第4章 4.4 幂函数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.4　幂函数 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学 幂函数的概念、图象和性质 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 x α (1，1) 原 增函数 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 减 逼近 逼近 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(难点) 2.结合y＝x，y＝ eq \f(1,x)，y＝x2，y＝ eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，总结幂函数的性质，并能简单应用．(重点) 1.通过从教材实例中抽象出幂函数的概念，学生主要培养数学抽象核心素养． 2.通过幂函数的性质的简单应用发展学生直观想象、逻辑推理等核心素养． 　在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x eq \s\up16(\f(1,2))，y＝x-1的图象分别如图所示． (1)它们的图象都过同一定点吗？ (2)上述五个函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？ [提示]　(1)是的，都过定点(1，1). (2)在(0，＋∞)内是增函数的是y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x eq \s\up16(\f(1,2)).在(0，＋∞)内是减函数的是y＝x-1. ◎结论形成 1．幂函数的定义 函数y＝xα称为幂函数，其中__为自变量，__为常数． 2．幂函数的共同性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点__________． (2)如果α＞0，则幂函数的图象通过__点，并且在区间[0，＋∞)上是______． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是__函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地____y轴；当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方且无限地____x轴． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) (4)幂函数不一定具有奇偶性．(　　) 解析　(1)幂函数的图象不能出现在第四象限． (2)当α＝－1时，函数y＝ eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数． (3)函数y＝x0的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象是去除了一个点的直线． (4)如y＝x eq \s\up16(\f(1,2))不具有奇偶性． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数． 答案　A 3．已知f(x)＝x3，f(1)＋f(a)＝0，则a＝________________． 解析　因为f(1)＋f(a)＝0，所以13＋a3＝0， 所以a3＝－1，即a＝－1. 答案　－1 4．幂函数y＝的定义域为___________，其奇偶性是_____________． 解析　因为y＝＝ eq \f(1,\r(x))，所以x＞0，所以函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是非奇非偶函数． 答案　(0，＋∞)　非奇非偶函数 题型一　幂函数的概念 　(1)(多选题)下列选项中哪些是幂函数(　　) A．y＝xe B．y＝(2x)2 C．y＝ eq \f(1,x2) D．y＝－x2 (2)已知幂函数f(x)＝(m－1)xm+1，则f(2)＝(　　) A．8 B．4 C． eq \r(2) D． eq \r(3,2) [解析]　(1)因为幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数， 又y＝ eq \f(1,x2)＝x-2，所以A、C正确． (2)由幂函数的定义，知m－1＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x3，f(2)＝8. [答案]　(1)AC　(2)A 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即①系数为1；②指数为常数；③后面不加任何项．反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式.　 [触类旁通] 1．(1)若幂函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，3\r(3)))，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝8，则a＝(　　) A．2 B．3 C．128 D．512 (2)已知f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　) A．2 B．1　 C． eq \f(1,2)　 D．0 解析　(1)设f(x)＝xα， 因为幂函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，3\r(3)))， 所以f( eq \r(3))＝( eq \r(3))α＝3 eq \r(3)，解得α＝3， 所以f(x)＝x3. 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝a3＝8，解得a＝2，故选A． (2)因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. 答案　(1)A　(2)A 题型二　幂函数的图象及应用（一题多变） 　(1)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　) (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“＜”连接起来结果是________________． (3)当α∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，2，3))时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________________象限． [解析]　(1)对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中0＜a＜1，符合题意． (2)过原点的指数α＞0，不过原点的α＜0，所以n＜0，当x＞1时，在直线y＝x上方的α＞1，下方的α＜1，所以p＞1，0＜m＜1，0＜q＜1；x＞1时，指数越大，图象越高，所以m＞q.综上所述n＜q＜m＜p. (3)幂函数y＝x-1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x eq \s\up16(\f(1,2))的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xα eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象不可能经过第四象限． [答案]　(1)D　(2)n＜q＜m＜p　(3)四 [母题变式] (变结论)若本例(3)中条件不变，试确定使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值． 解析　α＝1，2，3时，函数y＝xα的定义域为R；当α＝2时，y＝xα为偶函数，当α＝1，3时y＝xα为奇函数．当α＝－1时，y＝x-1的定义域是{x|x∈R且x≠0}．当α＝ eq \f(1,2) 时y＝x eq \s\up16(\f(1,2))的定义域是{x|x≥0}． 综上，使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α＝1或3. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x eq \s\up16(\f(1,2))或y＝x2)来判断.　 [触类旁通] 2．函数y＝x，y＝x2和y＝ eq \f(1,x)的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．如果 eq \f(1,a)>a>a2，那么0<a<1 B．如果a2>a> eq \f(1,a)，那么a>1 C．如果－1<a<0，那么a2>a> eq \f(1,a) D．如果a2> eq \f(1,a)>a时，那么a<－1 解析　y＝x，y＝x2和y＝ eq \f(1,x)的图象都过点(1，1). y＝x，y＝ eq \f(1,x)的图象都过点(－1，－1). A选项，如果 eq \f(1,a)>a>a2，根据图象可知0<a<1，A选项正确． B选项，如果a2>a> eq \f(1,a)，根据图象可知－1<a<0或a>1，B选项错误． C选项，如果－1<a<0，根据图象可知a2>a> eq \f(1,a)，C选项正确． D选项，如果a2> eq \f(1,a)>a时，根据图象可知a<－1，D选项正确． 答案　B 题型三　幂函数性质的简单应用 　(1)比较下列各组中两个数的大小． ① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up16(\f(1,2))与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up16(\f(1,2))； ② eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1)； ③ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(3,4))与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(1,2)). (2)已知幂函数y＝x3m-9(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0, ＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－ eq \f(m,3)＜(3－2a)－ eq \f(m,3)的a的范围． [解析]　(1)①∵幂函数y＝x eq \s\up16(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数，又 eq \f(2,5)＞ eq \f(1,3)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up16(\f(1,2))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up16(\f(1,2)). ②∵幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是减函数， 又－ eq \f(2,3)＜－ eq \f(3,5)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1). ③∵函数y1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在定义域内为减函数，且 eq \f(3,4)＞ eq \f(1,2)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(1,2))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(3,4)). 又函数y2＝x eq \s\up16(\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函数，且 eq \f(3,4)＞ eq \f(1,2)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(1,2))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(1,2)).∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(1,2))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(3,4)). (2)∵函数在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，∴3m－9＜0，解得m＜3. 又m∈N＋，∴m＝1或m＝2. ∵函数y＝x3m-9(m∈N＋)的图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1. ∴有(a＋1)＜(3－2a). ∵y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数， ∴a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得 eq \f(2,3)＜a＜ eq \f(3,2)或a＜－1. [素养聚焦]　本题考查幂函数单调性的应用，突出考查逻辑推理核心素养． 比较幂大小的三种常用方法 [触类旁通] 3．把下列各数按由小到大的顺序排列． 2 eq \s\up16(\f(2,3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(－\f(1,3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(3)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(2,3)). 解析　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(3)＜0，0＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(－\f(1,3))＜1，2 eq \s\up16(\f(2,3))＞1， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(2,3))＞1， 而函数y＝x eq \s\up16(\f(2,3))在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以有2 eq \s\up16(\f(2,3))＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(2,3)). 故题中各数由小到大的顺序为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(3)＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3))) eq \s\up12(－\f(1,3))＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up16(\f(2,3))＜2 eq \s\up16(\f(2,3)). 知识落实 技法强化 1.幂函数的定义． 2.幂函数的图象与性质． 1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定．当α＞0时，函数单调递增；当α＜0时，函数单调递减． 2.曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸． $