　　　　　 B．0.56 C．0.81 D．0.99 解析　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1，2， 则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 答案　C 3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　) A． eq \f(14,25) B． eq \f(12,25) C． eq \f(3,4) D． eq \f(3,5) 解析　由题意可知甲乙同时中靶的概率为 eq \f(8,10)× eq \f(7,10)＝ eq \f(14,25). 答案　A 4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　) A． eq \f(7,64) B． eq \f(25,192) C． eq \f(35,192) D． eq \f(35,576) 解析　由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为 eq \f(25,60)× eq \f(35,60)× eq \f(45,60)＝ eq \f(35,192). 答案　C 题型一　相互独立事件的判断 　(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C＝“两个点数之和为8”；D＝“两个点数之和为7”，则(　　) A．A与B相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C相互独立 D．C与D相互独立 [解析]　抛掷两枚质地均匀的骰子共有36种等可能情况， 当Ⅰ号骰子出现的点数为1的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，共6种，则P(A)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6)； 当Ⅱ号骰子出现的点数为2的有(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，共6种，所以P(B)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6)； 当两个点数之和为8的有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5种，所以P(C)＝ eq \f(5,36)； 当两个点数之和为7的有(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共6种，所以P(D)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6). 因为事件AB表示“Ⅰ号骰子出现的点数为1且Ⅱ号骰子出现的点数为2”，只有1种情况，所以P(AB)＝ eq \f(1,36)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以A正确； 因为事件AD表示“Ⅰ号骰子出现的点数为1且两个点数之和为7”，只有1种情况，所以P(AD)＝ eq \f(1,36)，所以P(AD)＝P(A)P(D)，所以A与D相互独立，所以B正确； 因为事件BC表示“Ⅱ号骰子出现的点数为2且两个点数之和为8”，只有1种，所以P(BC)＝ eq \f(1,36)，而P(B)P(C)＝ eq \f(1,6)× eq \f(5,36)≠ eq \f(1,36)，所以B与C不相互独立，所以C错误； 因为事件CD表示“两个点数之和为8且两个点数之和为7”，没有这种情况，所以P(CD)＝0≠P(C)·P(D)，所以C与D不相互独立，所以D错误．故选AB． [答案]　AB 两个事件是否相互独立的判断方法 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.　 [触类旁通] 1．(多选题)(2024·山东潍坊高一期末)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则(　　) A．A与D相互独立 B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 解析　不放回依次取出两个球，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，共12种， 事件A＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}； 事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}； 事件C＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}； 事件D＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}． 事件AD＝∅，事件AB＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}， 事件BD＝{(1，2)，(2，1)}，事件AC＝{(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}， 则P(A)＝ eq \f(8,12)＝ eq \f(2,3)，P(B)＝ eq \f(6,12)＝ eq \f(1,2)，P(C)＝ eq \f(6,12)＝ eq \f(1,2)，P(D)＝ eq \f(4,12)＝ eq \f(1,3)， P(AD)＝0，P(AB)＝ eq \f(4,12)＝ eq \f(1,3)，P(BD)＝ eq \f(2,12)＝ eq \f(1,6)，P(AC)＝ eq \f(4,12)＝ eq \f(1,3)， 所以P(AD)≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立； P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立； P(BD)＝P(B)P(D)，所以B与D相互独立； P(AC)＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立；故选BCD． 答案　BCD 题型二　相互独立事件的概率 　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． [解析]　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－))， eq \o(A,\s\up16(－))与B， eq \o(B,\s\up16(－))与 eq \o(A,\s\up16(－))都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”， 则D＝ eq \o(A,\s\up16(－))B，所以P(D)＝P( eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 判 判断所给事件是否为相互独立事件 记 将所给事件记为事件A，B，C… 求 确定事件可以同时发生，求出每个事件发生的概率并求其积 答 对所问问题作答 [触类旁通] 2．