第4章 4.2.2 对数运算法则(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4．2.2　对数运算法则 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学1 对数的运算法则 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 导学2 换底公式 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 数学•必修　第二册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.会推导对数的运算性质．(难点) 2.掌握对数的运算性质并化简、求值．(重点) 3.会用换底公式进行对数运算．(重点) 1.通过推导对数的运算性质、换底公式，发展逻辑推理等核心素养． 2.通过对数的运算，主要提升学生数学运算核心素养． 　对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性，据此试证明： loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0). [提示]　设α＝logaM，β＝logaN，则aα＝M，aβ＝N. ∴aα·aβ＝aα＋β＝MN， 即loga(MN)＝α＋β＝logaM＋logaN. ◎结论形成 对数的运算法则 (1)loga(MN)＝______________________． (2)logaMα＝____________． (3)loga eq \f(M,N)＝_________________． 其中，a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R. logaM＋logaN αlogaM logaM－logaN 点睛 1．对于法则(1)可以推广loga(M1M2…Mn)＝logaM1＋logaM2＋…＋logaMn(其中Mi＞0). 2．对数运算法则的前提是M＞0，N＞0，否则不成立，如log3[(－4)×(－5)]＝log3(－4)＋log3(－5)不成立． 　假设 eq \f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝ eq \f(log25,log23)，所以得出log35＝ eq \f(log25,log23)的结论． ◎结论形成 对数换底公式 logab＝ eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 点睛 对数换底公式常见的两种变形 (1)logab·logba＝1，即 eq \f(1,logab)＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2) ＝ eq \f(m,n)logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的 eq \f(m,n)倍． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，MN>0).(　　) (3) eq \f(log28,log24)＝log2 eq \f(8,4)＝1.(　　) (4)log2(－3)2＝2log2(－3).(　　) 解析　(1)令x＝y＝1，则lg (x＋y)＝lg 2>lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，不成立． (2)例如对于(－2)×(－3)>0，loga[(－2)×(－3)]≠loga(－2)＋loga(－3)，因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． (3)等式的左边＝ eq \f(log28,log24)＝ eq \f(3,2)≠log2 eq \f(8,4). (4)log2(－3)没有意义． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　2log510－log54＝log5102－log54 ＝log5 eq \f(100,4)＝log525＝2. 答案　2 2．计算：log123＋log124＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1. 答案　A 3．计算：2log510－log54＝________________． 4．计算：log23·log34＝________________． 解析　log23·log34＝ eq \f(lg 3,lg 2)· eq \f(lg 4,lg 3)＝ eq \f(2lg 2,lg 2)＝2. 答案　2 题型一　对数运算法则的应用（一题多解） 　计算下列各式的值． (1)log535－2log5 eq \f(7,3)＋log57－log51.8； (2)2(lg eq \r(2))2＋lg eq \r(2)×lg 5＋ eq \r((lg \r(2))2－lg 2＋1). [解析]　(1)原式＝log5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×7))－2(log57－log53)＋log57－log5 eq \f(9,5) ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. (2)原式＝lg eq \r(2)×(2lg eq \r(2)＋lg 5)＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg \r(2)－1))2) ＝lg eq \r(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 2＋lg 5))＋1－lg eq \r(2)＝lg eq \r(2)＋1－lg eq \r(2)＝1. 对数的运算性质在解题中的两种应用 [触类旁通] 1.计算下列各式的值． 解析　(1)解法一　 解法二　 题型二　换底公式的应用（一题多解　一题多变） 　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示). [解析]　(1)解法一　原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25· eq \f(log22,log25)＝13. 解法二　原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5))) ＝ eq \f(13lg 5,3lg 2)× eq \f(3lg 2,lg 5)＝13. (2)解法一　因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝ eq \f(log1845,log1836)＝ eq \f(log18(9×5),log18\f(182,9))＝ eq \f(log189＋log185,2log1818－log189)＝ eq \f(a＋b,2－a). 解法二　因为 eq \f(lg 9,lg 18)＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18， 同理得lg 5＝b lg 18， 所以log3645＝ eq \f(lg 45,lg 36)＝ eq \f(lg(9×5),lg\f(182,9))＝ eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9) ＝ eq \f(a lg 18＋b lg 18,2lg 18－a lg 18)＝ eq \f(a＋b,2－a). [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)? 解析　log1845＝log185＋log189＝b＋a. 2．(变条件)若将本例(2)条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，结论不变，如何求？ 解析　因为9b＝5，所以log95＝b， 所以log3645＝ eq \f(log945,log936)＝ eq \f(1＋log95,1＋log94)＝ eq \f(1＋b,1＋a). 换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.　 [触类旁通] 2．(1)计算： ①(log32＋log92)(log43＋log83)； ②log43· eq \f(lg 2,lg 9). (2)已知2x＝3y＝5z，且 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)＝1，求x，y，z的值． 解析　(1)①原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2))) ＝ eq \f(3lg 2,2lg 3)· eq \f(5lg 3,6lg 2)＝ eq \f(5,4). ②原式＝ eq \f(lg 3,lg 4)· eq \f(lg 2,lg 9)＝ eq \f(lg 3,lg 22)· eq \f(lg 2,lg 32)＝ eq \f(lg 3,2lg 2)· eq \f(lg 2,2lg 3)＝ eq \f(1,4). (2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0，且k≠1)，∴x＝log2 k，y＝log3k，z＝log5k， ∴ eq \f(1,x)＝logk2， eq \f(1,y)＝logk3， eq \f(1,z)＝logk5， 由 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)＝1， 得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215， y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56. 题型三　对数运算的综合应用 　(1)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________________倍． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. ①求p的值； ②证明： eq \f(1,z)－ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,2y). [解析]　(1)由M＝lg A－lg A0可得，M＝lg eq \f(A,A0)，即 eq \f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105； 所以两次地震的最大振幅之比是： eq \f(A8,A5)＝ eq \f(A0·108,A0·105)＝108-5＝1 000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍． (2)①设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p· eq \f(log3k,log34)， 因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32. ②证明　 eq \f(1,z)－ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,log6k)－ eq \f(1,log3k) ＝logk6－logk3＝logk2＝ eq \f(1,2)logk4＝ eq \f(1,2y). [答案]　(1)1 000　(2)略 [素养聚焦]　　本题考查指数与对数运算的综合应用，突出考查数学运算素养． 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量.　 [触类旁通] 3．设3x＝4y＝36，求 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的值． 解析　解法一　∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436. ∴ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,log336)＝ eq \f(1,\f(log3636,log363))＝log363， eq \f(1,y)＝ eq \f(1,log436)＝ eq \f(1,\f(log3636,log364))＝log364. ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1. 解法二　对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2.∴ eq \f(2,x)＝log63， eq \f(1,y)＝log62. ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1，即 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝1. 知识落实 技法强化 1.对数的运算法则． 2.对数换底公式及常见变形． 1.运用对数的运算法则应注意成立的条件，如当x＞0时，才有logax2＝2logax. 2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． $