(2024·河南安阳高一期末)甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为 eq \f(1,4)，两人同时中奖的概率为 eq \f(1,20). (1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率； (2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率． 解析　(1)设A表示事件“甲在一轮抽奖中中奖”， 则由条件可知P(A)＝ eq \f(1,4)，P( eq \o(A,\s\up16(－)))＝ eq \f(3,4)， 甲在两轮抽奖中中奖一次的情况为第一轮中奖，第二轮未中奖；第一轮未中奖，第二轮中奖， 故概率为P＝P(A)P( eq \o(A,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(A)＝ eq \f(3,8). (2)设B表示事件“乙在一轮抽奖中中奖”，由已知可得P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(1,20)， 所以P(B)＝ eq \f(1,5)，P( eq \o(B,\s\up16(－)))＝ eq \f(4,5). 两人在两轮抽奖中，共有三次中奖，分两种情况： 第一种情况，其中一轮甲中奖乙未中奖，另一轮两人同时中奖， 概率为P1＝2P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)))P(AB)＝2× eq \f(1,4)× eq \f(4,5)× eq \f(1,20)＝ eq \f(1,50). 第二种情况，其中一轮乙中奖甲未中奖，另一轮两人同时中奖， 概率为P2＝2P(B)P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(AB)＝2× eq \f(1,5)× eq \f(3,4)× eq \f(1,20)＝ eq \f(3,200). 故所求概率为P＝P1＋P2＝ eq \f(1,50)＋ eq \f(3,200)＝ eq \f(7,200). 题型三　相互独立事件的综合问题（一题多变） 　某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ [解析]　分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))表示， P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P( eq \o(B,\s\up16(－)))P( eq \o(C,\s\up16(－))) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003. 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用( eq \o(A,\s\up16(－))BC)＋(A eq \o(B,\s\up16(－))C)＋(AB eq \o(C,\s\up16(－)))表示． 由于事件 eq \o(A,\s\up16(－))BC，A eq \o(B,\s\up16(－))C和AB eq \o(C,\s\up16(－))两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P( eq \o(A,\s\up16(－))BC)＋P(A eq \o(B,\s\up16(－))C)＋P(AB eq \o(C,\s\up16(－))) ＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)P(C)＋P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)))P(C)＋P(A)P(B)P( eq \o(C,\s\up16(－))) ＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)·P(B)[1－P(C)] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求在一次考试中，语、数、英三科至少有一科获得第一名的概率． 解析　事件“语、数、英三科至少有一科获得第一名”的对立事件为“语、数、英三科都没有获得第一名”，该事件可以用 eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))表示，则“语、数、英三科至少有一科获得第一名”的概率为1－P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)))P( eq \o(B,\s\up16(－)))P( eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.85)＝1－0.003＝0.997. 1．求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示． (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式． (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 2．熟记基本事件运算 如A，B至少有一个发生的事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为(A eq \x\to(B))∪( eq \x\to(A)B)；至多有一个发生的事件记为(A eq \x\to(B))∪( eq \x\to(A)B)∪( eq \x\to(A) eq \x\to(B)).　 [触类旁通] 3．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为 eq \f(3,5)， eq \f(3,4)， eq \f(2,3)；在上机操作考试中合格的概率分别为 eq \f(9,10)， eq \f(5,6)， eq \f(7,8).所有考试是否合格相互之间没有影响． 问：甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ 解析　记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，记 eq \o(A,\s\up16(－))i为Ai的对立事件，i＝1，2，3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C， 则P(A)＝P(A1B1)＝ eq \f(3,5)× eq \f(9,10)＝ eq \f(27,50)， P(B)＝P(A2B2)＝ eq \f(3,4)× eq \f(5,6)＝ eq \f(5,8)， P(C)＝P(A3B3)＝ eq \f(2,3)× eq \f(7,8)＝ eq \f(7,12)， 有P(B)>P(C)>P(A)， 故乙获得合格证书的可能性最大． 知识落实 技法强化 1.相互独立事件的定义． 2．相互独立事件的性质． 1.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立． 2．注意大前提：P(AB)＝P(A)·P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件． $